重心巧創(chuàng)新，向量妙“包裝”

摘要：三角形的重心作為平面幾何中的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，具有良好的幾何性質(zhì)與創(chuàng)設(shè)場(chǎng)景，往往在解三角形、平面向量、解析幾何等相關(guān)問題中具有非常重要的價(jià)值.結(jié)合一道拋物線模擬題，就三角形重心背景下的解析幾何問題加以剖析，多思維視角切入，多技巧方法破解，總結(jié)解題技巧規(guī)律，啟示教學(xué)應(yīng)用與解題研究.

關(guān)鍵詞：拋物線；向量；重心；坐標(biāo)；面積

三角形中的“心”（重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心）問題，是初中平面幾何的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn).而借助三角形中“心”的巧妙創(chuàng)設(shè)，合理融合初中與高中數(shù)學(xué)知識(shí)，形成二者之間的無縫結(jié)合，是一類非常不錯(cuò)的創(chuàng)新應(yīng)用問題.

而對(duì)于三角形的重心，因其良好的幾何性質(zhì)、結(jié)構(gòu)形式、向量形式、坐標(biāo)形式等眾多的識(shí)別特征，同時(shí)兼?zhèn)洹皵?shù)”與“形”的雙重特征，可以合理交匯起平面幾何、解三角形、平面向量、三角函數(shù)以及解析幾何等相關(guān)知識(shí)，情境創(chuàng)新，應(yīng)用性強(qiáng)，是新高考數(shù)學(xué)命題中一類熱點(diǎn)與創(chuàng)新問題，倍受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

問題〔2023屆重慶市巴蜀中學(xué)高三（上）數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（四）〕設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q.若M（3，0），N（－1，0），PF與MQ相交于點(diǎn)T，且TN+TP=MT，則△TMF的面積為.

此題以拋物線為問題場(chǎng)景進(jìn)行創(chuàng)設(shè)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的交點(diǎn)、平面向量的線性關(guān)系式等要素，巧妙將三角形的重心這一平面幾何的元素，借助平面向量的線性關(guān)系這一表述加以合理創(chuàng)新“包裝”，正確轉(zhuǎn)化與識(shí)別，巧妙挖掘與回歸，問題的轉(zhuǎn)化也就水到渠成了.

這里選用了解析幾何中的拋物線作為載體，利用平面向量的線性關(guān)系與線性形式來表示三角形的重心，破解的關(guān)鍵在于正確剖析題設(shè)條件，做出正確的轉(zhuǎn)化，借助三角形的重心的基本性質(zhì)及相關(guān)應(yīng)用，無論是平面幾何中的相似比或性質(zhì)法，還是解析幾何中的坐標(biāo)法等，都可以快速、準(zhǔn)確地求出結(jié)果.

2 問題破解

2.1 平面幾何思維

方法1：三角形相似轉(zhuǎn)化法.

解析：由TN+TP=MT，可得TM+TN=－TP.

又因?yàn)橐字狥（1，0）為線段MN的中點(diǎn)，則TM+TN=2TF，所以2TF=－TP.

所以T為PF的三等分點(diǎn)，且|TP|=2|TF|，如圖1所示.

又因?yàn)镻Q∥MF，所以易證△TMF∽△TQP，則可得|MF||QP|=|TF||TP|=12，可得|QP|=2|MF|=4.

不失一般性，設(shè)P（x0，y0），且在第一象限.

由拋物線的定義，得|QP|=x0+1=4，則x0=3.

又因?yàn)辄c(diǎn)P（3，y0）在拋物線上，代入拋物線方程y2=4x，可得y0=23，所以P（3，23）.

根據(jù)三角形的相似關(guān)系，可得yT=13y0=233，所以S△TMF=12×|MF|×yT=233.故填答案：233.

方法2：平行四邊形轉(zhuǎn)化法.

解析：如圖2所示，設(shè)MT=TR，連接PR，NR，

根據(jù)TN+TP=MT，可得TN+TP=TR，所以可知四邊形TNRP為平行四邊形.

所以RN∥PT，|RN|=|PT|.

而F（1，0）為MN的中點(diǎn)，結(jié)合三角形的中位線定理可得|RN|=2|TF|，

則知T是線段PF的三等分點(diǎn).

又因?yàn)镻Q∥MF，所以△TMF∽△TQP，則|MF||QP|=|TF||TP|=12，可得|QP|=2|MF|=4.

不失一般性，設(shè)P（x0，y0），且在第一象限.

由拋物線的定義，得|QP|=x0+1=4，則x0=3.

又因?yàn)辄c(diǎn)P（3，y0）在拋物線上，代入拋物線方程y2=4x，可得y0=23，所以P（3，23）.

根據(jù)三角形的相似關(guān)系，可得yT=13y0=233，所以S△TMF=12×|MF|×yT=233.故填答案：233.

方法3：重心性質(zhì)轉(zhuǎn)化法.

解析：由TN+TP=MT，可得TN+TP+TM=0，則知點(diǎn)T是△PMN的重心.

又因?yàn)镻Q∥MF，則有|MF||QP|=|TF||TP|=12，所以|QP|=2|MF|=4.

不失一般性，設(shè)P（x0，y0），且在第一象限.

由拋物線的定義，得QP=x0+1=4，則x0=3.

又因?yàn)辄c(diǎn)P（3，y0）在拋物線上，代入拋物線方程y2=4x，可得y0=23，所以P（3，23）.

根據(jù)三角形的相似關(guān)系，可得yT=13y0=233，所以S△TMF=12×|MF|×yT=233.故填答案：233.

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件，借助平面幾何思維，通過兩個(gè)三角形相似、平行四邊形的構(gòu)建或三角形重心的確定等方式，結(jié)合相似比或基本性質(zhì)，構(gòu)建線段之間的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步綜合拋物線的定義與幾何性質(zhì)來確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式來分析與求解.利用平面幾何思維解決解析幾何問題，其關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，借助平面幾何的基本性質(zhì)來直觀分析與巧妙轉(zhuǎn)化.

2.2 解析幾何思維

方法4：重心坐標(biāo)法.

解析：由TN+TP=MT，可得TN+TP+TM=0，則知點(diǎn)T是△PMN的重心.

設(shè)點(diǎn)P（t2，2t），結(jié)合M（3，0），N（－1，0），利用三角形的重心坐標(biāo)公式可得Tt2+23，2t3，如方法1中的圖1所示.

而Q（－1，2t），結(jié)合kMQ=kMT，可得2t－0－1－3=2t3－0t2+23－3，整理有t2=3，則|t|=3.

所以S△TMF=16S△PMN=16×12×|MN|×|2t|=233.故填答案：233.

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件，通過平面向量的線性運(yùn)算與轉(zhuǎn)化，進(jìn)行三角形重心的確定，結(jié)合三角形重心的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)公式來確定對(duì)應(yīng)的重心坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線時(shí)對(duì)應(yīng)的直線斜率相等，結(jié)合直線的斜率公式、三角形的面積公式來分析與求解.利用解析幾何思維來處理解析幾何問題，回歸本質(zhì)與內(nèi)涵，關(guān)鍵是合理設(shè)點(diǎn)或設(shè)線，并結(jié)合公式對(duì)參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化與求值.

3 變式拓展

探究1：回歸問題的實(shí)質(zhì)，將平面向量的線性關(guān)系式的“包裝”直接換成三角形的重心這一條件，得到以下更加直接的變式問題.

變式1設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q.若M（3，0），N（－1，0），PF與MQ相交于點(diǎn)T，且點(diǎn)T恰好是△PMN的重心，則△TMF的面積為.

答案：233.

變式2設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q.若M（3，0），N（－1，0），PF與MQ相交于點(diǎn)T，且TN+TP=MT，則點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為.

答案：±233.

以上兩個(gè)變式問題的具體解析過程，可以參照以上原問題的解析來展開，這里不多加敘述.

4 教學(xué)啟示

4.1 掌握重心特征，尋覓切入視角

涉及三角形的重心的幾何特征與基本性質(zhì)主要包括以下幾類：（1）長(zhǎng)度比值的角度，表現(xiàn)為1∶2（或2∶1等）的比例關(guān)系；（2）坐標(biāo)參數(shù)的角度，表示為坐標(biāo)形式xA+xB+xC3，yA+yB+yC3；（3）平面向量的線性關(guān)系的角度，表示為GA+GB+GC=0（其中G為△ABC的重心）等.

借助以上三角形重心的幾何特征加以挖掘，在此基礎(chǔ)上尋覓合適的視角切入，結(jié)合平面幾何、解析幾何、解三角形等相關(guān)知識(shí)加以分析與處理，都會(huì)有不錯(cuò)的收獲.

4.2 創(chuàng)新思維方法，提升關(guān)鍵能力

在實(shí)際分析與解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，關(guān)鍵在于合理挖掘題設(shè)條件，開闊并發(fā)散數(shù)學(xué)思維，從而形成多思維、多視角、多方法的解題與應(yīng)用，一題多解，創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維與技巧方法.

通過數(shù)學(xué)思維方法的創(chuàng)新與應(yīng)用，結(jié)合“一題多解”，開闊解題思路，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，使得我們學(xué)會(huì)多角度分析和解決問題.在此基礎(chǔ)上，全面實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法的綜合與應(yīng)用，融合初中與高中相關(guān)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系與應(yīng)用，提升關(guān)鍵能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).