拓展數(shù)學(xué)思維，總結(jié)解題技巧

涉及函數(shù)值、參數(shù)值或代數(shù)式等的大小比較問題，是近年新高考數(shù)學(xué)中一類創(chuàng)新熱點(diǎn)與基本考點(diǎn).此類問題以各種創(chuàng)新新穎的方式加以設(shè)置，常考常新，形式多樣，變化多端，而萬變不離其宗，問題中都巧妙融合了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，以及三角函數(shù)等基本初等函數(shù)模型，通過對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)，以及不等式的基本性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容來交匯與融合，充分落實(shí)并貫徹新課標(biāo)中“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的命題思想.同時(shí)此類問題，有時(shí)還創(chuàng)新滲透初等數(shù)學(xué)知識(shí)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯與綜合應(yīng)用，是近年新高考數(shù)學(xué)命題中的一大亮點(diǎn)與難點(diǎn).

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2024年高考數(shù)學(xué)北京卷·9）已知（x1，y1），（x2，y2）是函數(shù)y=2x圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（）.

A.log2y1+y22>x1+x22

B.log2y1+y22<x1+x22

C.log2y1+y22>x1+x2

D.log2y1+y22<x1+x2

這道題目以指數(shù)函數(shù)為問題場(chǎng)景，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象上不同兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)的平均值的對(duì)數(shù)值、兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)的平均值的大小比較來設(shè)置，合理加以分析與判斷.其實(shí)，這也是高考中涉及大小比較關(guān)系的另一種考查方式，要加以高度關(guān)注.

該問題巧妙地運(yùn)用了對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)模型，深入考查了基本不等式的綜合應(yīng)用.在歷年高考數(shù)學(xué)北京卷中，基本不等式經(jīng)常與其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相互交匯與融合，而今年這一結(jié)合的方式顯得尤為巧妙，題目不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)公式的深度融合，還與函數(shù)的凹凸性等有著微妙的關(guān)聯(lián)，為考生提供了一次綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能的機(jī)會(huì).

在實(shí)際分析與判斷時(shí)，可以抓住基本不等式的內(nèi)涵加以放縮與應(yīng)用，也可以利用函數(shù)的凹凸性的本質(zhì)加以數(shù)形結(jié)合，還可以利用特殊值的巧妙選取加以驗(yàn)證排除等，都是處理該問題中比較常用的技巧與方法.

2 真題破解

解法1：基本不等式法.

依題，可知y1=2x1>0，y2=2x2>0，利用基本不等式有y1+y2=2x1+2x2≥22x1×2x2=22x1+x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)等號(hào)成立.

由于（x1，y1），（x2，y2）是函數(shù)y=2x圖象上不同的兩點(diǎn)，因此x1≠x2，所以y1+y22＞2x1+x22.以上不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得log2y1+y22>x1+x22.

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)指數(shù)函數(shù)建立對(duì)應(yīng)變量之間的關(guān)系，合理利用基本不等式加以巧妙放縮與轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步利用不等式的基本性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算來變形與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)不等式的判定與應(yīng)用.該問題中，基本不等式的應(yīng)用隱藏得比較深，如果不進(jìn)行相應(yīng)的挖掘與分析，就無法直接加以聯(lián)系，這也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的綜合與應(yīng)用的充分體現(xiàn).

解法2：函數(shù)凹凸性法.

依題，顯然函數(shù)f（x）=2x是定義域R上的凹函數(shù)，如圖1.設(shè)A（x1，0），B（x2，0），Cx1+x22，0，y1=f（x1），y2=f（x2）.

數(shù)形結(jié)合，可知

y1+y22>fx1+x22=2x1+x22.

以上不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得

log2y1+y22>x1+x22.

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的問題場(chǎng)景與函數(shù)模型，結(jié)合各選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的平均數(shù)，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，進(jìn)而抓住函數(shù)圖象的凹凸性，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，合理直觀想象，巧妙數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)問題的突破與解決.該問題中，涉及函數(shù)的凹凸性問題，只是課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)的深度探究與綜合應(yīng)用的產(chǎn)物，特別是參與競(jìng)賽的學(xué)生比較熟悉的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，而借助函數(shù)圖象來直觀分析，可以為大部分學(xué)生所接受與掌握.

解法3：特殊值驗(yàn)證法.

選取特殊值x1=0，x2=1，可得y1=2x1=1，y2=2x2=2，此時(shí)x1+x2=1，x1+x22=12，y1+y22=32，可得log2y1+y22=log232∈12，1，由此可以排除選項(xiàng)B，C.

再選取特殊值x1=－1，x2=0，可得y1=2x1=12，y2=2x2=1，此時(shí)x1+x2=－1，x1+x22=－12，y1+y22=34，得log2y1+y22=log234∈－12，0，由此可以進(jìn)一步排除選項(xiàng)D.

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：回歸問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，結(jié)合兩組特殊值的選取，以特殊性來解決一般性，是解決此類答案確定且唯一問題中比較常用的一種“巧技妙法”.特殊值的選取一般追求數(shù)字比較簡(jiǎn)潔，方便進(jìn)一步的求值與運(yùn)算.同時(shí)要注意的是，若一次特殊值的選取無法直接確定答案，往往可以進(jìn)行第二次或第三次特殊值的選取，直至最后一個(gè).特殊值驗(yàn)證法是大部分考生所追求的一種比較方便且有效的解題技巧與方法，關(guān)鍵要結(jié)合題設(shè)條件選取合理且科學(xué)的特殊值，這樣才可以保證問題分析過程的簡(jiǎn)捷有效.

3 變式拓展

3.1 類比變式

變式1已知（x1，y1），（x2，y2）是函數(shù)y=log2x圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（）.

A.2y1+y22>x1+x22

B.2y1+y22<x1+x22

C.2y1+y22>x1+x2

D.2y1+y22<x1+x24

解析：依題，可知y1=log2x1，y2=log2x2，則有x1=2y1>0，x2=2y2>0，利用基本不等式有x1+x2=2y1+2y2≥22y1×2y2=22y1+y2，當(dāng)且僅當(dāng)y1=y2時(shí)等號(hào)成立.

由于（x1，y1），（x2，y2）是函數(shù)y=log2x圖象上不同的兩點(diǎn)，此時(shí)y1≠y2，所以x1+x22＞2x1+x22.故選項(xiàng)B正確.

同樣地，借助特殊值驗(yàn)證法，可以用來排除選項(xiàng)C，D.選取特殊值x1=1，x2=2，可得y1=log2x1=0，y2=log2x2=1，此時(shí)x1+x2=3，y1+y22=12，可得2y1+y22=2<3=x1+x2，由此可以排除選項(xiàng)C；

又2y1+y22=2>34=x1+x24，由此可以排除選項(xiàng)D.

故選：B.

3.2 深度變式

變式2（2024年河北省部分示范性高中高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷）已知實(shí)數(shù)a，b∈（1，+∞），且2（a+b）=e2a+2ln b+1，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）.

A.1<b<aB.a<b<2a

C.2a<b<aD.ea<b<e2a

解析：依題，由2（a+b）=e2a+2ln b+1，可得e2a－2a－1=2（b－ln b－1）=2（eln b－ln b－1）.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=ex－x－1，x>0，則f′（x）=ex－1>0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）=0.而由于a，b∈（1，+∞），有l(wèi)n b>0，可得f（ln b）>0，則有f（2a）=2f（ln b）>f（ln b），即2a>ln b，亦即e2a>b.

又由于e2a－2a－1>2（ea－a－1），則有f（2a）=2f（ln b）>2f（a），即ln b>a，則b>ea.

綜上分析，可得ea<b<e2a.

故選：D.

4 教學(xué)啟示

4.1 方法歸納，知識(shí)總結(jié)

涉及函數(shù)值、參數(shù)值或代數(shù)式大小比較的高考數(shù)學(xué)試題，常見的解題技巧與策略主要有以下幾個(gè)方面：（1）冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本性質(zhì)（主要是單調(diào)性）的應(yīng)用；（2）合理尋找中間值0，1等介值加以間隔與區(qū)分；（3）巧妙同構(gòu)函數(shù)法來轉(zhuǎn)化；（4）借助基本不等式等放縮分析處理等.

無論哪種技巧方法的應(yīng)用，往往離不開函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)等基本知識(shí)點(diǎn)，以及函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想，抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解等能力，對(duì)于進(jìn)一步落實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)這“四基”有奇效.

4.2 開拓思維，深度學(xué)習(xí)

借助以上代數(shù)式的大小比較這一典型問題的“一題多解”，在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入與研究，有效進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，在理解并掌握數(shù)學(xué)“四基”的基礎(chǔ)上，全面掌握破解問題的常規(guī)思維、“通性通法”與“巧技妙法”，從而深化對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)基本思想方法等方面的掌握與提升.

在“一題多解”的基礎(chǔ)上，全面開闊解題思路，發(fā)散解題思維，從而合理歸納與總結(jié)，尋找更加合理有效、簡(jiǎn)單快捷的破解方法，提升問題的綜合性與解答的靈活性，進(jìn)而不斷深入，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，達(dá)到“一題多得”“一題多用”“一題多變”等良好效果，數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力等方面都得到更好的拓寬和加強(qiáng)，舉一反三，觸類旁通.