源于一道錯題的生成性教學(xué)

摘要：真實記錄由一道錯題引起的，在備課過程中、上課過程中、課后研究中、兩周后的考試中的生成性教學(xué)，闡述它們生成的原因、過程和結(jié)果，并收獲了高考的意外之喜.

關(guān)鍵詞：錯題；生成性；教學(xué)

生成性教學(xué)的概念有多種描述，不同的教師有不同的理解.本文中認(rèn)為，生成性教學(xué)是指教師根據(jù)教學(xué)過程中出現(xiàn)的信息和問題，及時調(diào)整教學(xué)思路和教學(xué)行為，積極引導(dǎo)教學(xué)活動深入持久地進(jìn)行下去，生成新的超出原計劃的教學(xué)流程，完成新的教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)形態(tài).它強(qiáng)調(diào)教師、學(xué)生、文本三者的互動和教學(xué)事件，關(guān)注教學(xué)過程的附加價值.本文記錄源于一道錯題的生成性教學(xué)的全過程，供大家參考.

1 在備課中發(fā)現(xiàn)錯誤，生成新的教學(xué)內(nèi)容

在2023屆高三總復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者使用的是《三維設(shè)計》，在第221頁碰到如下例題.

例1某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎促銷，凡在該超市購物滿400元的顧客，將獲得一次摸獎機(jī)會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球.顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就繼續(xù)摸球.規(guī)定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.

（1）求1名顧客摸球2次停止摸獎的概率；

（2）記X為1名顧客5次摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列.

備課時發(fā)現(xiàn)，第（2）問的運算量太大，估計2個小時做不出來，于是去看參考答案，參考答案如下：

設(shè)顧客摸獎一次獲得的獎金數(shù)額為Y，Y的可能取值為0，10，20，30，40，

則P（Y＝0）＝14，P（Y＝10）＝A12A24＝16，P（Y＝20）＝1A24+

A22A34=16，P（Y＝30）＝

C12＼5A22A34=16，

P（Y=40）=

A33A44＝14.

所以，1名顧客5次摸獎獲得獎金數(shù)額X＝5Y的分布列如表1所示.

容易發(fā)現(xiàn)，X的可能取值是0，10，20，30，40，50，60，……，190，200，而不僅僅是0，50，100，150，200，所以參考答案是錯誤的.錯誤的原因是：設(shè)顧客摸獎一次獲得的獎金數(shù)額設(shè)為Y，則顧客5次摸獎可以看成5次獨立重復(fù)試驗，因為Y的可能取值是0，10，20，30，40，Y不服從兩點分布，所以X不服從二項分布，參考答案把它當(dāng)作二項分布，所以出錯了.

如果用Yi（i=1，2，3，4，5）表示顧客第i次摸獎獲得的獎金數(shù)額，則X=Y1+Y2+Y3+Y4+Y5，由于X不服從二項分布，所以求X的分布列在高中階段沒有公式可以應(yīng)用，只能直接求解，導(dǎo)致運算量非常大，學(xué)生很難完成.參考答案錯了，正確答案又很難完成，估計命題者是按錯誤思路來命題的，因此，這個例題可以理解為一道錯題，教學(xué)的選擇之一是把這道題刪除掉，讓學(xué)生不去做它，但筆者認(rèn)為這個例題提供的問題情景很好，決定對例題進(jìn)行改造，提出如下兩種改法.

改法一：改變條件，使X服從二項分布.把“摸到白球或黃球獎勵10元”改為“摸到白球或黃球無獎勵”，其他條件不變，這種改法使得顧客1次摸獎獲得的獎金數(shù)額為0元或20元，1次摸獎獲得的獎金數(shù)額是兩點分布，因此能用二項分布解題（解略）.

改法二：改變條件，使X便于計算.把“1名顧客5次摸獎”改為“1名顧客2次摸獎”.問題（2）變?yōu)椤坝沊為1名顧客2次摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列”.這種改法減少了摸獎的次數(shù)，減少了運算量，讓學(xué)生能夠在課堂內(nèi)完成，相應(yīng)的解法如下：

設(shè)顧客摸獎一次獲得的獎金數(shù)額設(shè)為Y，可以得到Y(jié)的分布列如表2所示.

則X的可能取值是0，10，20，30，40，50，60，70，80，所以

P（X=0）=14×14=116，

P（X=10）=2×14×16=112，

P（X=20）=14×16+16×16+16×14=19，

P（X=30）=14×16+16×16+16×16+16×14=536.

X=40，50，60，70，80的概率同理可得，則X的分布列如表3所示.

改法一和改法二的例題難度適當(dāng)，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，是很好的例題.改法一的例題是常規(guī)題，改法二的例題有新情景，它是不服從二項分布的和事件的分布列問題，能拓展學(xué)生的思路，所以筆者決定在課堂上采用改法二進(jìn)行教學(xué).這樣，在備課過程中改編出兩道例題，生成新的教學(xué)資源.

2 在上課過程中生成新的教學(xué)內(nèi)容

筆者采用改法二的例題上課，并告訴學(xué)生更改理由是：運算量太大，很難計算出來，所以把“顧客5次摸獎”改為“顧客2次摸獎”.總結(jié)時，有學(xué)生提出，以此為基礎(chǔ)，可求“顧客3次摸獎獲得的獎金數(shù)額的分布列”.筆者看課堂上還有時間，就決定不講其他內(nèi)容，讓學(xué)生當(dāng)場解決這個問題，結(jié)果得到兩種解法.

例2（前面的內(nèi)容與例1完全相同，略去.）

（2）記X為1名顧客3次摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列.

解法1：利用改法二中的表2和表3可得，X的可能取值為0，10，20，30，……，100，110，120，則

P（X=0）=116×14=164，

P（X=10）=116×16+112×14=132，

P（X=20）=116×16+112×16+19×14=596，

P（X=30）=116×16+112×16+19×16+536×14=67864.

X取其他值的概率同理可得，則X的分布列如表4所示.

解法2：直接利用改法二中的表2計算，X的可能取值為0，10，20，30，……，100，110，120.

計算方法如下：由于X=20可以由20，0，0，和10，10，0，組成，則P（X=20）=C13×16×142+C23×162×14=596，

同理，

P（X=0）=143=164，

P（X=10）=C13×16×142=132，

P（X=30）=C13×16×142+A33×16×16×14+163=67864，

X取其他值的概率同理可得，則X的分布列如表4所示.

求顧客3次摸獎獲得的獎金數(shù)額的分布列，以及上述兩種解法，備課時是沒有想到的，它是在上課的過程中生成的.

3 課堂外生成的研究性學(xué)習(xí)

在總結(jié)例2第（2）問的兩種解法時，筆者和學(xué)生發(fā)現(xiàn)例1是可以解的，求“顧客5次摸獎獲得的獎金數(shù)額的分布列”，可以類似解法1，用“顧客2次摸獎和3次摸獎獲得的獎金數(shù)額的分布列”相加求得，或用“顧客1次摸獎和4次摸獎獲得的獎金數(shù)額的分布列”相加求得；也可以類似解法2，由表2直接計算得到.由于估計運算量很大，筆者沒把它作為作業(yè)題，而是告訴學(xué)生，可以把它當(dāng)作研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容，有時間的話課外去完成.幾天以后，有20多位學(xué)生把它做出來了，有多種方法，答案有正確的，也有錯誤的，現(xiàn)選擇如下一種做法：

解：設(shè)顧客摸獎一次獲得的獎金數(shù)額設(shè)為Y，則Y的分布列如表5所示：

所以X的可能取值為0，10，20，30，40，50，……，180，190，200.

以X=50為例，則X=50可以由下列6組數(shù)據(jù)組成：

40，10，0，0，0；30，20，0，0，0；

30，10，10，0，0；

20，20，10，0，0；

20，10，10，10，0；10，10，10，10，10.

那么

P（X=50）=A25×16×144+A25×162×143+C15×C24×163×142+C25×C13×163×142+A25×164×14+165=1 33935×27=1 33931 104.

同理，P（X=0）=145=11 024，

P（X=10）=C15×16×144=53×29=51 536，

P（X=20）=C15×16×144+C25×162×143=3532×29=354 608，

P（X=30）=C15×16×144+A25×162×143+C35×163×142=20533×29=20513 824，

P（X=40）=C15×145+A25×162×143+C25×162×143+C15×C24×163×142+C45×164×14=2 28534×210=2 28582 944，

P（X=60）=P（X=140）=1 89535×27=1 89531 104，

P（X=70）=P（X=130）=27533×27=2753 456，

P（X=80）=P（X=120）=1 35533×29=1 35513 824，

P（X=90）=P（X=110）=2 24534×28=2 24520 736，

P（X=100）=2 32134×28=2 32120 736，

P（X=150）=1 33935×27=1 33931 104，

P（X=160）=2 28534×210=2 28582 944.

P（X=170）=20533×29=20513 824，

P（X=180）=3532×29=354 608，

P（X=190）=53×29=51 536，

P（X=200）=145=11 024，

從而得到X的分布列.

上述運算和驗證過程相當(dāng)繁瑣，筆者用了5個小時才完成，顯然它不適合作為考題，但作為優(yōu)秀生的研究性學(xué)習(xí)材料是合適的.學(xué)生能夠把運算量這么大的題目做出來，是筆者備課時沒有想到的，在不少學(xué)生做出來后，筆者不得不去做才生成的結(jié)果.

4 在后續(xù)教學(xué)中生成拓展性內(nèi)容

兩周后的一次考試，又碰到下列題目：

例3某服裝加工廠為了提高市場競爭力，對其中一臺生產(chǎn)設(shè)備提出了甲、乙兩個改進(jìn)方案：甲方案是引進(jìn)一臺新的生產(chǎn)設(shè)備，需一次性投資1 900萬元，年生產(chǎn)能力為30萬件；乙方案是將原來的設(shè)備進(jìn)行升級改造，需一次性投入700萬元，年生產(chǎn)能力為20萬件.根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，該產(chǎn)品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖1所示，無論是引進(jìn)新生產(chǎn)設(shè)備還是改造原有的生產(chǎn)設(shè)備，設(shè)備的使用年限均為6年，該產(chǎn)品的銷售利潤為15元/件（不含一次性設(shè)備改進(jìn)投資費用）.

（1）（略）.

（2）將年銷售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點值作年銷量的估計值，并假設(shè)每年的銷售量相互獨立.

①根據(jù)頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率；

②若以該生產(chǎn)設(shè)備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據(jù)，試判斷該服裝廠應(yīng)選擇哪個方案.（6年的凈利潤=6年銷售利潤-設(shè)備改進(jìn)投資費用）

本題要求出6年凈利潤的期望值，必須先求出該產(chǎn)品六年銷售總量的期望值，用Y表示該產(chǎn)品一年的銷售量（單位：萬件），則Y的分布列如表6所示.

所以，Y的數(shù)學(xué)期望E（Y）=12×0.05+16×0.35+20×0.3+24×0.2+28×0.1=19.8.

六年可以看成6次獨立重復(fù)試驗，用X表示該產(chǎn)品六年的銷售總量，

則有E（X）＝E（6Y）

＝6E（Y）＝118.8，這

里用到了新教材人

教A版選擇性必修三

第64頁給出的結(jié)論

：E（aX）=aE（X）.

因為Y的可能取值是12，16，20，24，28，Y不服從兩點分布，

經(jīng)過前面的錯題分析，有

的學(xué)生反而不敢用了，以

為它不服從二項分布，用

了會出錯.究其原因，在

于學(xué)生只是記住了結(jié)論，

對公式的推導(dǎo)和應(yīng)用背景

不熟悉.

筆者決定把這個問題講清楚，于是引入下面公式：

設(shè)X1，X2，……，Xn是n個隨機(jī)事件，則有

E（X1+X2+……+Xn）=E（X1）+E（X2）+……+E（Xn），①

即和事件的期望等于每一個事件期望的和.這個公式不是只適合二項分布，

而是所有的事件都適合.它

在高中是不作要求的，教學(xué)大綱和教科書里都沒有出現(xiàn).

筆者把這個公式給了學(xué)生．公

式的證明對高中生有些難度，

為了讓學(xué)生有一定的體會，筆者編制了具有公式①最簡單形式的題目讓學(xué)生證明，具體如下.

例4設(shè)隨機(jī)變量X1，X2的分布列如表7、表8所示，求證：E（X1+X2）=E（X1）+E（X2）.

證明：E（X1）=a1p1+a2p2，E（X2）=b1q1+b2q2+b3q3，而X1+X2的分布列如表9所示.

故E（X1+X2）=（a1+b1）p1q1+（a1+b2）p1q2+（a1+b3）p1q3+（a2+b1）p2q1+（a2+b2）p2q2+（a2+b3）p2q3=a1p1（q1+q2+q3）+a2p2（q1+q2+q3）+b1q1（p1+p2）+b2q2（p1+p2）+b3q3（p1+p2）=a1p1+a2p2+b1q1+b2q2+b3q3=E（X1）+E（X2）.

這樣，我們幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)清原

有公式的適合條件，厘清了不太確定的

數(shù)學(xué)認(rèn)知，又

給出了新的公式，并部分給予證明，幫助學(xué)生構(gòu)建新的認(rèn)知，生成新的知識結(jié)構(gòu)，使本次生成性教學(xué)更加完整.

5 意外之喜

學(xué)生高考時碰到了下面題目：

例5（2023年高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）（略）；（2）（略）；

（3）已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1－P（Xi=0）=qi，i=1，2，……，n，則E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

分析：這道高考題第（3）問提供的新公式和補(bǔ)充的公式①幾乎是一樣的，即和事件的期望等于每一個事件期望的和，它是公式①的一種特殊情況.高考時，筆者的學(xué)生很快就理解了第（3）問提供的新公式，并會應(yīng)用它，這種收獲，又是一種生成性結(jié)果，算是意外之喜.

從這個例子可以看出，生成性教學(xué)貫穿教學(xué)的全過程，可以在備課活動中生成，可以在上課過程中生成，可以在課后的練習(xí)和課外的研究中生成，可以一次性生成，也可以分階段多次生成.只要我們用心教學(xué)，關(guān)注學(xué)生，關(guān)注教學(xué)過程，總能發(fā)現(xiàn)閃光點，生成新的超出原計劃的教學(xué)，完成新的教學(xué)目標(biāo)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).