挖掘問題本質(zhì)，實現(xiàn)“一題多解”

三角最值問題一直是高考數(shù)學(xué)試卷中的常見熱點題型之一，可以合理并巧妙融合三角函數(shù)的基本概念與基本公式、函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識，實現(xiàn)不同知識模塊間的交匯，這也為此類三角最值問題的解決提供了方式各異的數(shù)學(xué)思維視角與切入點，是充分展示知識交匯、體現(xiàn)方法多樣性的一大重要場所.

1 問題呈現(xiàn)

問題（2023年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生寒假學(xué)堂數(shù)學(xué)測試）設(shè)x，y∈0，π2，則1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為（）.

A.8

B.9

C.10

D.其他三個選項均不對

本題以雙變量所對應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式的構(gòu)建，交匯與融合

了三角函數(shù)、函數(shù)、不等式等相關(guān)知識.

破解此類多變元（特別是雙變元）代數(shù)式的最值問題，往往從不等式、函數(shù)與方程等視角切入，結(jié)合不同的數(shù)學(xué)思維與技巧策略加以分析與應(yīng)用，呈現(xiàn)精彩紛呈、靈活多變的技巧方法.

2 問題破解

2.1 思維視角一：不等式思維

方法1：基本不等式法.

解析：由三角變換及基本不等式，可得

1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x=sin2x+cos2xcos2x+4sin2x+4cos2xsin2x=sin2xcos2x+4cos2xsin2x+5≥2sin2xcos2x×4cos2xsin2x+5=9，

當(dāng)且僅當(dāng)sin22y=1，且sin2xcos2x=4cos2xsin2x，即y=π4，tan x=2時，等號成立.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為9.選：B.

解后反思：根據(jù)三角關(guān)系式進(jìn)行二倍角的恒等變形，借助三角函數(shù)的基本性質(zhì)加以合理放縮達(dá)到消參的目的，利用常數(shù)1=sin2x+cos2x進(jìn)行代換處理，進(jìn)而結(jié)合三角關(guān)系式的恒等變形，利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值問題.借助關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，合理配湊基本不等式成立的條件，為進(jìn)一步利用基本不等式確定最值提供條件.

這里利用三角恒等變換中的二倍角公式以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)來進(jìn)行消參與放縮法，得到1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x，其實還可以利用以下其他方法來進(jìn)行合理放縮與消元處理，都可以達(dá)到相應(yīng)的目的.

（1）基本不等式法：1cos2x+1sin2xsin2ycos2y≥1cos2x+1sin2x×sin2y+cos2y22=1cos2x+4sin2x，當(dāng)且僅當(dāng)sin y=cos y，即y=π4時，等號成立.

（2）權(quán)方和不等式法：1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+1sin2x1sin2y+1cos2y≥1cos2x+1sin2x×（1+1）2sin2y+cos2y=1cos2x+4sin2x，當(dāng)且僅當(dāng)sin y=cos y，即y=π4時，等號成立.

方法2：柯西不等式法.

解析：由三角變換及柯西不等式，可得

1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x=1cos2x+4sin2x（cos2x+sin2x）≥1cos x×cos x+2sin x×sin x2=9，

當(dāng)且僅當(dāng)sin22y=1，且1cos x×sin x=2sin x×cos x，即y=π4，tan x=2時，等號成立.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為9.

解后反思：根據(jù)題設(shè)在放縮消參后，利用常數(shù)1=sin2x+cos2x進(jìn)行“乘1”處理，利用柯西不等式來確定相應(yīng)的最值問題.在關(guān)系式的恒等變形與合理配湊時，要注意柯西不等式中等號成立的條件，同時要注意變量之間的對應(yīng)，目的就是同時滿足等號成立的條件以及合理確定最值.

方法3：權(quán)方和不等式法.

解析：由三角變換及權(quán)方和不等式，可得

1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x≥（1+2）2cos2x+sin2x=9，

當(dāng)且僅當(dāng)sin22y=1，且1cos2x=2sin2x，即y=π4，tan x=2時，等號成立.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為9.

解后反思：根據(jù)題設(shè)在放縮消參后，利用分式關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征吻合權(quán)方和不等式的條件，進(jìn)而借助權(quán)方和不等式進(jìn)行合理放縮處理，得以確定相應(yīng)的最值問題.倒數(shù)和式的關(guān)系式結(jié)構(gòu)特征，同時滿足常數(shù)1=sin2x+cos2x這一基本公式，借助權(quán)方和不等式可以達(dá)到非常好的消參與確定最值的目的.

2.2 思維視角二：函數(shù)與方程思維

方法4：判別式法.

解析：由于1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x，因此

令t=1cos2x+4sin2x>1，則t=11－sin2x+4sin2x（t＞1），整理可得tsin4x－（t+3）sin2x+4=0.

依題知，以上關(guān)于sin2x的二次方程有實根，

利用判別式可得Δ=（t+3）2－16t≥0，整理有t2－10t+9≥0，解得t≥9，或t≤1（舍去）.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為9，當(dāng)且僅當(dāng)sin22y=1，且sin2x=23，即y=π4，sin x=63時，等號成立.

解后反思：根據(jù)題設(shè)在放縮消參后，合理進(jìn)行整體換元處理，結(jié)合“1=sin2x+cos2x”這一基本關(guān)系式進(jìn)行消元，轉(zhuǎn)化為相關(guān)的二次方程問題，借助判別式法巧妙構(gòu)建對應(yīng)的不等式，利用不等式的求解來確定相應(yīng)的最值問題.合理聯(lián)系起三角關(guān)系式，巧妙放縮，結(jié)合換元處理以及方程的構(gòu)建，利用判別式法轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式問題，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

方法5：導(dǎo)數(shù)法.

解析：由于1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x，因此可令t=sin2x∈（0，1），構(gòu)建函數(shù)f（t）=11－t+4t，t∈（0，1）.

求導(dǎo)，得f′（t）=1（1－t）2－4t2.

由f′（t）=0，可得t=23，或t=2（舍去）.

當(dāng)t∈0，23時，f′（t）<0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t∈23，1時，f′（t）>0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增.

所以可得f（t）min=f23=9，即1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為9，當(dāng)且僅當(dāng)sin22y=1，且t=sin2x=23，即y=π4，sin x=63時，等號成立.

解后反思：根據(jù)題設(shè)在放縮消參后，合理整體換元，結(jié)合“1=sin2x+cos2x”這一基本關(guān)系式進(jìn)行消元處理，將問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的構(gòu)建，通過導(dǎo)函數(shù)零點的確定以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，得以確定函數(shù)的最值問題.函數(shù)的構(gòu)建為進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)法來處理問題提供基礎(chǔ)，也是解決此類問題中比較常用的一種技巧與方法，思路常規(guī)，數(shù)學(xué)運算量大.

3 變式拓展

變式1設(shè)x，y∈0，π2，則1cos2x+4sin2x的最小值為.

變式2設(shè)正數(shù)x，y滿足x+y=1，則1x+4y的最小值為.

注：變式1與變式2的答案均為9.

4 教學(xué)啟示

借助三角函數(shù)、函數(shù)的最值等多知識模塊之間的交匯與融合問題，多思維視角切入，多技巧方法破解，并加以深入分析、探究、拓展與應(yīng)用，充分挖掘這一典型問題，達(dá)到“一題多思”“一題多解”的目的，在此基礎(chǔ)上加以不斷提升，實現(xiàn)“一題多變”“一題多拓”，充分復(fù)習(xí)、鞏固、總結(jié)數(shù)學(xué)相關(guān)知識和數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生形成良好的思維方法、優(yōu)良的數(shù)學(xué)品質(zhì)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做了有益的嘗試.