對(duì)主題探究課的教學(xué)實(shí)踐與思考

一、問(wèn)題背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，“日常教學(xué)活動(dòng)評(píng)價(jià)，要以教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成為依據(jù).［1］” “用導(dǎo)數(shù)探究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是北師大版新教材（2019版）的新增內(nèi)容，是繼“正方體截面的探究”之后又一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng).對(duì)于探究課的教學(xué)一直是一線教師的薄弱點(diǎn)，而李多猛老師的這節(jié)公開(kāi)課教學(xué)，讓聽(tīng)課老師眼睛一亮，達(dá)成了“教-學(xué)-評(píng)”一致性，具有良好的示范作用.

二、課時(shí)目標(biāo)分析

教材通過(guò)用導(dǎo)數(shù)研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比的得到三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而拓展到用導(dǎo)數(shù)探究其他類型的函數(shù)性質(zhì).讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、由特殊到一般的探究方式，體驗(yàn)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的思維過(guò)程，讓學(xué)生在探究的過(guò)程中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并能利用這一活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)去探究一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、解決問(wèn)題的能力、拓展數(shù)學(xué)視野和合作精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

三、學(xué)情學(xué)法分析

學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能利用導(dǎo)數(shù)工具探究一些函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，因此具備一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).在探究三次函數(shù)的過(guò)程中，需要學(xué)生具備一定的觀察、歸納、推理能力，教師要在教學(xué)中的難點(diǎn)處、關(guān)鍵處進(jìn)行適度點(diǎn)撥，采用問(wèn)題引導(dǎo)、小組合作等方式進(jìn)行探究和分析.

四、主要教學(xué)過(guò)程

1. 教學(xué)子目標(biāo)1：會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究二次函數(shù)的性質(zhì)

問(wèn)題1 對(duì)于二次函數(shù)fx=ax2+bx+ca≠0，能否利用導(dǎo)數(shù)得到二次函數(shù)的性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：類比用導(dǎo)數(shù)探究二次函數(shù)的性質(zhì)，引出課題，不僅從方法上給了引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠獲得基本的活動(dòng)探究思路，同時(shí)明確活動(dòng)探究的主要工具——導(dǎo)數(shù)，突出了導(dǎo)數(shù)的作用.另外，先用導(dǎo)數(shù)研究二次函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性確定二次函數(shù)的極值，也為接下來(lái)畫(huà)出三次函數(shù)圖象奠定知識(shí)基礎(chǔ).

目標(biāo)達(dá)成分析、評(píng)價(jià)：?jiǎn)栴}的設(shè)置有利于學(xué)生順利解決，大部分學(xué)生都能分析出二次函數(shù)fx=ax2+bx+ca>0圖象與它的導(dǎo)數(shù)一次函數(shù)f′x=2ax+ba>0之間關(guān)系，獲得滿滿的成就感，自信心溢于言表，這種積極地情感體驗(yàn)有助于解決三次函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，達(dá)成了子目標(biāo)1.

2. 教學(xué)子目標(biāo)2：掌握三次函數(shù)圖象的畫(huà)法分類

問(wèn)題2 三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的導(dǎo)數(shù)f′x=3ax2+2bx+ca≠0是一個(gè)二次函數(shù)，那么，a與判別式Δ=4b2－3ac的正負(fù)對(duì)三次函數(shù)的圖象有什么影響？

設(shè)計(jì)意圖：三次函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生將三次函數(shù)的分類等價(jià)轉(zhuǎn)化對(duì)其導(dǎo)數(shù)的分類，順利突破教學(xué)難點(diǎn).分組開(kāi)展活動(dòng)探究，使學(xué)生積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；鼓勵(lì)、展示、點(diǎn)評(píng)學(xué)生的作圖，及時(shí)肯定學(xué)生對(duì)三次函數(shù)圖象的初步認(rèn)知，同時(shí)為下面利用信息技術(shù)探究三次函數(shù)的系數(shù)a，b，c，d的變化對(duì)三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響建立認(rèn)知基礎(chǔ).

目標(biāo)達(dá)成分析、評(píng)價(jià)：利用問(wèn)題1的解決思路，學(xué)生畫(huà)出f′x=3ax2+2bx+ca≠0的圖象，有較為清晰地邏輯推理，知道導(dǎo)數(shù)的正負(fù)會(huì)影響原函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷出導(dǎo)函數(shù)的分類情況，進(jìn)而對(duì)三次函數(shù)的圖象給與分類討論.根據(jù)小組學(xué)生的匯報(bào)情況，表現(xiàn)良好，表明子目標(biāo)2順利達(dá)成.

3. 教學(xué)子目標(biāo)3：理解三次函數(shù)的系數(shù)對(duì)圖象的影響

問(wèn)題3 我們知道二次函數(shù)的系數(shù)變化會(huì)影響二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，那么三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的系數(shù)a，b，c，d的變化是如何影響三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)呢？下面我們通過(guò)幾何畫(huà)板加以探究.

師生活動(dòng)：利用幾何畫(huà)板畫(huà)出三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖象，系數(shù)a，b，c，d的取值可以動(dòng)態(tài)連續(xù)變化.

問(wèn)題4 哪個(gè)系數(shù)不會(huì)對(duì)三次函數(shù)的形狀（即單調(diào)性）有影響？當(dāng)系數(shù)a變化時(shí)，三次函數(shù)圖象有何特征？當(dāng)系數(shù)a>0不變，系數(shù)b，c分別變化時(shí)，三次函數(shù)圖象有何特征？

（讓學(xué)生類比二次函數(shù)做出猜想之后，教師用幾何畫(huà)板演示驗(yàn)證.）

當(dāng)系數(shù)a<0時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們類比a>0猜想一下三次函數(shù)圖象特征？

設(shè)計(jì)意圖：在分組畫(huà)圖探究的基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生操作幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示三次函數(shù)的圖象因系數(shù)的變化而變化，為學(xué)生分析、研究三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)提供直觀，借助信息技術(shù)嘗試轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)的傳統(tǒng)方式，突出利用信息技術(shù)優(yōu)化課堂教學(xué).在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、猜想求證、歸納總結(jié)的探究過(guò)程中，感悟三次函數(shù)的本質(zhì)，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

目標(biāo)達(dá)成分析、評(píng)價(jià)：學(xué)生能根據(jù)幾何畫(huà)板的變化規(guī)律，直觀領(lǐng)略出三次函數(shù)的主要特征，如系數(shù)d不影響三次函數(shù)的形狀即不影響三次函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)a>0時(shí)，三次函數(shù)圖象從左下彎到右上；當(dāng)a<0時(shí)，三次函數(shù)圖象從左上彎到右下.特別地，一同學(xué)總結(jié)出：當(dāng)系數(shù)a>0，判別式Δ>0時(shí)，函數(shù)存在一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間和兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間、一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，且當(dāng)Δ增大時(shí)，兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離增大，當(dāng)Δ減小時(shí)，兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離減?。划?dāng)系數(shù)a>0，判別式Δ≤0時(shí)，函數(shù)不存在遞減區(qū)間，在定義域上是增函數(shù).這說(shuō)明在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生已準(zhǔn)確地匯報(bào)出結(jié)果，表明已經(jīng)達(dá)成了教學(xué)子目標(biāo)3.

4教學(xué)子目標(biāo)4：理解三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心

問(wèn)題5 我們知道二次函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸，那三次函數(shù)的圖象有沒(méi)有對(duì)稱性呢？函數(shù)y=ax3+cxa≠0的對(duì)稱中心什么？把它在坐標(biāo)平面內(nèi)進(jìn)行左右、上下平移，會(huì)得到什么形式的函數(shù)？三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)與導(dǎo)函數(shù)f′x=3ax2+2bx+ca≠0的極值點(diǎn)（也是最值點(diǎn)）有什么關(guān)系？你能否利用導(dǎo)數(shù)加以解釋？

設(shè)計(jì)意圖：知其然，更要知其所以然.根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=－b3a對(duì)稱，揭示三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)三次函數(shù)對(duì)稱性的深入理解.

目標(biāo)達(dá)成分析、評(píng)價(jià)：在學(xué)生嘗試用待定系數(shù)法將任意一個(gè)三次函數(shù)轉(zhuǎn)化成y=ax－m3+cx－m+na≠0時(shí)，學(xué)生遇到了的困難，各小組沒(méi)能得出三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖象的對(duì)稱中心是－b3a，f－b3a的結(jié)論.最后，李老師用PPT展示了這一結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程，表明這一目標(biāo)達(dá)成度不夠，問(wèn)題的設(shè)置上仍有改進(jìn)的空間.

五、教學(xué)啟示

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)［1］（簡(jiǎn)稱“四基”）. 在探究的過(guò)程中，利用問(wèn)題導(dǎo)向?qū)W習(xí)，始終以教學(xué)目標(biāo)為靶向，在課堂上把每一個(gè)小目標(biāo)都逐步達(dá)成后，自然也就達(dá)成了本節(jié)課的課時(shí)目標(biāo).教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)，都要把教師的“教”、學(xué)生的“學(xué)”以及“評(píng)”緊密結(jié)合，衡量達(dá)成“教-學(xué)-評(píng)”一致性的標(biāo)志就是看是否實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).鑒于此，對(duì)探究課的教學(xué)還需要做好以下工作：

1.處理好數(shù)學(xué)的科學(xué)形態(tài)與教育形態(tài)之間的關(guān)系

科學(xué)形態(tài)是指科學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和特點(diǎn)，而教育形態(tài)是指利用教育的目的、方法和手段來(lái)獲取知識(shí).本節(jié)教學(xué)中，三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是科學(xué)形態(tài)，利用問(wèn)題引導(dǎo)、小組合作等手段是教育形態(tài)，目的是讓學(xué)生理解、掌握三次函數(shù)的性質(zhì).在教學(xué)中，我們需要將科學(xué)形態(tài)與教育形態(tài)結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也能夠掌握科學(xué)的思維方式和方法.這種結(jié)合不僅可以更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)科學(xué)知識(shí)的掌握，還可以提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決問(wèn)題的能力，從而為未來(lái)的科技發(fā)展做出更大的貢獻(xiàn).

2.處理好過(guò)程與結(jié)果之間的關(guān)系

數(shù)學(xué)教育不僅僅是為了讓學(xué)生掌握科學(xué)知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和創(chuàng)新能力.三次函數(shù)的探究是過(guò)程，性質(zhì)是結(jié)果，過(guò)程是獲取結(jié)果的必要條件，這個(gè)過(guò)程不僅可以使學(xué)生更深入地理解三次函數(shù)的概念和特點(diǎn)，更重要的是可以培養(yǎng)他們的科Ux5VPDlCfq1xa85W37QtUA==學(xué)思維和創(chuàng)新能力.因此，只有通過(guò)實(shí)踐探索，學(xué)生才能深入理解科學(xué)知識(shí)，并且從中獲得創(chuàng)新思維和解決問(wèn)題的能力.

3.處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系

直接經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生親身體驗(yàn)和感受到的事物，而間接經(jīng)驗(yàn)則是通過(guò)教材、圖片、計(jì)算機(jī)等途徑獲取的知識(shí).在教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)繪制三次函數(shù)圖象來(lái)獲得直接經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)觀察圖象的形狀和變化規(guī)律來(lái)理解三次函數(shù)的性質(zhì).教師引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫(huà)板軟件模擬三次函數(shù)圖象，通過(guò)手動(dòng)調(diào)整參數(shù)來(lái)觀察三次函數(shù)圖象的變化，加深對(duì)其特征的理解，從而增加學(xué)生的間接經(jīng)驗(yàn).因此，直接經(jīng)驗(yàn)和間接經(jīng)驗(yàn)都是科學(xué)教育中不可或缺的部分，需要注重兩者的結(jié)合，既注重直接經(jīng)驗(yàn)的積累和應(yīng)用，又不忽視間接經(jīng)驗(yàn)的作用，讓學(xué)生通過(guò)多種途徑獲得科學(xué)知識(shí)，提高其科學(xué)素養(yǎng).

綜上，無(wú)論是教師的教、學(xué)生的學(xué)以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，需要協(xié)調(diào)一致，教學(xué)有效的唯一證據(jù)在于目標(biāo)的達(dá)成，在于學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的質(zhì)量，在于何以證明學(xué)生學(xué)會(huì)了什么［2］.利用《標(biāo)準(zhǔn)》中的“三個(gè)處理好”，實(shí)施數(shù)學(xué)探究活動(dòng)能夠激發(fā)學(xué)生利用原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題的興趣，能夠幫助學(xué)生生成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并能夠利用這一活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)去探討一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)“教-學(xué)-評(píng)”一致性，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：35，94，8.

［2］崔允漷，夏雪梅. “教-學(xué)-評(píng)”一致性”：意義與含義［J］.中小學(xué)管理，2013（1）：5.