巧思維開拓思路，妙應用變式拓展

作為平面向量模塊中最重要的基本知識之一，平面向量的數量積及其綜合應用問題成為近年高考試卷中的一個基本考點.特別是涉及平面向量數量積的求值與應用問題，以各種形式的場景創(chuàng)設，借助數量積的形式來變形與轉化，基于平面幾何，依托平面向量，融合函數與方程、三角函數、基本不等式等其他相關知識，成為該模塊知識中考查的重中之重，也是課堂教學與復習備考中的一個基本專題，成為全面考查數學“四基”與“四能”的一個重要場所.本文中結合2024年一道高考試題的解法分析及變式拓展，給出相應的教學啟示.

1 真題呈現

高考真題（2024年高考數學新高考Ⅰ卷·3）已知向量a=（0，1），b=（2，x），若b⊥（b－4a），則x=（）.

A.－2B.－1C.1D.2

此題以兩個平面向量的坐標為問題場景，其中一個平面向量的坐標中含有參數，結合平面向量的線性運算與位置關系來設置條件，進而來確定對應的參數值.題目條件比較簡單明了，難度也相應簡單，屬于基礎題.

而此類平面向量及其綜合應用問題，是高考中比較常見的考查方式.其依托平面向量的坐標運算、平面向量間位置關系（垂直）、平面向量的數量積等對應的基礎知識，通過平面向量的坐標運算與邏輯推理，可以從坐標思維、幾何思維以及間接思維等相關思維方式來切入與應用，結合函數與方程思維來分析與求解對應的參數值.

2 真題破解

2.1 坐標思維

解法1：坐標法1.

依題，結合a=（0，1），b=（2，x），可得b－4a=（2，x）－4（0，1）=（2，x－4）.

而b⊥（b－4a），則有b·（b－4a）=（2，x）·（2，x－4）=4+x（x－4）=（x－2）2=0，解得x=2.故選D.

解法2：坐標法2.

依題，由于b⊥（b－4a），則有b·（b－4a）=b2－4a·b=0.

而a=（0，1），b=（2，x），可得b2=4+x2，a·b=（0，1）·（2，x）=x.

所以4+x2－4x=（x－2）2=0，解得x=2.

故選：D.

點評：依托題設條件中平面向量的坐標場景，直接通過平面向量的坐標運算來轉化與應用，是解決此類平面向量問題中最常見的思維方式.利用各向量的坐標代入，結合平面向量的線性運算、數量積等，并利用平面向量間的位置關系來構建關系式，建立相應的方程，為參數的求解創(chuàng)造條件.

2.2 幾何思維

解法3：幾何法.

依題，設OA=4a，OB=b，如圖1所示，此時|OA|=4，|OP|=2.

所以AB=b－4a，結合b⊥（b－4a），可得OB⊥AB，則知點B在以OA為直徑的圓上.

由b=（2，x），可知點B在直線PB：x=2上.

數形結合，可知PO，PB以為OA為直徑的圓的切線，所以x=|PB|=|PO|=2.

故選：D.

點評：依托題設條件中平面向量的線性運算場景，合理構建坐標系下的平面幾何圖形，結合平面向量間的位置關系來確定動點的軌跡，為進一步的分析與應用創(chuàng)造條件.幾何法的本質就是借助幾何圖形直觀切入，并利用直觀想象與幾何性質來轉化與應用，實現直觀形象解題與應用.

2.3 間接思維

解法4：逐一驗證法.

對于選項A，當x=－2時，則知b=（2，－2），結合a=（0，1），可知b·（b－4a）=b2－4a·b=（4+4）－4×（－2）=16≠0，不符合題設條件，舍去；

對于選項B，當x=－1時，則知b=（2，－1），結合a=（0，1），可知b·（b－4a）=b2－4a·b=（4+1）－4×（－1）=9≠0，不符合題設條件，舍去；

對于選項C，當x=1時，則知b=（2，1），結合a=（0，1），可知b·（b－4a）=b2－4a·b=（4+1）－4×1=1≠0，不符合題設條件，舍去；

因此只能是選項D中的x=2符號題設條件.

故選：D.

點評：基于此類答案確定的單項選擇題，借助各選項中的對應數據來逐一驗證與排除，也是解決問題的一種比較常用的技巧方法.在實際逐一驗證應用時，只要通過各選項的逐一分析與排查，得到正確的結論后，往往就可以直接結束進一步驗證的步驟.在時間有空余時再驗證還沒有驗證的選項，取舍有度，合理把握.間接思維下的逐一驗證法，看似繁雜，但也是處理此類問題中比較常用的一種基本技巧方法.

3 變式拓展

3.1 同源變式

根據以上高考真題及其解析，回歸問題本質，借助參數值的求解與確定，通過平面向量的數量積的合理過渡與應用，對平面向量的數量積加以深入研究與應用，得到以下對應的變式問題.

變式1已知向量a=（0，1），b=（2，x），則b·（b－4a）的最小值為.

解析：依題，由于a=（0，1），b=（2，x），則有b2=4+x2，a·b=（0，1）·（2，x）=x.

所以b·（b－4a）=b2－4a·b=4+x2－4x=（x－2）2≥0，即b·（b－4a）的最小值為0.

故填答案：0.

其實，通過變式1及其解析過程，可以得到以下更一般的變式問題.

變式2已知向量a=（0，1），b=（2，x），則b·（b－4a）的取值范圍是.

答案：[0，+∞）.

3.2 類比變式

在2024年的新高Ⅱ卷中也有相應的考題，巧妙類比應用與拓展.

變式3（2024年高考數學新高考Ⅱ卷·3）已知向量a，b滿足|a|=1，|a+2b|=2，且（b－2a）⊥b，則|b|=（）.

A.12

B.22

C.32

D.1

解析：依題，由（b－2a）⊥b，可得（b－2a）·b=b2－2a·b=0.

結合|a|=1，|a+2b|=2，可得|b|2=b2=2a·b=12（|a+2b|2－|a|2－4|b|2）=12（4－1－4|b|2），整理可得|b|2=12，解得|b|=22.

故選：B.

3.3 深度變式

合理挖掘高考真題的內涵與實質，巧妙拓展思維與深入應用，加以進一步的深度學習與變式拓展.

變式4平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=a·b=2，|a+b+c|=1，則（a+c）·（b+c）的最小值是（）.

A.－3

B.3－23

C.4－23

D.－23

解析：由|a|=|b|=a＼5b=2，可得cos 〈a，b〉=a＼5b|a||b|=12，則有〈a，b〉=π3.

在平面直角坐標系中，令a=（2，0），b=（1，3），設c=（x，y），

則知|a+b+c|=|（3+x，3+y）|=1，即（x+3）2+（y+3）2=1，其表示的是圓心為C（－3，－3），半徑為r=1的圓.

而（a+c）·（b+c）=（x+2，y）·（x+1，y+3）=（x+2）（x+1）+y（y+3）=x2+3x+2+y2+3y=x+322+y+322－1.

其中代數式x+322+y+322表示的是動點P（x，y）與定點M－32，－32的距離的平方，

而|CM|=－3+322+－3+322=3，則知|PM|min=3－1.

所以（a+c）·（b+c）的最小值是（3－1）2－1=3－23.

故選：B.

4 教學啟示

在解決平面向量數量積的求值與應用問題時，借助平面幾何圖形與性質，從平面向量知識入手，合理構建與數量積有關的問題，進而從題設條件入手，合理尋覓并挖掘數量積的結構特征與題設條件，從“數”的代數屬性或“形”的幾何直觀等視角切入與應用，合理進行恒等變形與轉化.

求解平面向量數量積的求值與綜合應用問題中，對于既涉及“數”的基本屬性又涉及“形”的幾何特征問題，解題時往往可以“數”或“形”單獨切入與應用，也可以“數”“形”結合，從多個層面、多個視角來切入與應用，為問題的分析與解決提供更加多樣的數學思維，更加有利于發(fā)散學生的數學思維.

特別在實際解題與應用過程中，合理借助平面向量數量積的求值與應用問題的解題經驗的積累與技巧方法的應用，選取行之有效的數學思維方法與對應的技巧策略，實現平面向量數量積的求值與應用問題的求解，從而有效養(yǎng)成良好的數學思維品質，提升數學解題能力，拓展數學應用與創(chuàng)新思維.