分賭注問題的歷史、求解與應(yīng)用

1.分賭注問題的歷史背景

分賭注問題又稱為分點(diǎn)問題或點(diǎn)問題. 在概率論中它是個(gè)極其著名的問題. 在歷史上它對概率論這門學(xué)科的形成和發(fā)展曾起過非常重要的作用.1654年法國有個(gè)叫德·梅耳的賭徒向法國數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了分賭注問題. 帕斯卡為了解決這一問題，就與法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬頻繁通信，交流這個(gè)問題［1］.

2.分賭注問題的內(nèi)容

分賭注問題：甲、乙兩個(gè)賭徒下了賭注，按某種規(guī)則賭博起來，規(guī)定：甲、乙誰勝一局就得一分，且誰先得到某個(gè)確定的分?jǐn)?shù)誰就贏得所有賭注. 但是在誰也沒有得到確定的分?jǐn)?shù)之前，賭注因故中止了. 如果甲需再得n分才贏得所有賭注，乙需再得m分才贏得所有賭注，那么，甲、乙兩人該如何分配這些賭注？

3.分賭注問題的轉(zhuǎn)化

那么如何解決這一問題呢？即如何合理地分配這些賭注呢？帕斯卡提出了一個(gè)重要思想：賭徒分得賭注的比例應(yīng)該等于從這以后繼續(xù)賭下去它們能獲勝的概率之比［2］.

甲、乙兩人獲勝的概率又應(yīng)如何求呢？（實(shí)際上只需求他們中一人獲勝的概率）

首先，要作必要的假設(shè)，假設(shè)：①甲勝一局的概率為一常數(shù)p，乙勝一局的概率為1-p；②各局賭博（無論誰勝）均互不影響. 顯然這兩個(gè)假設(shè)是合理的.

其次，根據(jù)帕斯卡的思想和上述的兩個(gè)假設(shè)，可把分賭注問題歸納成如下的一般問題：

進(jìn)行某種獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p，失敗的概率為1-p. 問在m次失敗之前取得n次成功的概率（即甲獲勝的概率）是多少？

這問題也等價(jià)于有放回摸球問題：從裝有a個(gè)白球和b個(gè)黑球的袋中有放回摸球，求在摸到m次黑球之前摸到n次白球的概率.這里把摸到白球（概率為p=aa+b）理解為成功，摸到黑球理解為失?。ǜ怕蕿?-p）.

4.分賭注問題的解

方法1：（帕斯卡的解法）為了使n次成功發(fā)生在m次失敗之前，必須且只需在前n+m-1次試驗(yàn)中至少成功n次. 因?yàn)槿绻谇皀+m-1次試驗(yàn)中至少成功n次，那么，在前n+m-1次試驗(yàn)中至多失敗m-1次，于是n次成功發(fā)生在m次失敗之前；另一方面，如果在前n+m-1次試驗(yàn)中成功次數(shù)少于n，則在前n+m-1次試驗(yàn)中失敗次數(shù)至少為m次，這樣在m次失敗之前就得不到n次成功. 由二項(xiàng)分布的概率公式，在前n+m-1次試驗(yàn)中有k次成功的概率為Ckn+m－1pk（1－p）n+m－1－k.，故在前n+m-1次試驗(yàn)中至少成功n次的概率［記為P（n，m）］為P（n，m）=∑n+m－1k=nCkn+m－1pk（1－p）n+m－1－k. （1）

方法2：（惠更斯的解法）無論n次成功發(fā)生在m次失敗之前，還是m次失敗發(fā)生在n次成功之前，試驗(yàn)最多進(jìn)行n+m-1次. 又n次成功發(fā)生在m次失敗之前（即甲獲勝）進(jìn)行試驗(yàn)的次數(shù)可能是n，n+1，n+2，…，n＋m－1. 如果n次成功發(fā)生在m次失敗之前是在第k（n≤k≤n+m-1）次試驗(yàn)實(shí)現(xiàn)，則第k次試驗(yàn)一定是成功的，且在k-1次試驗(yàn)中應(yīng)有n-1次成功，k-n次失敗，由二項(xiàng)分布的概率公式，得只需進(jìn)行k次試驗(yàn)的概率為

Cn-1k-1pn-1（1-p）k-np=pnCN-1K-1（1-P）k-n，k=n，n+1，…，n＋m－1.

從而n次成功發(fā)生在m次失敗之前的概率為P（n，m）=pn∑n+m－1k=nCn－1k－1（1－p）k－n. （2）

注：費(fèi)馬也給出了問題的解法，有興趣的老師可參看文［2］.

5.分賭注問題的應(yīng)用

例1 甲、乙進(jìn)行某項(xiàng)比賽，甲得失一分的概率分別為0.8與0.2，且每得失1分互相獨(dú)立. 由于甲的實(shí)力比乙強(qiáng)得多，乙提出了如下不公平的比賽規(guī)則（否則乙將不與甲比賽）：甲在乙得2分之前得5分甲勝，乙在甲得5分之前得2分乙勝. 求甲獲勝的概率.

解：此規(guī)則的一般情形是：甲在乙得m分之前得n（n>m）分甲勝，乙在甲得n分之前得m分乙勝，此即是分賭注問題. 由（1）式知甲獲勝的概率為P（5，2）=∑6k=5Ck60.8k0.26-k=0.589824+0.262144=0.851968.

例2 甲、乙進(jìn)行某項(xiàng)比賽，設(shè)甲得失1分的概率分別為p與q（q=1-p），且每得失1分互相獨(dú)立. 比賽規(guī)則規(guī)定：甲比乙多得n分甲勝，乙比甲多得m分乙勝. 求甲獲勝的概率.

解：設(shè)p（j）表示甲比乙多得n-j分情況下甲獲勝的概率，j=0，1，…，n+m，則顯然有p（0）=1，p（n+m）=0，且所求概率為p（n）. 由全概率公式得p（j）=pP（j-1）+qP（j+1）.（3）

下面用待定系數(shù)法解此差分方程.令P（j）=xj，由（3）式得代數(shù)方程qx2-x+p=0解之得x1=1，x2=p/q，（p≠q），故其通解為P（j）=C1+C2（p/q）j.由邊界條件p（0）=1，p（n+m）=0，可確定常數(shù)C1，C2，它們分別是C1=1-11-（p/q）n+m，C1=11-（p/q）n+m

，于是P（j）=（p/q）j－（p/q）n+m1－（p/q）n+m.當(dāng)p=q時(shí)，x1=1，x2=1，通解為P（j）=A1+A2j. 由P（0）=1，P（n+m）=0得A1=1，A2=-1n+m.于是得P（j）=1－jn+m，從而，所求概率為P（n）=pn（qm-pm）qn+m-pn+m，p≠q，mn+m，p=q.

例3 甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p（p≥12）.問：對甲而言，采用3局2勝制有利，還是采用5局3勝制有利. 設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.

評析：例3的解析可參看文［2］.我們來看一個(gè)特例，即當(dāng)p=0.6時(shí)，根據(jù)（1）式或（2）式知，采取3局2勝制甲獲勝的概率為P（2，2）二0.648；采取5局3勝制甲獲勝的概率為P（3，3）二0.68256. 由此可見，采用5局3勝制對甲有利. 這還表明：如果甲每局勝的概率p>12，則多比賽幾局對甲更有利. 易知P（n+1，n+1）（n≥0）是2n+1局n+1勝制下甲贏乙的概率.

參考文獻(xiàn)

［1］劉新求，張垚.探尋“賭金分配問題”的歷史解答［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2008，47（10）：45-47.

［2］李鴻昌. 高考題的高數(shù)探源與初等解法［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.4.