圓的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)

眾所周知，如果P是圓C上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B是圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA與PB的夾角θ=90°，則直線AB恒過定點(diǎn)，即圓心C.我們自然會(huì)問：如果θ為定值但不等于90°，那么直線AB會(huì)有怎樣的性質(zhì)呢？本文運(yùn)用“齊次化”方法求得直線AB的方程，進(jìn)而得到圓C有關(guān)此直線的一個(gè)非常優(yōu)美的性質(zhì).

定理 設(shè)圓O：x2+y2=r2（r>0）上有一定點(diǎn)P（x0，y0），A，B是圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線PA與PB的夾角為定值θ（0°<θ<90°），則直線AB恒與圓：x2+y2=r2cos2θ （ ）相切.

證明：將坐標(biāo)系xOy平移至x′Py′，即按公式x=x′+x0，

y=y′+y0 平移，則圓O的方程可化為x′2+y′2+2x0x′+2y0y′=0.再設(shè)直線AB的方程為mx′+ny′=1.下面對(duì)圓O的方程進(jìn)行“齊次化”處理：x′2+y′2+（2x0x′+2y0y′）（mx′+ny′）=0（1+2mx0）x′2+（1+2ny0）y′2+（2nx0+2my0）x′y′=0，兩邊同除以x′2得

（1+2ny0）y′x′2+（2nx0+2my0）y′x′+（1+2mx0）=0.

設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=－2nx0+2my01+2ny0，

k1k2=1+2mx01+2ny0， 由此有（k1－k2）2=（k1+k2）2－4k1k2=4y20m2+4x20n2－8x0y0mn－8x0m－8y0n－4（1+2ny0）2，（1+k1k2）2=4x20m2+4y20n2+8x0y0mn+8x0m+8y0n+4（1+2ny0）2.

根據(jù)兩條直線的夾角公式tanθ=k1－k21+k1k2，兩邊平方得lYQFnfsg1PVdKP+YrofIuCa63OhJmDWVIPOJ4KvUN/c=（k1－k2）2=tan2θ（1+k1k2）2，再將以上兩式代入，經(jīng)化簡整理得

（x20sin2θ－y20cos2θ）m2+（y20sin2θ－x20cos2θ）n2+2x0y0mn+2x0m+2y0n+1=0①.

將上式前三項(xiàng)進(jìn)行因式分解可得［（x0sinθ+y0cosθ）m+（y0sinθ－x0cosθ）n］·［（x0sinθ－y0cosθ）m+（y0sinθ+x0cosθ）n］②.

再利用恒等式MN=14［（M+N）2－（M－N）2］，②式即可化為（x0msinθ+y0nsinθ）2－（y0mcosθ－x0ncosθ）2

這樣①式就可化為（x0msinθ+y0nsinθ）2－（y0mcosθ－x0ncosθ）2+2x0m+2y0n+1=0③.

令u=x0msinθ+y0nsinθ，

v=y0mcosθ－x0ncosθ， ④可得m=1r2（x0sinθu+y0cosθv），

n=1r2（y0sinθu－x0cosθv）， ⑤.

最后將④⑤兩式同時(shí)代入③得u2－v2+2sinθu+1=0（u+1sinθ）2－v2=cot2θ.利用雙曲線的參數(shù)方程，可設(shè)u=cotθsecα－1sinθ ，

v=cotθtanα （其中α為參數(shù)），將u，v的參數(shù)式代入⑤得m=1r2（x0cosθsin2θsecα+y0sinθtanα－x0sin2θ），

n=1r2（y0cosθsin2θsecα－x0sinθtanα－y0sin2θ）.

在坐標(biāo)系x′Py′中，圓x′2+y′2+2x0x′+2y0y′=0的圓心為O（－x0，－y0），直線AB的方程為mx′+ny′－1=0.故點(diǎn)O到直線AB的距離為d=m（－x0）+n（－y0）－1m2+n2=mx0+ny0+1m2+n2（ ）.

其中mx0+ny0+1=1r2x20cosθsin2θsecα+x0y0sinθtanα－x20sin2θ〗

+1r2y20cosθsin2θsecα+x0y0sinθtanα－y20sin2θ〗+1

=1r2r2cosθsin2θsecα－r2sin2θ〗+1=cosθ（secα－cosθ）sin2θ.m2+n2=1r4r2cos2θsin4θsec2α+r2sin2θtan2α+r2sin4θ－2r2cosθsin4θsecα〗=1r2cos2θsin4θsec2α+1sin2θtan2α+1sin4θ－2cosθsin4θsecα〗

=1r2sin4θcos2θsec2α+sin2θtan2α－2cosθsecα+1〗

=1r2sin4θ［cos2θsec2α+（1－cos2θ）（sec2α－1）－2cosθsecα+1］=1r2sin4θ（sec2α+cos2θ－2secαcosθ）=1r2sin4θ（secα－cosθ）2.

故由（ ）式有d=cosθsecα－cosθsin2θ·rsin2θsecα－cosθ=rcosθ.

這表明直線AB恒與圓（ ）相切.

易知圓心不在原點(diǎn)的圓也具有類似的性質(zhì)，這里不再贅述.