專題復(fù)習(xí)作載體 素養(yǎng)提升為目標(biāo)

高三復(fù)習(xí)不是對已學(xué)知識的簡單重復(fù)與強化，而是一個再學(xué)習(xí)、再總結(jié)、再反思，進而提高綜合運用能力的過程.有的放矢、精心設(shè)計的專題復(fù)習(xí)課無疑是實現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)的有效手段.本文以解決高三學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的困惑為出發(fā)點，設(shè)計了一堂專題復(fù)習(xí)課，并提出了對專題復(fù)習(xí)課的一些感悟.

1.問題顯現(xiàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在課程內(nèi)容專題中指出：函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，我們可以根據(jù)函數(shù)思想建立模型、揭示規(guī)律、描述關(guān)系……，最終實現(xiàn)解決問題的目標(biāo).近期我校高三學(xué)生參加的聯(lián)考中，多次出現(xiàn)應(yīng)用函數(shù)思想解決有關(guān)最值問題的考題.

這類考題主要考查函數(shù)思想的具體應(yīng)用，對學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與知識遷移應(yīng)用能力要求較高.若考生能夠根據(jù)題意建立函數(shù)視角下的解題模型，則此類試題就可以快速解答.但從考生的解答情況來看，并不理想.究其原因，主要在于大部分考生并不具備建立求距離最值解題模型的能力或者建立了解題模型但并沒有意識到應(yīng)從函數(shù)視角下去思考與解答.針對以上情形，筆者按照本校高三備課組的要求，開設(shè)了一節(jié)專題復(fù)習(xí)課.現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計與個人思考整理成文，與大家共享.

2.教學(xué)設(shè)計

2.1 引入——構(gòu)建解題模型

例1 已知實數(shù)a，b滿足2a2－5lna－b=0，c∈R，則（a－c）2+（b+c）2的最小值為（ ）.

A.12 B.22 C.322 D.92

解析：用x代換a，用y代換b，則有y=2x2－5lnx（x>0）；再用x代換c，可得點（x，－x）滿足y=－x.求（a－c）2+（b+c）2的最小值可以看成函數(shù)y=2x2－5lnx（x>0）圖像上的點到直線y=－x的距離的最小值，即建立了求曲線上的點到直線距離最小值模型.本題中我們可以使用切線平移法求出最小值為322.

例2 設(shè)x，a，b均為任意實數(shù)，且a+22+b－32=1，則x－a2+lnx－b2的最小值為（ ）.

A.32 B.18 C.32－1 D.19－62

解析：由點a，b滿足a+22+b－32=1，則x－a2+lnx－b2最小值可以看作圓（x+2）2+（y－3）2=1上點與對數(shù)函數(shù)y=lnx上點的距離平方的最小值，

即建立了求兩曲線上點之間的距離的最小值模型.我們可以通過考慮動圓（x+2）2+（y－3）2=r2與曲線y=lnx在相切的狀態(tài)下求出最小值，設(shè)動圓與曲線對數(shù)y=lnrBBJLy3f5KzKcoPBaNYEMA==x相切，切點為Q（x，lnx），則公切線與半徑CQ垂直，所以lnx－3x+2·1x=－1，即lnx=－（x－1）（x+3），得出切點Q（1，0），所以PQ≥CQ－PC=CQ－1≥32－1，即x－a2+lnx－b2的最小值為32－12=19－62.

例3 已知實數(shù)x，y滿足條件3x2+4y2=48，則x2+y2－4x+4+x2+y2+2x－4y+5的最大值為（ ）.

A.8+13 B.16+13 C.8+5 D.8+25

解析：因為x2+y2－4x+4+x2+y2+2x－4y+5=x－22+y2+x+12+y－22，故問題轉(zhuǎn)化為橢圓x216+y212=1上的點Px，y到點A2，0和點B（－1，2）的距離之和的最大值，即建立了求曲線上一點到兩定點距離之和最大值的解題模型.如圖baHyk8qKX27+BtimPFCLHA==1所示，A2，0為橢圓的右焦點，設(shè)左焦點為A ′（－2，0），則PA+PB=2a－PA ′+PB=2a+PB－PA ′，又因為PB－PA′ ≤BA′=5，所以PB－PA ′∈－5，5〗，進而可得所求最大值為8+5.

設(shè)計意圖：在平面幾何中，最常用的距離公式有三種：（1）平面上兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）之間的距離公式P1P2=x1－x22+y1－y22；（2） 點Px0，y0到直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離公式d=Ax0+By0+CA2+B2；（3）兩平行直線l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0（A2+B2≠0）之間的距離公式d=C1－C2A2+B2.單獨考查距離公式應(yīng)用的考題難度并不大，但若將函數(shù)思想貫穿在有關(guān)距離最值問題的命制中，那么解題模型的建立在問題的解決中就起到了關(guān)鍵的作用.通過總結(jié)，我們不難發(fā)現(xiàn)求距離最小值的解題模型主要有三種類型：（1）求曲線上的點到直線的距離最大（小）值；（2）求兩曲線上點之間的距離的最大（?。┲?；（3）求曲線上的點到兩定點距離之和的最大（小）值.通過對以上三道例題的引入，初步帶領(lǐng)學(xué)生分析得出三種常見解題模型的建立過程與解題思路.

2.2 提升——拓展解題思路

例4 設(shè)D=x－a2+ex－2a2+a+2，其中e≈2.71828，則D的最小值為（ ）.

A.2 B.3 C.2+1 D.3+1

解析：題中的x－a2+ex－2a2可以看成點Px，ex

與點Q（a，2a）之間的距離，點P（x，ex）的軌跡是曲線y=ex，點Q（a，2a）的軌跡是曲線y2=4x（x≥0，y≥0），如圖2所示，點Q（a，2a）到拋物線準(zhǔn)線的距離為a+1，由拋物線定義可得D=x－a2+ex－2a2+a+2=PQ+QH+1=PQ+QF+1≥PF+1，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點共線時取等號.再以點F為圓心作半徑為r的圓與曲線y=ex相切，切點為Px，ex，此時的公切線與圓的半徑垂直，所以exx－1·ex=－1，求得x=0，故切點為P0，1，所以PFmin=2，故Dmin=2+1，故選C.

例5 已知函數(shù)f（x）=x2+ln3x2－2ax+3lnx+10a2，若存在x0使得f（x0）≤110成立，則實數(shù)a= .

解析：由f（x）=x2+ln3x2－2ax+3ln3x+10a2=ln3x－3a2+x－a2，知f（x）表示點M（x，ln3x）與點N（a，3a）之間距離的平方，則M（x，ln3x）為曲線y=ln3x上的動點，N（a，3a）為直線y=3x上的動點，將直線平移與曲線相切求得切點為M（13，0），則曲線上M點到直線的距離最小，最小距離為1010，所以f（x）min=110，又由題意可知f（x）min≤110，所以f（x）min只能等于110，進而MN=a－132+3a－02=1010，所以a=130.

設(shè)計意圖：通過第一層面的引入，學(xué)生已經(jīng)基本上掌握了構(gòu)建模型求距離最值的基本方法和解題思想，但對于解決一類需要進行靈活變化后才能轉(zhuǎn)化為距離模型試題的能力還需進一步提升.故筆者設(shè)計了以上兩道題，旨在進一步拓展學(xué)生的解題思路.在例5中，所求D=x－a2+ex－2a2+a+2中的根式部分可以看成是兩條曲線上兩點之間的距離，對于a+2則需要我們根據(jù)曲線的特點進行轉(zhuǎn)化：看成是拋物線上點Qa，2a到準(zhǔn)線的距離加1，這樣我們就實現(xiàn)了點到直線（準(zhǔn)線）的距離與點到點（焦點）的等價轉(zhuǎn)化，從而由三點共線求距離最小值的原則，將問題順利解決.在例6中，首先需要將所求表達式進行變化，轉(zhuǎn)化為求曲線上點到直線距離最小值的模型， 其次需要對“存在x0使得f（x0）≤110成立”進行等價轉(zhuǎn)化，即f（x）min≤110，這樣就建立了求參數(shù)a的等式，進而得出a的值.

2.3 內(nèi)化——感知核心素養(yǎng)

例6 （2024屆“耀正優(yōu) +”12月高三名校階段檢測聯(lián)考 數(shù)學(xué) 第7題）已知函數(shù)f（x）=mcosx+sinx+n在區(qū)間π3，π2〗上存在零點，則m2+n2的最小值為（ ）.

A.1 B.22 C.35 D.12

解析：題中，不妨設(shè)零點為x0∈π3，π2〗，則有cosx0m+n+sinx0=0，點P（m，n）就可以看作直線l：cosx0·x+y+sinx0=0上一點，m2+n2可以看成坐標(biāo)原點與直線l上一點P（m，n）距離的平方，故有m2+n2≥d2=sinx01+cos2x02=sin2x01+cos2x0，由正、余弦函數(shù)在區(qū)間π3，π2〗的單調(diào)性可得d2min=sin2π31+cos2π3=35，所以m2+n2的最小值為35.

例7 （多選）已知函數(shù)f（x）=aex－1－x+b，若f（x）在區(qū)間1，2〗上有零點，則a2+b2的值可以為（ ）.

A.1e B.1e C.2e D.1

解析：題中，不妨設(shè)零點為x0∈1，2〗，則有ex0－1·a+b－x0=0，則點P（a，b）就可以看成直線l：ex0－1·x+y－x0=0上一點，a2+b2就可以看成坐標(biāo)原點與直線l上一點P（a，b）的距離，故有a2+b2≥d=－x0ex0=x0ex02，令g（x）=xex2，x∈1，2〗，則g'（x）=ex21－x2ex≥0，進而可得g（x）min=1e，所以a2+b2≥1e，則B，C，D選支均滿足.

設(shè)計意圖：以上二題都可以轉(zhuǎn)化為求定點與直線上一點距離的最小值問題.解決這一類型試題有兩個關(guān)鍵點，一是要能夠根據(jù)題意構(gòu)造直線l，將函數(shù)存在零點這一條件轉(zhuǎn)化為動點P（m，n）或P（a，b）在直線l上；二是要能夠借助函數(shù)思想，將求距離的最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.通過兩道例題的設(shè)置，不僅進一步提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和知識遷移應(yīng)用能力，而且讓學(xué)生深刻感悟了函數(shù)視角下去思考和解決有關(guān)距離最值問題的數(shù)學(xué)思想.

3.反思

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)就是在逐個知識點復(fù)習(xí)推進的同時，還要能夠?qū)⑺鶎W(xué)的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，從而幫助學(xué)生從整體上掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法.尤其在學(xué)生普遍感覺較難的知識點上，老師要能夠總結(jié)出針對這一知識點的?？碱}型，在課堂上與學(xué)生一起探究其常用的解題方法，使這一部分知識逐步系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，從而達成難點各個擊破的目的.本文就是以解決學(xué)生在平時學(xué)習(xí)中遇到的問題為教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點，采取了專題復(fù)習(xí)形式展開教學(xué)，通過這節(jié)課的教學(xué)讓學(xué)生深刻體會到函數(shù)視角下求距離最值問題的解題關(guān)鍵是要能夠根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征挖掘出動點的軌跡方程，找出動點的“隱藏地”，然后利用曲線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.通過以上三個層次的教學(xué)設(shè)計，依次達成了強化基礎(chǔ)、發(fā)散思維、提升素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo).