“三新”背景下的解題教學(xué)

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)更加關(guān)注知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程，基于此過程中數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提高，課程觀與作業(yè)觀需在一定程度上轉(zhuǎn)變與創(chuàng)新.

1 問題變式的深度

在教學(xué)過程中，為幫助學(xué)生達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，往往需要從問題變式中依次提升難度，評估學(xué)生的知識(shí)掌握情況與思維發(fā)展水平，以真正實(shí)現(xiàn)解題感悟.

例1（2024年河北省部分示范性高中高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷·8）已知實(shí)數(shù)a，b∈（1，+∞），且2（a+b）=e2a+2ln b+1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）.

A.1<b<a

B.a<b<2a

C.2a<b<a

D.ea<b<e2a

解析：由2（a+b）=e2a+2ln b+1，可得e2a－2a－1=2（b－ln b－1）=2（eln b－ln b－1）.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=ex－x－1（x>0），函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）=0.

由于a，b∈（1，+∞），有l(wèi)n b>0，則f（ln b）>0，因此f（2a）=2f（ln b）>f（ln b），即2a>ln b.故e2a>b.

又e2a－2a－1>2（ea－a－1）＞0，則f（2a）=2f（ln b）>2f（a），即ln b>a，亦即b>ea.

綜上，可得ea<b<e2a.

另外，問題可轉(zhuǎn)化為2（b－ln b－1）=e2a－ln e2a－1，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x－ln x－1（x>1）亦可解決.

點(diǎn)評：大小比較類的問題是近年高考常見的一類考題，借助函數(shù)同構(gòu)這一問題的剖析，引導(dǎo)學(xué)生歸納解決函數(shù)同構(gòu)問題的方法以及體會(huì)解題感悟.從問題分析中不難發(fā)現(xiàn)，同構(gòu)是該問題解決的關(guān)鍵，放縮是問題解決的靈魂.

筆者結(jié)合本題給出同源變式及方法變式作為作業(yè)（具體題目如下），從問題的細(xì)微差異中改變學(xué)生思考問題的角度，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目間的內(nèi)在聯(lián)系；同時(shí)，在作業(yè)中也應(yīng)突出方法的類比運(yùn)用，讓學(xué)生在主動(dòng)思考中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移，體現(xiàn)作業(yè)價(jià)值的最大化，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

同源變式已知實(shí)數(shù)a，b∈（1，+∞），且a+b=ea+ln b+1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）.

A.1<b<a

B.a<b<ea

C.ea<b<e2a

D.ea<b<e3a

方法變式〔2023屆湖北省鄂東南省級示范教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷〕已知a=e－2，b=1－ln 2，c=ee－e2，則（）.

A.c>b>a

B.a>b>c

C.a>c>b

D.c>a>b

2 技巧方法的應(yīng)用

技巧方法類的題目，側(cè)重于高階思維的培養(yǎng)，通過對題干信息進(jìn)行一系列加工處理，抓住問題的整體結(jié)構(gòu)使問題得到巧妙解決，在解題感悟的基礎(chǔ)上加以合理應(yīng)用.

例2若存在非零實(shí)數(shù)t，使t+1t2+at+1t+2b=0（a，b∈R）成立，則a2+4b2的取值范圍是.

解析：依題，借助變量主元思維，可以將t+1ta+2b+t+1t2=0看作直線方程，設(shè)點(diǎn)P（a，2b）為直線t+1tx+y+t+1t2=0上任意一點(diǎn)，a2+4b2即為點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的平方.

數(shù)形結(jié)合可知（a2+4b2）min=t+1t2t+1t2+12=t+1t2+1－12t+1t2+1=t+1t2+1+1t+1t2+1－2.由于t+1t2+1=t2+1t2+3≥2t2×1t2+3=5，當(dāng)且僅當(dāng)t2=1t2，即t=±1時(shí)等號(hào)成立，結(jié)合雙勾函數(shù)y=x+1x在區(qū)間[5，+∞）上單調(diào)遞增，因此可知

（a2+4b2）min=5+15－2=165.

故a2+4b2的取值范圍是165，+∞.

點(diǎn)評：該問題中，以含有多變量的方程問題為切入點(diǎn)，把代數(shù)式中的主元與常量進(jìn)行換位（即將主元看作常量）處理，借助技巧方法，讓學(xué)生產(chǎn)生一種認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化，有助于打破思維定式.

3 教材閱讀的拓展

數(shù)學(xué)閱讀與思考是解決問題的關(guān)鍵.合理利用教材閱讀材料進(jìn)行作業(yè)設(shè)計(jì)或選題，以促進(jìn)數(shù)學(xué)解題感悟，一方面呈現(xiàn)知識(shí)的來龍去脈，突出數(shù)學(xué)概念的本源，另一方面在落實(shí)“四基”的基礎(chǔ)上豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.

例3〔2024年浙江省9+1高中聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）·13〕應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡，這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡銅可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚.某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖1

（中心截口示意圖）所示.其中，一個(gè)反射鏡PO1Q弧所在的曲線為拋物線，另一個(gè)反射鏡MO2N弧所在的曲線為雙曲線一個(gè)分支.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中F2同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)，且∠NF2F1=45°，tan∠NF1F2=14，△NF1F2的面積為10，|O1F2|=8，則拋物線的方程為.

解析：不妨設(shè)F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），N（x0，y0）（x0>0）.由∠NF2F1=45°，tan∠NF1F2=14，可得x0=35c，y0=25c.又S△NF1F2=12|F1F2|·y0=25c2，即25c2=10，解得c=5，可得O1（－3，0），則拋物線的方程為y2=32（x+3）.

點(diǎn)評：問題背景源于數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊教材（2019人教A版）第140頁“閱讀與思考”——圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用.題目結(jié)合背景素材對知識(shí)進(jìn)行開發(fā)與整合，將具體問題轉(zhuǎn)化為求解焦點(diǎn)坐標(biāo)的問題，并通過帶參的三角形面積問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為求解拋物線方程提供條件.由此可見，教材中大量的閱讀素材為多樣化的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了良好的信息載體，教學(xué)中可根據(jù)不同的學(xué)習(xí)需求，聚焦于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力表現(xiàn)，設(shè)置層次清晰的問題供學(xué)生練習(xí).同時(shí)，也可考慮同主題的多文本閱讀內(nèi)容，讓學(xué)生在信息檢索中多角度理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，拓展解題感悟，同時(shí)發(fā)展個(gè)人的數(shù)學(xué)觀.

4 真實(shí)情景的融合

區(qū)別于傳統(tǒng)的解題法訓(xùn)練，“無情境不命題”的思想使數(shù)學(xué)學(xué)科與生活聯(lián)系更為緊密，因此，結(jié)合“建模式”典型問題，更深層次促進(jìn)解題感悟，可讓學(xué)生在解決問題中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正向遷移.

例4（2024年浙江省杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測試卷試卷·14）機(jī)場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖2所示，該紙杯母線長為12 cm，開口直徑為8 cm.旅客使用紙杯喝水時(shí)，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點(diǎn)時(shí)，橢圓的離心率等于.

解析：依題將紙杯進(jìn)行“幾何化”處理，如圖3所示，則cos∠SAB=13.

在△ABC中，AC=6，AB=8，由余弦定理得BC=217，從而可知橢圓長軸長2a=217，即a=17.

由SO=122－42=82，可得CD=12SO=42，則O′E=12CD=22，其中O′是BC的中點(diǎn)，即為對應(yīng)橢圓的中心，點(diǎn)D，O，E分別為點(diǎn)C，S，O′在圓錐底面內(nèi)的射影.

綜上可得DO=2，OE=1，F(xiàn)為過點(diǎn)O′且平行于底面的截面圓的圓心，則OF=O′E=22.結(jié)合比例關(guān)系可得FM=3，則MN為橢圓的短軸長，如圖4，在Rt△MFO′中，MN=42=2b，則b=22.

所以c=a2－b2=3，則橢圓的離心率e=ca=31717.

點(diǎn)評：解題教學(xué)中考慮不同知識(shí)之間的交匯與融合，是檢驗(yàn)學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法解決綜合問題的有效途徑，也是評估深度學(xué)習(xí)理念下單元教學(xué)成效的一種表現(xiàn)形式，更能深刻體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題感悟與應(yīng)用.以上問題中，借助立體幾何場景，巧妙引入圓錐曲線知識(shí)，突破學(xué)習(xí)中空間與平面的維度界限，建立數(shù)與形的轉(zhuǎn)化通道，關(guān)聯(lián)各主干知識(shí)，使學(xué)生分析、解決問題的能力得到鍛煉，符合新高考由“知識(shí)立意”向“能力立意”的轉(zhuǎn)變.

在“三新”背景下，隨著“雙減”政策與新課改理念的進(jìn)一步落實(shí)，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中教學(xué)設(shè)計(jì)的質(zhì)量與效益有了更高的要求.以生為本，適度取材，梯度設(shè)計(jì)，從不同層面入手，為學(xué)生知識(shí)探究提供廣泛空間，使不同學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都有所發(fā)展，不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)解題感悟，達(dá)到“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)得到更進(jìn)一步發(fā)展，體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的價(jià)值.