探索問題解決思路 提升邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是數學思維的基本方式之一，體現了建構和推演數學以及運用數學知識來解決問題的方法特征. ［1］《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將邏輯推理作為六大核心素養(yǎng)之一．邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)，主要表現為：掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流.［2］ 可見邏輯推理不同于解題思路，邏輯推理素養(yǎng)不僅僅是掌握問題解決中的推理形式與規(guī)則，更要求學生運用一定的推理方法和手段，從多角度分析問題、提出命題，探索問題解決思路及準確表述答題過程.

面對數學問題，很多學生常因其思路新穎、運算繁雜等特點而表現平平. 表面上，學生是缺少解題方向，畏難心理嚴重，缺少克難毅力；實際上，學生是“算得多，想得少”，答題比較“莽撞”，缺少探索問題解決思路的理念與方法.本質上，學生是邏輯推理素養(yǎng)欠缺，在分析問題的過程中沒有推理意識和方法，在比較復雜的條件中無法把握知識結構、不會合理地提出問題，在解決問題過程中缺少不斷探索問題解決思路的高要求.

1 試題與分析

例1 （2022年北京市高中數學邀請賽）設a1，a2，…，a2022為2022個實數且a1+a2+…+a2022=π2，求|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值.

分析：本題為含有多個變量的最值問題，且表達式中有多個絕對值符號，高中學生平時較少接觸，對學生的解題能力和學科素養(yǎng)要求較高. 面對這個問題，很多學生是茫然不知所措、無從下手，因此如何分析問題、探索問題解決思路將是邏輯推理素養(yǎng)提升的關鍵.

2.“降維”思考，提出問題

華羅庚教授曾說“要善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.”對于這個難度較大的問題，為探索解題思路并獲得簡便解法，我們不妨“退一步”，將變量從2022個降到兩個，進行“降維”處理，在獲得解答之后再研究解法所用知識和過程性結論的可拓展性，通過“升維”來完成例1的解答.

問題1 已知α+β=π2，求|cosα|+|cosβ|的最小值.

解法1：（正余弦線）因為|cosα|+|cosβ|=|cosα|+cosπ2－α=|cosα|+|sinα|，結合角α的正余弦線（如圖1），所以|cosα|+|cosβ|=|cosα|+|sinα|=|OM|+|MP|≥1，即|cosα|+|cosβ|的最小值為1，當α=π2，β=0可以取到最小值.

解法2：（構造函數）設α1=α+k1π，β1=β+k2π，其中k1，k2∈Z，α1，β1∈－π2，π2，則α1+β1=π2+（k1+k2）π. 所以|cosα|+|cosβ|=|cosα1|+|cosβ1|=|cosα1|+cosπ2－α1=cos|α1|+sin|α1|=2sin|α1|+π4.考察函數f（x）=2sinx+π4，其中x∈0，π2〗，知x=0或π2時，f（x）取到最小值1.所以當α=π2，β=0時，|cosα|+|cosβ|的可以取到最小值為1.

解法3：（放縮法）因為|sin（α+β）|=|sinαcosβ+cosαsinβ|≤|sinα||cosβ|+|cosα|.|sinβ|≤|cosα|+|cosβ|，所以|cosα|+|cosβ|≥|sin（α+β）|=1，且當α=π2，β=0時可以取到等號.即|cosα|+|cosβ|的最小值為1.

解法4：（卡拉瑪特不等式）設α1=α+k1π，β1=β+k2π，其中k1，k2∈Z，α1，β1∈－π2，π2〗，則|cosα|=|cosα1|，|cosβ|=|cosβ1|，α1+β1=π2+kπ，其中k=0或－1.不妨設α1≥β1，令c1=（1+k）π2，c2=kπ2，則c1+c2=α1+β1，c1≥c2，c1≥α1.

令f（x）=|cosx|，其中x∈－π2，π2〗，則f（x）是一個凹函數（上凸函數，如圖2），由卡拉瑪特不等式，得f（c1）+f（c2）≤f（α1）+f（β1），即|cosα1|+|cosβ1|≥1，所以|cosα|+|cosβ|≥1，且當α=π2，β=0時可以取到等號，即|cosα|+|cosβ|的最小值為1.

3.以退為進，探索解法

由上述解答可以看出，含有兩個變量的最值問題1可以通過“幾何意義、構造函數、放縮法、卡拉瑪特不等式”等手段來解決. 那么，增加變量的個數后，上述的解題方法還能適用嗎？

問題2 已知a1+a2+a3=π2，求|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|的最小值.

分析問題2，會發(fā)現當a1=a2=π2，a3=－π2時，|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|=0，顯然0為其最小值.因此研究問題2毫無意義.

注意到，例1中變量的個數是偶數（2022個），故將變量的個數增加到4個，提出問題3. 并思考對于問題3，問題1的解決方法還能適用嗎？

問題3 已知a1+a2+a3+a4=π2，求|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|+|cosa4|的最小值.

3.1 解法1和解法2的局限性

問題1的解法1是利用題設等式代入消參，然后運用正余弦線來解決問題；而解法2則是利用題設等式代入消參，然后構造函數來求解. 兩者均是通過消參，將問題1轉化為含有一個變量的最值問題，顯然，這兩種方法是無法拓展遷移到“題設只有一個等式，且含有4個參變量”的問題3中.

3.2 解法3的遷移與拓展

在問題1的解法3中，得到一個結論：|cosα|+|cosβ|≥|sin（α+β）|.對于問題3，利用此結論可得|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|+|cosa4|≥|sin（a1+a2）|+|cosa3|+|cosa4|.之后有兩種思路：其一是繼續(xù)使用此結論，得到|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|+|cosa4|≥|sin（a1+a2）|+|sin（a3+a4）|，繼而類似解法3中的放縮可得到問題3的解答過程（記為*，略）；其二是想到結論的右側如果是余弦形式，那么便可反復使用這個結論來解決問題. 于是想到利用誘導公式來實現“正弦化余弦”，將解法3的結論轉化為|cosα|+|cosβ|≥cosπ2+α+β，從而得到利用放縮法解決例1和問題3的過程（兩者類似，問題3的解答略）.

例1的解法1：（放縮法） 首先，證明結論：|cosα|+|cosβ|≥cosπ2+α+β.因為|sin（α+β）|=|sinαcosβ+cosαsinβ|≤|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤|cosα|+|cosβ|，所以|cosα|+|cosβ|≥|sin（α+β）|=cosπ2+α+β.其次，反復使用上述結論，得|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|≥cos（π2+a1+a2）+|cosa3|+…+|cosa2022|≥cos（2π2+a1+a2+a3）+|cosa4|+…+|cosa2022|≥…≥cos（2021π2+a1+a2+…+a2022）≥cos2022π2=1.故|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值為1，且當a1=a3=…=a2021=π2，a2=a4=…=a2020=－π2，a2022=0時取到最小值.

眾所周知，“降維”處理后的問題常常是數學歸納法的基礎，其解答過程、方法或所得結論常常是歸納遞推突破的關鍵，由此便想到運用數學歸納法來解決例1. 在此之中，問題1的解法3是歸納的基礎，而上述問題3的解答過程（*）是歸納遞推突破的關鍵.

例1的解法2：（數學歸納法） 首先，證明結論：|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2n|≥|sin（x1+x2+…+x2n）|.

① 當n=1時，由|sin（x1+x2）|=|sinx1cosx2+cosx1sinx2|≤|sinx1||cosx2|+|cosx1||sinx2|≤|cosx1|+|cosx2|，得n=1時結論成立.

② 假設n=k時結論成立，即|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2k|≥|sin（x1+x2+…+x2k）|.

當n=k+1時，由|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2k+2|≥|sin（x1+x2+…+x2k）|+|sin（x2k+1+x2k+2）|≥|sin（x1+x2+…+x2k）||cos（x2k+1+x2k+2）|+|cos（x1+x2+…+x2k）||sin（x2k+1+x2k+2）|≥|sin（x1+x2+…+x2k+1+x2k+2）|，得n=k+1時結論成立.

綜上，n∈N，不等式|cosx1|+|cosx2|+…+|cosx2n|≥|sin（x1+x2+…+x2n）|成立.

其次，利用上述結論，得|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|≥|sin（a1+a2+…+a2022）|=1，因為當a1=a3=…=a2021=π2，a2=a4=…=a2020=－π2，a2022=0時上述等號成立，所以|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值為1.

3.3 解法4的適用性

問題1的解法4利用了卡拉瑪特不等式，此不等式又稱優(yōu)超不等式、控制不等式.

卡拉瑪特不等式 定義兩個數組A=（a1，a2，…，an），其中a1≥a2≥…≥an，B=（b1，b2，…，bn），其中b1≥b2≥…≥bn. 若a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn且a1≥b1，a1+a2≥b1+b2，…，a1+a2+…+an－1≥b1+b2+…+bn－1，則稱數組A優(yōu)于數組B. 若數組A優(yōu)于數組B，f（x）為一個凸函數（下凸函數），則∑ni=1f（ai）≥∑ni=1f（bi）；若f（x）為一個凹函數（上凸函數），則∑ni=1f（ai）≤∑ni=1f（bi）.

根據卡拉瑪特不等式的內容，可以看出其適用條件里數組中元的個數并無限制，故問題1的解法4對于問題3（解答略）和例1均適用.

例1的解法3：（卡拉瑪特不等式）設bi=ai+kiπ，其中ki∈Z，bi∈－π2，π2〗，i=1，2，…，2022.（若ki不唯一，則任取一個）.則|cosai|=|cosbi|，且存在整數k∈［－1011，1010］，使得b1+b2+…+b2022=（2k+1）π2.不妨設b1≥b2≥…≥b2022.令c1=c2=…=c1011+k=π2，c1012+k=0，c1013+k=c1014+k=…=c2022=－π2，則有c1≥c2≥…≥c2022，c1+c2+…+c2022=b1+b2+…+b2022.結合bi∈－π2，π2〗，可得c1≥b1，c1+c2≥b1+b2，…，c1+c2+…+cn－1≥b1+b2+…+bn－1，因為函數f（x）=|cosx|在－π2，π2〗為凹函數（上凸函數）.所以由卡拉瑪特不等式，得f（c1）+f（c2）+…+f（cn）≤f（b1）+f（b2）+…+f（bn），即|cosb1|+|cosb2|+…+|cosbn|≥1， 所以|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|≥1.又因當a1=a2=…=a1011=π2，a1012=a1013=…=a2021=－π2，a2022=0時上述等號成立，所以|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值為1.

4.問題延伸，加深認識

通過對數學問題進行變式或延伸，引導學生對問題進行抽象與概括，學會從理論的高度來分析問題、深化問題，使問題本身的意義得到拓展，有助于結構性思維的形成. （注：結構性思維是一種整體性、關聯(lián)性的思維.）

例1拓展 設a1，a2，…，an為n（n≥2）個實數，若a1+a2+…+an=3π4+（－1）n+1π4，求|cosa1|+|cosa2|+…+|cosan|的最小值.

拓展的解答過程與例1類似，在此略. 值得注意的是，解答過程中需要討論n的奇偶性，其中n為奇數時，類似于例1解法2的數學歸納法在此不適用.

例1變式 設a1，a2，…，an為n（n≥2）個實數，若a1+a2+…+an=π2，求|sina1|+|sina2|+…+|sinan|的最小值.

變式的解答過程與例1類似，此略.

5.結語

很多試題貌似很難，令人無從下手，實際上卻是蘊涵著豐富的探索問題思路的理念和方法.如果能運用“降維”思考、以退為進等邏輯推理手段，逐步探索得到解決思路，那么這些試題便可迎刃而解.此過程有助于學生靈活使用數學知識，理解思想方法的本質，構建結構化的知識和思維體系，從而促使邏輯推理等學科核心素養(yǎng)的穩(wěn)步提升.正如《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“數學教師必須提升自身的‘四基’水平、提升數學專業(yè)能力，自覺養(yǎng)成用數學的眼光發(fā)現和提出問題、用數學的思維分析和解決問題、用數學的語言表達和交流問題的習慣.”在實際教學中，多從探索問題解決思路的角度展開教學活動，通過不斷的積累和應用，內化知識經驗，形成探索問題解決思路的自覺意識，應對千變萬化的數學問題，必將提高學生發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的能力，使邏輯推理等核心素養(yǎng)在平時的學習中落地生根.

參考文獻

［1］ 寧銳. 數學學科核心素養(yǎng)的結構及其教學意義［J］.數學教育學報，2019，28（2）：24-29.

［2］ 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017 年版）［M］．北京：人民教育出版社，2018，4-5.