巧構(gòu)特殊三角模型，妙解抽象函數(shù)問(wèn)題

摘要：合理構(gòu)建特殊函數(shù)模型是解決抽象函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題的一種比較常用的技巧與策略.結(jié)合實(shí)例，合理利用問(wèn)題的應(yīng)用場(chǎng)景，從問(wèn)題實(shí)質(zhì)、公式特征、函數(shù)特征等方面巧妙構(gòu)建三角函數(shù)特殊模型來(lái)解決抽象函數(shù)問(wèn)題，歸納總結(jié)解題技巧與策略，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；抽象函數(shù)；特殊化；模型；應(yīng)用

抽象函數(shù)及其綜合應(yīng)用問(wèn)題，是近年高考數(shù)學(xué)試卷以及各級(jí)各類模擬考試中頻頻亮相的一類熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題.巧妙構(gòu)造滿足抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)特征的具體函數(shù)，是解決此類抽象函數(shù)問(wèn)題的一種“巧技妙法”.特別地，三角函數(shù)模型具有獨(dú)特的奇偶性、周期性等特征，經(jīng)常是構(gòu)建特殊模型解決抽象函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要場(chǎng)所.

1 抓住問(wèn)題實(shí)質(zhì)特殊化構(gòu)造三角函數(shù)模型

例1〔2023—2024學(xué)年江蘇省淮安市高一（上）期末數(shù)學(xué)試題〕（多選題）已知函數(shù)f（x）滿足：Symbolb@@x1，x2∈R，都有|f（x1）+f（x2）|≤|sin x1+sin x2|成立，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.f（0）=0

B.f（x）是偶函數(shù)

C.f（x）是周期函數(shù)

D.g（x）=f（x）－sin x，若－1<x1<x2<1，則g（x1）≥g（x2）

解法1：嚴(yán)謹(jǐn)推理法.

依題可知，對(duì)Symbolb@@x1，x2∈R，都有|f（x1）+f（x2）|≤|sin x1+sin x2|成立，令x1=x2=0，可得|f（0）|≤0，則f（0）=0，故選項(xiàng)A正確.

令x1=－x2=x，可得|f（x）+f（－x）|≤|sin x+sin（－x）|=0，則f（x）+f（－x）=0，即f（－x）=－f（－x），則知f（x）是奇函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

令x1=－x，x2=x+2π，代入已知不等式可得|f（－x）+f（x+2π）|≤|sin（－x）+sin（x+2π）|=0，則f（－x）+f（x+2π）=0，即f（x+2π）=－f（－x）=f（x），可知f（x）是周期為2π的周期函數(shù)，故選項(xiàng)C正確.

將x2替換成－x2，可得|f（x1）+f（－x2）|≤|sin x1+sin（－x2）|，于是可得|f（x1）－f（x2）|≤|sin x1－sin x2|，而y=sin x在區(qū)間－π2，π2上單調(diào)遞增，若－1<x1<x2<1，則有sin x1<sin x2，則|f（x1）－f（x2）|≤sin x2－sin x1，可得sin x1－sin x2≤f（x1）－f（x2）≤sin x2－sin x1.

而由sin x1－sin x2≤f（x1）－f（x2），可得f（x2）－sin x2≤f（x1）－sin x1，又g（x）=f（x）－sin x，則有g(shù)（x2）≤g（x1），故選項(xiàng)D正確.

綜上分析，正確選項(xiàng)為ACD.故選：ACD.

解法2：特殊三角函數(shù)法.

由抽象函數(shù)滿足不等式|f（x1）+f（x2）|≤|sin x1+sin x2|成立的應(yīng)用場(chǎng)景，回歸問(wèn)題的本質(zhì)，直接選取特殊函數(shù)f（x）=sin x，滿足Symbolb@@x1，x2∈R，都有|f（x1）+f（x2）|≤|sin x1+sin x2|成立.

易知正確的選項(xiàng)為ACD.故選：ACD.

點(diǎn)評(píng)：依托題設(shè)條件中問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從特殊函數(shù)入手直接構(gòu)建相應(yīng)的三角函數(shù)模型，關(guān)鍵是基于絕對(duì)值不等式中等號(hào)成立時(shí)的特殊場(chǎng)景，這也是有效觀察之后的特殊產(chǎn)物.相比于嚴(yán)謹(jǐn)推理法，特殊三角函數(shù)法更加簡(jiǎn)捷快速，真正達(dá)到“小題小做”的目的，節(jié)約時(shí)間，簡(jiǎn)化推理，減少運(yùn)算，優(yōu)化過(guò)程.

2 抓住公式特征特殊化構(gòu)造三角函數(shù)模型

例2設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f2（x）－f2（y）=f（x+y）f（x－y），且f（1）=1，f（2）=0，則f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2 024）=.

解法1：賦值歸納法.

依題f2（x）－f2（y）=f（x+y）f（x－y），且f（1）=1，f（2）=0，令x=2，y=1，則f（3）f（1）=f2（2）－f2（1），解得f（3）=－1；令x=3，y=2，則f（5）f（1）=f2（3）－f2（2），解得f（5）=1.令y=2，則f（x+2）f（x－2）=f2（x）－f2（2）=f2（x），所以f（7）=－1，f（9）=1，……，歸納可知f（2k+1）=（－1）k，k∈Z.

令x=3，y=1，則f（4）f（2）=f2（3）－f2（1）=0；令x=4，y=2，則f（6）f（2）=f2（4）－f2（2）=f2（4）；令x=5，y=1，則f（6）f（4）=f2（5）－f2（1）=0.假設(shè)f（4）≠0，則知f（6）=0，此時(shí)結(jié)合f（2）=0，與f（6）f（2）=f2（4）≠0矛盾，所以只能是f（4）=0.進(jìn)一步歸納可知，f（2k）=0，k∈Z.

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 024）=f（1）+f（3）+f（5）+……+f（2 023）=0.

故填答案：0.

解法2：特殊三角函數(shù)法.

依題中抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式f2（x）－f2（y）=f（x+y）f（x－y），其恰好吻合正弦平方差公式sin 2A－sin 2B=sin（A+B）sin（A－B），結(jié)合已知條件f（1）=1，f（2）=0，構(gòu)造函數(shù)f（x）=sinπx2使之滿足條件.

由于函數(shù)f（x）=sinπx2是以4為周期的周期函數(shù)，也是一個(gè)奇函數(shù)，于是有f（0）=0，結(jié)合f（1）=1，f（2）=0，可得f（3）=f（－1）=－f（1）=－1，f（4）=f（0）=0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0.

所以f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2 024）=506×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0.

故填答案：0.

點(diǎn)評(píng)：依托題設(shè)條件中問(wèn)題的公式特征——正弦平方差公式，從特殊函數(shù)入手直接構(gòu)建相應(yīng)的三角函數(shù)模型，化抽象為具體，對(duì)于解決一些與之相關(guān)的抽象函數(shù)問(wèn)題有奇效，也是數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)的一個(gè)重要體現(xiàn).相對(duì)于賦值歸納法，特殊三角函數(shù)法更加優(yōu)化與簡(jiǎn)捷，化抽象函數(shù)為特殊函數(shù)，也是數(shù)學(xué)思維提升與拓展一個(gè)創(chuàng)新應(yīng)用.

3 抓住函數(shù)特征特殊化構(gòu)造三角函數(shù)模型

例3〔2024年1月浙江省寧波市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷·12〕（多選題）已知函數(shù)f（x）滿足：對(duì)Symbolb@@x，y∈R，都有f（x－y）=f（x）f（y）+f（1+x）f（1+y），且f（0）≠f（2），則以下選項(xiàng)正確的是（）.

A.f（1）=0

B.f（0）=0

C.f（x）+f（2－x）=0

D.f（x+4）=f（x）

解法1：賦值歸納法.

令x=y=0，得f（0）=[f（0）]2+[f（1）]2.令x=y=1，得f（0）=[f（1）]2+[f（2）]2，所以[f（0）]2=[f（2）]2，因?yàn)閒（0）≠f（2），所以f（0）=－f（2）.

令x=1，y=0，得f（1）=f（1）f（0）+f（2）f（1）=0.故選項(xiàng)A正確.

將f（1）=0代入得f（0）=[f（0）]2，所以可得f（0）=0或1.若f（0）=0，則f（0）=[f（1）]2+[f（2）]2=0，所以f（2）=0，與f（0）≠f（2）矛盾，舍去；所以f（0）=1，f（2）=－1.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

令x=0，得f（－y）=f（0）f（y）+f（1）f（1+y），因?yàn)閒（1）=0，f（0）=1，所以f（－y）=f（y），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù).

令x=1，得f（1－y）=f（1）f（y）+f（2）f（1+y）=f（2）f（1+y）=－f（1+y），所以f（1－y）=－f（1+y），即f（x）+f（2－x）=0.故選項(xiàng)C正確.

由f（－x）=f（x）=－f（x+2），所以f（x+4）=f（x）.故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

解法2：特殊三角函數(shù)法.

依題中抽象函數(shù)滿足f（x－y）=f（x）f（y）+f（1+x）f（1+y），其恰好吻合兩角差的余弦公式，合理加以變形，構(gòu)造特殊函數(shù)f（x）=cosπx2，則可得f（1+x）=cosπ（1+x）2=cosπ2+πx2=－sinπx2，所以f（x－y）=cosπ（x－y）2=cosπx2cosπy2+sinπx2sinπy2=f（x）f（y）+f（1+x）f（1+y），且f（0）≠f（2），所以函數(shù)f（x）=cosπx2符合題意.

由于f（1）=cosπ2=0，則選項(xiàng)A正確；由于f（0）=1，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由于f（x）+f（2－x）=cosπx2+cosπ（2－x）2=0，則選項(xiàng)C正確；由于函數(shù)f（x）=cosπx2的最小正周期為T=2ππ2=4，因此可得f（x+4）=f（x），故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

點(diǎn)評(píng)：依托題設(shè)條件中問(wèn)題的函數(shù)特征，從特殊函數(shù)入手直接構(gòu)建相應(yīng)的三角函數(shù)模型，處理更加方便快捷.相比于賦值歸納法，特殊三角函數(shù)法更加有效，更加具體化，由具體函數(shù)直接驗(yàn)證選項(xiàng)，可以“一招破敵”.特別在考試中可以大膽嘗試，當(dāng)然最好能嚴(yán)格證明一下，確?！皣?yán)謹(jǐn)性”.

基于抽象函數(shù)綜合問(wèn)題的特殊模型化處理，三角函數(shù)模型是其中最為常見的一類基本構(gòu)建函數(shù)模型.其是以正弦型函數(shù)與余弦型函數(shù)這兩個(gè)基本模型為主，借助函數(shù)的奇偶性選取相應(yīng)的三角函數(shù)類型，利用周期關(guān)系等配湊相應(yīng)的系數(shù)等.特別要注意的是，一些具有一定結(jié)構(gòu)特征的三角函數(shù)公式，綜合三角恒等變換公式的類型加以對(duì)比與分析，為特殊三角函數(shù)模型的構(gòu)建提供條件.同時(shí)特殊化思維，也是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種基本技巧與策略，對(duì)考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解、邏輯推理論證、數(shù)學(xué)模型構(gòu)建等綜合能力的要求比較高.