問題深入挖掘，思維合理發(fā)散

摘要：涉及分段函數(shù)的綜合應(yīng)用問題是歷年高考中的常考題型之一，難度中等，背景多變，形式多樣，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能交匯與融合的一大重要載體.結(jié)合一道高考真題，借助分段函數(shù)的場景創(chuàng)設(shè)與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，合理剖析方法技巧，總結(jié)規(guī)律策略，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；單調(diào)性；直接；排除；導(dǎo)數(shù)

涉及分段函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，是歷年高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題之一，也是高考試題中的一類常見題型.此類問題以分段函數(shù)為問題場景，借助函數(shù)的解析式、函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)的圖象與零點(diǎn)等眾多相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)加以合理交匯融合，有較好的選拔性與較高的區(qū)分度，備受命題者青睞，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場，常考常新，形式各樣，變化多端，不斷變更分段函數(shù)的解析式背景與交匯條件，烹出一道道美味的分段函數(shù)的綜合應(yīng)用的美味“盛宴”.本文中就2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第6題加以分析.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·6）已知函數(shù)f（x）=－x2－2ax－a，x<0，ex+ln（x+1），x≥0在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）.

A.（－∞，0] B.[－1，0]

C.[－1，1]D.[0，+∞）

此題以含參的分段函數(shù)為問題背景，結(jié)合函數(shù)在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)性，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍.該問題重點(diǎn)體現(xiàn)了分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

該試題巧妙融合了分段函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)等相關(guān)的基本函數(shù)類型，借助函數(shù)的基本性質(zhì)加以合理創(chuàng)設(shè)，題目難度中等，從而較好全面考查基本初等函數(shù)以及對應(yīng)的基本性質(zhì)等，實(shí)現(xiàn)問題的綜合與應(yīng)用.

在實(shí)際解決該分段函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時(shí)，往往可以直接從問題中函數(shù)的單調(diào)性入手，結(jié)合各段對應(yīng)的函數(shù)的解析式與基本性質(zhì)來分析與處理；也可以通過選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)信息逆向思維，合理利用特殊值思維與排除法處理；還可以借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性所對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的基本性質(zhì)，并結(jié)合函數(shù)的圖象與求值的變化規(guī)律加以合理的分析與推理等.

2 真題破解

解法1：直接法1.

當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=ex+ln（x+1）在[0，+∞）上單調(diào)遞增.

結(jié)合分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，要保證當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f（x）=－x2－2ax－a在（－∞，0）上單調(diào)遞增，只須滿足該二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)（包括y軸），同時(shí)在x=0處的取值小于等于f（0）即可，即－2a2≥0，－02－2a×0－a≤e0+ln（0+1），解得－1≤a≤0.

所以a的取值范圍是[－1，0].故選：B.

解法2：直接法2.

令函數(shù)h（x）=－x2－2ax－a，函數(shù)g（x）=ex+ln（x+1）.

由于函數(shù)y=ex與y=ln（x+1）在[0，+∞）上均為增函數(shù)，則函數(shù)g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù).

而函數(shù)h（x）的對稱軸為x=－a，如圖1所示.

而要滿足函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則有－a≥0，h（0）≤g（0），解得－1≤a≤0.

所以a的取值范圍是[－1，0].

故選：B.

點(diǎn)評：直接法是解決此類分段函數(shù)問題時(shí)最為常用的一種方法，通過直接分析函數(shù)在各段區(qū)間上的基本性質(zhì)，包括單調(diào)性、最值等，以及函數(shù)圖象的變化情況與規(guī)律等，數(shù)形結(jié)合，直觀想象來分析與求解.該問題中，直接法的本質(zhì)就是數(shù)形結(jié)合思維的直觀應(yīng)用，需做到“胸中有數(shù)”“胸中有圖”，直觀想象，合理轉(zhuǎn)化.

解法3：排除法.

觀察各選項(xiàng)中的參數(shù)的取值范圍的情況，不妨令a=1，則知當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f（x）=－x2－2x－1=－（x+1）2，此時(shí)該函數(shù)與題設(shè)中函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增矛盾，則知a≠1，由此排除選項(xiàng)C，D；

進(jìn)一步，不妨令a=－2，則知當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f（x）=－x2+4x+2=－（x－2）2+6<2，此時(shí)f－18=－－18－22+6=9564>1，而f（0）=e0+ln（0+1）=1，此時(shí)該函數(shù)與題設(shè)中函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增矛盾，則知a≠－2，由此排除選項(xiàng)A.

綜上分析，故選：B.

點(diǎn)評：排除法是解決選擇題中比較常用的一種基本技巧方法，而排除法的關(guān)鍵就是抓住各選項(xiàng)中數(shù)據(jù)的相似點(diǎn)與異同點(diǎn)，合理通過特殊值的選取，為相關(guān)選項(xiàng)的排除創(chuàng)造條件.往往在實(shí)際運(yùn)用排除法解題時(shí)，有時(shí)一次特殊值的選取無法直接達(dá)到目的，可以兩次及三次選取特殊值來達(dá)到排除的目的.

解法4：導(dǎo)數(shù)+極限法.

易知當(dāng)x≥0時(shí)，由函數(shù)f（x）=ex+ln（x+1）在[0，+∞）上單調(diào)遞增.

而當(dāng)x<0時(shí)，由函數(shù)f（x）=－x2－2ax－a在（－∞，0）上單調(diào)遞增，可知f′（x）=－2x－2a≥0，解得a≤－x，結(jié)合x<0，則有a≤0.

而當(dāng)x→0-時(shí)，f（x）→－a，而當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=e0+ln（0+1）=1，則有－a≤1，解得a≥－1.

綜上分析可知，－1≤a≤0.

所以a的取值范圍是[－1，0].

故選：B.

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)法是解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題中最為常用的一種思維方式，借助含參函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算并利用其在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，合理構(gòu)建對應(yīng)的不等式來巧妙確定參數(shù)的取值范圍；而通過分段函數(shù)在界點(diǎn)處的取值變化情況，巧妙通過極限法思維來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，給參數(shù)的取值范圍的確定創(chuàng)造條件.兩種技巧方法加以巧妙融合，實(shí)現(xiàn)問題的創(chuàng)新應(yīng)用與合理突破.

3 變式拓展

3.1 類比變式

變式1已知函數(shù)f（x）=x2+2ax－a，x<0，

e－x－ln（x+1），x≥0在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）.

A.（－∞，－1]

B.[－1，0]

C.[－1，1]

D.[1，+∞）

解析：令函數(shù)h（x）=x2+2ax－a，x<0，函數(shù)g（x）=e-x－ln（x+1），x≥0.

由于函數(shù)y=e-x與y=－ln（x+1）在[0，+∞）上均為減函數(shù)，則知函數(shù)g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù).

易知函數(shù)h（x）的對稱軸為x=－2a2=－a.

如果要滿足函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，那么有－a≥0，h（0）≥g（0），解得a≤－1.

所以a的取值范圍是（－∞，－1].

故選：A.

在變式1中，還可以從不同思維視角來變換分段函數(shù)中對應(yīng)各段函數(shù)的解析式，進(jìn)而加以合理的變式與應(yīng)用.

3.2 拓展變式

變式2已知函數(shù)f（x）=ax，x<0，ax+a，x≥0在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）.

A.（0，+∞）

B.（0，1）

C.（1，+∞）

D.[1，+∞）

解析：依題，要滿足函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則必須滿足a>1，0+a≥a0=1，解得a>1.

所以a的取值范圍是（1，+∞）.

故選：C.

4 教學(xué)啟示

4.1 技cbnLRZRnjw8lo6BgJUOFP/lgl4RrX/WjssMv4jgb2I4=巧方法總結(jié)

涉及分段函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，要抓住函數(shù)中各段的解析式及其對應(yīng)函數(shù)的基本屬性，以及整體函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征與基本性質(zhì)等，合理把握整體與細(xì)節(jié)之間的區(qū)別與聯(lián)系，特別抓住其中的一些節(jié)點(diǎn)（如端點(diǎn)處的函數(shù)值等），根據(jù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)等合理進(jìn)行數(shù)形結(jié)合與直觀想象，從直觀思維切入并根據(jù)題設(shè)條件合理構(gòu)建對應(yīng)的方程（組）、不等式（組）等，實(shí)現(xiàn)問題的突破與求解.

4.2 破解基本思路

解決涉及分段函數(shù)的綜合應(yīng)用問題的基本思路是，根據(jù)函數(shù)的解析式與基本性質(zhì)等，合理加以化歸與轉(zhuǎn)化，將整體的分段函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)易于操作的基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題等，借助函數(shù)基本性質(zhì)法的邏輯推理，或函數(shù)圖象法的直觀想象等，從而合理邏輯推理或數(shù)形結(jié)合.該類題型對分析問題的能力與作圖能力以及邏輯推理能力等的要求比較高，一理掌握了破解思路和處理方法，則可順利解決.