特殊值法巧用，高考真題妙解

特殊值法思維是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中最為特殊的一種“巧技妙法”，是解決問(wèn)題的“通性通法”的升華與提升.特別，在歷年高考數(shù)學(xué)試卷的一些客觀題的解答中，借助特殊值（不同場(chǎng)景，對(duì)特殊值有不同的類型變化）的選取，巧妙利用特殊值法，可以非常簡(jiǎn)捷地處理一些相關(guān)問(wèn)題，真正達(dá)到“小題小做”“小題巧做”“小題快做”等良好解題效益，倍受師生喜歡與追求.本文中結(jié)合2023年高考數(shù)學(xué)真題，就一些客觀題中特殊值法的合理選用與巧妙應(yīng)用加以實(shí)例剖析.

1 函數(shù)圖象的應(yīng)用

例1函數(shù)f（x）的圖象如圖1所示，則f（x）的解析式可能為（）.

A.5（ex－e－x）x2+2

B.5sin xx2+1

C.5（ex+e－x）x2+2

D.5cos xx2+1

分析：根據(jù)函數(shù)圖象的變化情況，利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，通過(guò)特殊值的選取，借助對(duì)應(yīng)圖象中相應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)，排除相應(yīng)不滿足條件的選項(xiàng)，達(dá)到確定正確選項(xiàng)的目的.這比常規(guī)思維中利用函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用來(lái)分析與判斷更加簡(jiǎn)單，以“形”代“數(shù)”，處理起來(lái)方便快捷.

解析：依題中的函數(shù)圖象，

選取特殊值x=0，可得f（0）>0，可以排除選項(xiàng)A，B；

再選取特殊值x=2（或x=－2），可得f（2）<0（或f（－2）<0），可以排除選項(xiàng)C.

故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：利用特殊值法解決函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，要注重特殊值法與對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象變化趨勢(shì)的聯(lián)系，深入體會(huì)特殊思維與一般思維的化歸與轉(zhuǎn)化，以及數(shù)學(xué)中有限與無(wú)限的思想方法等，從而形成解題思維與應(yīng)用技巧.

2 參數(shù)值的確定

例2若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，則a=（）.

A.－1

B.0

C.12

D.1

分析：根據(jù)含參函數(shù)的奇偶性，在確定其定義域的情況下，通過(guò)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的一組特殊值的選取，結(jié)合函數(shù)的奇偶性構(gòu)建相應(yīng)的特殊關(guān)系式，利用方程的求解來(lái)確定相應(yīng)的參數(shù)值，是應(yīng)用特殊值法時(shí)的一種常見模式.這比常規(guī)思維中利用偶函數(shù)的定義來(lái)分析與求解更加直接，數(shù)學(xué)運(yùn)算更加簡(jiǎn)化.

解析：依題知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤|x<－12，或x>12，其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，取特殊值，可知f（1）=f（－1），有（1+a）ln 13=（－1+a）ln 3，即－（1+a）ln 3=（－1+a）ln 3，

則有－（1+a）=－1+a恒成立，解得a=0.故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：巧妙利用特殊值法，借助函數(shù)奇偶性的定義來(lái)構(gòu)建關(guān)系式，為特殊值法處理問(wèn)題提供條件.從特殊思維入手，以特殊情況下滿足的條件回歸到一般情況中去，實(shí)現(xiàn)特殊到一般的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，符合辯證唯物主義思想，是解決一些相關(guān)問(wèn)題中經(jīng)常用到的一種思維方式.

3 取值范圍的求解

例3設(shè)函數(shù)f（x）=2x（x－a）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）.

A.（－∞，－2]B.[－2，0）

C.（0，2]D.[2，+∞）

分析：根據(jù)題設(shè)中函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，得到區(qū)間端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之間的關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍，是問(wèn)題的一種特殊情況，也為驗(yàn)證排除法的應(yīng)用提供一個(gè)直接的依據(jù).

解析：依題意，函數(shù)f（x）=2x（x－a）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，

則必滿足f（0）>f（1），即20>21－a，則0>1－a，解得a>1.

對(duì)比各選項(xiàng)加以驗(yàn)證，只有選項(xiàng)D滿足.

故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：參數(shù)取值范圍的求解，可以借助特殊值法的應(yīng)用，以特殊場(chǎng)景來(lái)驗(yàn)證并排除一些不滿足條件的選項(xiàng)，給正確快捷判斷與應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，成為解決此類問(wèn)題中一種比較特殊的技巧方法，也是辯證統(tǒng)一思維的一種具體形式，在一些相關(guān)選擇題的應(yīng)用中有奇效.特殊值法可以優(yōu)化邏輯推理，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算，做到“小題小做”或“小題巧做”，快速實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的破解.

4 代數(shù)式的構(gòu)建

例4已知向量a=（1，1），b=（1，－1），若（a+λb）⊥（a+μb），則（）.

A.λ+μ=1

B.λ+μ=－1

C.λμ=1

D.λμ=－1

分析：根據(jù)平面向量?jī)蓚€(gè)含參的線性關(guān)系的變化情況，借助特殊值法思維，以特殊值來(lái)賦值其中的一個(gè)參數(shù)，進(jìn)而求解其他相關(guān)的參數(shù)值，再結(jié)合選項(xiàng)加以合理排除與應(yīng)用.這比常規(guī)思維中平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算更加優(yōu)化，處理起來(lái)工作量相對(duì)減少.

解析：選取特殊值μ=1，依題知a+λb=（1，1）+λ（1，－1）=（1+λ，1－λ），

a+μb=a+b=（1，1）+（1，－1）=（2，0）.

由（a+λb）⊥（a+μb），得（a+λb）·（a+b）=0，

即（1+λ，1－λ）·（2，0）=2+2λ=0，解得λ=－1.

此時(shí)λ+μ=0，λμ=－1，結(jié)合題目中的選項(xiàng)，故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：多變量代數(shù)式的定值問(wèn)題，其中一個(gè)變量取值的變化會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)變量（或多個(gè)變量）取值的變化，可以為特殊值的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).當(dāng)然，隨著特殊值選取的變化，解題過(guò)程也隨之改變，但結(jié)果不會(huì)有改變，這也是利用特殊思維解決選擇題中比較常見的思維方式與理論基礎(chǔ).

5 向量模的求解

例5已知向量a，b滿足|a－b|=3，|a+b|=|2a－b|，則|b|=.

分析：抓住題設(shè)條件中平面向量之間的線性關(guān)系，根據(jù)條件中關(guān)系式的特殊結(jié)構(gòu)形式，以特殊的零向量、特殊的數(shù)乘向量關(guān)系等代入滿足的關(guān)系式，借此通過(guò)特殊值的應(yīng)用來(lái)巧妙解決問(wèn)題.這比常規(guī)思維中平面向量的模運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及坐標(biāo)運(yùn)算等更加簡(jiǎn)化，處理起來(lái)更加優(yōu)化.

解析1：特殊值法1.

依題意|a+b|=|2a－b|，顯然當(dāng)a=0這個(gè)特殊向量時(shí)，有|0+b|=|0－b|，該關(guān)系式成立.

此時(shí)|a－b|=|－b|=|b|=3.故填答案：3.

解析2：特殊值法2.

依題意|a+b|=|2a－b|，顯然當(dāng)滿足a=2b這個(gè)特殊關(guān)系式時(shí)，有|2b+b|=|4b－b|=3|b|，該關(guān)系式成立.

此時(shí)|a－b|=|2b－b|=|b|=3.故填答案：3.

點(diǎn)評(píng)：這里選取的特殊向量及特殊關(guān)系式具有一定的目標(biāo)性，是用兩個(gè)平面向量的模之間的關(guān)系來(lái)構(gòu)建，可以從不同特殊向量的選取來(lái)達(dá)到目的.這也對(duì)特殊值法的應(yīng)用提出了一個(gè)要求，即不能盲目地選取特殊值，而是要根據(jù)題設(shè)條件，借助關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征、圖象的幾何性質(zhì)、變量的變化規(guī)律等加以合理選取.

6 探究判斷

例6已知a∈R，記y=sin x在[a，2a]的最小值為sa，在[2a，3a]的最小值為ta，則下列情況不可能的是（）.

A.sa>0，ta>0

B.sa<0，ta<0

C.sa>0，ta<0

D.sa<0，ta>0

分析：依據(jù)題設(shè)中含參區(qū)間及其對(duì)應(yīng)的最小值，要探究判斷各選項(xiàng)中最小值的正負(fù)取值情況，直接研究比較困難，沒(méi)有頭緒，可通過(guò)選取參數(shù)a的特殊值，確定對(duì)應(yīng)的區(qū)間，結(jié)合正弦函數(shù)y=sin x的圖象來(lái)確定函數(shù)的最值點(diǎn)情況，達(dá)到探究判斷的目的.

解析：依題目給定的區(qū)間知a>0，而區(qū)間[a，2a]與區(qū)間[2a，3a]相鄰，且區(qū)間長(zhǎng)度相同.

取特殊值a=π6，則區(qū)間[a，2a]=π6，π3，區(qū)間[2a，3a]=π3，π2，結(jié)合正弦函數(shù)y=sin x的圖象，可知sa>0，ta>0，故選項(xiàng)A可能；

取特殊值a=5π12，則區(qū)間[a，2a]=5π12，5π6，區(qū)間[2a，3a]=5π6，5π4，結(jié)合正弦函數(shù)y=sin x的圖象，可知sa>0，ta<0，故選項(xiàng)C可能；

取特殊值a=7π6，則區(qū)間[a，2a]=7π6，7π3，區(qū)間[2a，3a]=7π3，7π2，結(jié)合正弦函數(shù)y=sin x的圖象，可知sa<0，ta<0，故選項(xiàng)B可能.

綜合以上特殊值分析，可知不可能的是sa<0，ta>0.故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：解決此類探究判斷或開放創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，特殊值法也是非常不錯(cuò)的一種技巧方法.利用特殊值法的應(yīng)用，借助舉例來(lái)確定不可能的情況，回避復(fù)雜的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.

利用特殊值法解決一些具有確定結(jié)論的選擇題或填空題時(shí)，借助特殊值（不同問(wèn)題場(chǎng)景下，對(duì)特殊值的類型形式有不同的變化，如涉及特殊點(diǎn)、特殊函數(shù)、特殊向量、特殊圖形、特殊角、特殊數(shù)列等）的應(yīng)用，以特殊思維代替一般思維，又回歸到一般情況，符合辯證唯物主義思想.

巧妙利用特殊值法破解數(shù)學(xué)客觀題，有其特殊的優(yōu)勢(shì)與美妙的體驗(yàn)，是數(shù)學(xué)“四基”落實(shí)并上升到一定程度的特殊“產(chǎn)物”，是特殊思維與一般思維的轉(zhuǎn)化與升華，在一定程度上可以簡(jiǎn)化繁雜的邏輯推理與復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算等，合理降低數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜層次，巧妙弱化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的知識(shí)難度，全面強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想與技巧方法，從而優(yōu)化數(shù)學(xué)解題過(guò)程，提升數(shù)學(xué)解題效益，節(jié)省寶貴考試時(shí)間.