一道教材課后習(xí)題的拓展探究與應(yīng)用

題目 （2019年人教A版（數(shù)學(xué)必修第一冊）第120頁拓廣探索第10題）已知f（x）=ax，g（x）=（1a）x（a>0，且a≠1）.

（1）討論函數(shù)f（x）和g（x）的單調(diào)性；

（2）如果f（x）<g（x），那么x的取值范圍是多少？

這道課本習(xí)題討論了底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，獲得底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性相反，且它們的圖象關(guān)于y軸對稱，同時探究了兩個指數(shù)函數(shù)在不同范圍內(nèi)的大小關(guān)系，較好地表達(dá)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 由于本習(xí)題涉及到對稱性和單調(diào)性，本文通過四則運(yùn)算，獲得了一些結(jié)論，并探究其應(yīng)用，希望能對學(xué)習(xí)和研究提供一定幫助.

結(jié)論1 函數(shù)h（x）=ax+a－x（a>0且a≠1）在R上是偶函數(shù)，且h（x）在（－∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù).

證明：因為h（－x）=a－x+ax=ax+a－x=h（x），所以h（x）為偶函數(shù). 不妨任取x1，x2∈（0，+∞）且x1<x2，h（x1）－h(huán)（x2）=ax1+a－x1－ax2－a－x2=（ax1－ax2）（1－1ax1+x2），當(dāng)a>1時，有ax1<ax2，ax1+x2>1，則ax1－ax2>0，1－1ax1+x2>0，得h（x1）<h（x2）；當(dāng)0<a<1時，有ax1>ax2，0<ax1+x2<1，則ax1－ax2>0，1－1ax1+x2<0，也得h（x1）<h（x2），則h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，由對稱性知h（x）在（－∞，0）上是減函數(shù)，故結(jié)論得證.

例1 （2021年新高考Ⅰ卷第13題改編）已知f（x）=x3·（a·2x+2－x）是奇函數(shù)，則a= .

解：由f（－x）=－f（x）對x∈R恒成立，即（－x）3（a·2－x+2x）=－x3（a·2x+2－x）對x∈R恒成立，整理得（a－1）·x3（2x－2－x）=0對x∈R恒成立，從而a=1. 故填1.

結(jié)論2 函數(shù)h（x）=ax－a－x（a>0且a≠1）在R上是奇函數(shù)，當(dāng)a>1時，h（x）在R上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，h（x）在R上是減函數(shù).

證明：因為h（－x）=a－x－ax=－（ax－a－x）=－h(huán)（x），所以h（x）為奇函數(shù). 根據(jù)前面研究可知，當(dāng)a>1時，f（x）=ax是增函數(shù)，g（x）=a－x是減函數(shù)，則h（x）=f（x）－g（x）在R上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，f（x）=ax是減函數(shù)，g（x）=a－x是增函數(shù)，則h（x）=f（x）－g（x）在R上是減函數(shù).

例2 （2022年 全國甲卷第5題）函數(shù)y=（3x－3－x）cosx在區(qū)間［－π2，π2］的圖象大致為（ ）.

A B C D

解：由f（－x）=（3－x－3x）cos（－x）=－（3x－3－x）cosx=－f（x），知f（x）是奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點對稱，令x=1，有f（1）=（3－3－1）cos1，顯然f（1）>0.故選A.

結(jié)論3 函數(shù)h（x）=（ax－a－x）·（ax+a－x）（a>0且a≠1）在R上是奇函數(shù)，當(dāng)a>1時，h（x）在R上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，h（x）在R上是減函數(shù).

證明：因為h（－x）=（a－x－ax）·（a－x+ax）=－（ax－a－x）·（ax+a－x）=－h(huán)（－x），所以h（x）為奇函數(shù). 由于h（x）=（ax－a－x）·（ax+a－x）=a2x－a－2x，易知當(dāng)a>1時，f（x）=a2x是增函數(shù)，g（x）=a－2x是減函數(shù)，所以h（x）=a2x－a－2x在R上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，f（x）=a2x是減函數(shù)，g（x）=a－2x是增函數(shù)，則h（x）=a2x－a－2x在R上是減函數(shù).

例3 （2019年人教A版（數(shù)學(xué)必修第一冊）第160頁綜合運(yùn)用第6題）設(shè)f（x）=ex－e－x2，g（x）=ex+e－x2.

求證：（1）［g（x）］2－［f（x）］2=1； （2）f（2x）=2f（x）g（x）；（3）g（2x）=［g（x）］2+［f（x）］2.

證明：（1）左式=（g（x）+f（x））（g（x）－f（x））=ex·e－x=1，左式等于右式，則原式成立.

（2）由于2f（x）·g（x）=2·ex－e－x2·ex+e－x2=（ex－e－x）·（ex+e－x）2=e2x－e－2x2=f（2x），所以等式成立.

（3）因為而［g（x）］2+［f（x）］2=（ex+e－x2）2+（ex－e－x2）2=e2x+e－2x+24+e2x+e－2x－24

=e2x+e－2x2=g（2x），所以等式成立.

結(jié)論4 函數(shù)h（x）=ax－a－xax+a－x（a>0且a≠1）在R上是奇函數(shù)，當(dāng)a>1時，h（x）在R上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，h（x）在R上是減函數(shù).

證明：因為h（－x）=a－x－axa－x+ax=－ax－a－xax+a－x=－h(huán)（x），所以h（x）為奇函數(shù). 因h（x）=ax－a－xax+a－x=a2x－1a2x+1=1－2a2x+1，易知當(dāng)a>1時，h（x）在R上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，h（x）在R上是減函數(shù).

例4 （2019年人教A版（數(shù)學(xué)必修第一冊）第161頁拓廣探索第12題）對于函數(shù)f（x）=a－22x+1（a∈R）.（1）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？

解 （1）任取x1，x2∈R且x1<x2，則f（x1）－f（x2）=－22x1+1+22x2+1=2（2x1－2x2）（2x1+1）（2x2+1）.

因為x1<x2，所以2x1<2x2，從而f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），故f（x）在R上是增函數(shù).

（2）假設(shè)存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則對任意x∈R，均有f（－x）+f（x）=0成立，即a－22－x+1+a－22x+1=0，化簡得2a=22－x+1+22x+1=2·2x1+2x+22x+1=2，從而得a=1. 故存在實數(shù)a=1，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù).

例5 （2022年 北京卷第4題）已知f（x）=11+2x，則對任意實數(shù)x，有（ ）.

A. f（－x）+f（x）=0 B.f（－x）－f（x）=0

C. f（－x）+f（x）=1 D. f（－x）+f（x）=13

解：因為f（－x）=11+2－x=2x2x+1，所以f（－x）+f（x）=2x2x+1+11+2x=1. 故選C.

由以上拓展可知，教材中的習(xí)題很具有一定的代表性，深入分析，并對其拓展研究，充分挖掘其豐富的價值，既可以擺脫題海的困擾，又能起到事半功倍的效果. 借助教材課后習(xí)題恰當(dāng)變式探究，聯(lián)系高考試題與課本習(xí)題，發(fā)掘最基本的思想方法，歸納知識體系，形成對此類試題的思考方向，把知識的內(nèi)涵和外延完全暴露出來，使學(xué)生思維得以提升.