三角搭臺(tái) 導(dǎo)數(shù)唱戲：探究與三角函數(shù)交匯的函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

摘要：以三角函數(shù)為載體的函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，在近年高考試題中頻頻出現(xiàn).文章以幾道2023年高考試題為例，探究該類問(wèn)題的一般求解策略.

關(guān)鍵詞：三角；導(dǎo)數(shù)；求解策略

2023年高考新高考全國(guó)卷Ⅱ第22題，全國(guó)甲卷理第21題、文第20題均考查以三角函數(shù)為載體的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題.該類問(wèn)題由于對(duì)三角函數(shù)無(wú)論進(jìn)行幾次求導(dǎo)，仍含有三角函數(shù)，成為解題中的難點(diǎn).下面筆者以2023年高考試題為引例，探究該類問(wèn)題解題策略，以期拋磚引玉.

1 引例

（2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷·文20）已知函數(shù)f（x）=ax－sin xcos 2x，x∈0，π2.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）+sin x<0，求a的取值范圍.

解法賞析：（1）因?yàn)閍=1，所以函數(shù)f（x）=x－sin xcos 2x，x∈0，π2，于是求導(dǎo)可以得到

f′（x）=1－cos x＼5cos 2x－2cos x＼5（－sin x）＼5sin xcos 4x=1－cos 2x+2sin 2xcos 3x

=cos 3x－cos 2x－2（1－cos 2x）cos 3x=cos 3x+cos 2x－2cos 3x.

令t=cos x，由于x∈0，π2，則有t=cos x∈（0，1），所以cos 3x+cos 2x－2=t3+t2－2=t3－t2+2t2－2=t2（t－1）+2（t+1）（t－1）=（t2+2t+2）＼5（t－1）.因?yàn)閠2+2t+2=（t+1）2+1>0，t－1<0，cos 3x=t3>0，

所以f′（x）=cos 3x+cos 2x－2cos 3x<0在0，π2上恒成立，故f（x）在0，π2上單調(diào)遞減.

評(píng)析：代入a=1后，再對(duì)f（x）求導(dǎo)，同時(shí)利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)f′（x），再利用換元法判斷其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解.

（2）法一：令g（x）=f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x0<x<π2，則

g′（x）=a－1+sin 2xcos 3x+cos x0<x<π2.

若g（x）=f（x）+sin x<0，且g（0）=f（0）+sin 0=0，

結(jié)合g′（x）的單調(diào)性，則g′（0）=a－1+1=a≤0，解得a≤0.

當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)閟in x－sin xcos 2x=sin x1－1cos 2x，

又x∈0，π2，則0<sin x<1，1cos 2x>1，

所以f（x）+sin x=sin x－sin xcos 2x<0，滿足題意；

當(dāng)a<0時(shí)，由于0<x<π2，顯然ax<0，

所以f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x<sin x－sin xcos 2x<0，滿足題意.

綜上，若f（x）+sin x<0，等價(jià)于a≤0.

所以a的取值范圍為（－∞，0］.

評(píng)析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+sin x，可以得到g（x）<0，注意到g（0）=0，結(jié)合g′（x）的單調(diào)性得到g′（0）≤0，進(jìn)而得到a≤0，再分類討論a=0與a<0的情況即可得解.

法二：易得sin x－sin xcos 2x=sin xcos 2x－sin xcos 2x=sin x（cos 2x－1）cos 2x=－sin 3xcos 2x.

因?yàn)閤∈0，π2，所以0<sin x<1，0<cos x<1.故sin x－sin xcos 2x<0在0，π2恒成立.

（?。┊?dāng)a=0時(shí)，f（x）+sin x=sin x－sin xcos 2x<0，滿足題意.

（ⅱ）當(dāng)a<0時(shí)，由于0<x<π2，顯然ax<0，

所以f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x<sin x－sin xcos 2x<0，滿足題意.

（ⅲ）當(dāng)a>0時(shí)，f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x=ax－sin 3xcos 2x.

令g（x）=ax－sin 3xcos 2x0<x<π2，則g′（x）=a－3sin 2xcos 2x+2sin 4xcos 3x.

注意到g′（0）=a－3sin 20cos 20+2sin 40cos 30=a>0.

若x∈0，π2，g′（x）>0，則g（x）在0，π2上單調(diào)遞增.

注意到g（0）=0，所以g（x）>g（0）=0，即f（x）+sin x>0，不滿足題意.

若x0∈0，π2，g′（x0）<0，則g′（0）g′（x0）<0，

所以在0，π2上最靠近x=0處必存在零點(diǎn)x1∈0，π2，使得g′（x1）=0，

此時(shí)在（0，x1）上有g(shù)′（x）>0，所以g（x）單調(diào)遞增，

則在（0，x1）上有g(shù)（x）>g（0）=0，即f（x）+sin x>0，不滿足題意.

綜上，可知a≤0.

評(píng)析：先化簡(jiǎn)并判斷得sin x－sin xcos 2x<0恒成立，再分類討論a=0，a<0與a>0三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)知識(shí)判斷得a>0時(shí)不滿足題意.

2 高考鏈接

題1（2019年高考全國(guó)Ⅰ卷·理20）已知函數(shù)f（x）=sin x－ln（1+x），f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù).證明：

（1）f′（x）在區(qū)間－1，π2存在唯一極大值點(diǎn)；

（2）f（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

題2（2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷·22）

（1）證明：當(dāng)0<x<1時(shí)，x－x2<sin x<x；

（2）已知函數(shù)f（x）=cos ax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

3 方法歸納

根據(jù)三角函數(shù)的特點(diǎn)，破解這類函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯問(wèn)題，除了使用求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常規(guī)方法外，還可充分結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，在解法上呈現(xiàn)特別的“三角味”，常見(jiàn)的有以下方法：

（1）三角函數(shù)在各個(gè)象限符號(hào)的變化及周期性，研究三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，常用逐個(gè)區(qū)間分析法.

（2）根據(jù)三角函數(shù)的有界性，常利用|sin x|≤1及|cos x|≤1這兩個(gè)結(jié)論進(jìn)行放縮.

（3）利用當(dāng)x∈0，π2時(shí)，sin x＜x進(jìn)行放縮變形，實(shí)現(xiàn)“超越式”到“非超越式”的轉(zhuǎn)化.

（4）對(duì)一個(gè)較復(fù)雜的三角函數(shù)式，先觀察式中幾部分之間的聯(lián)系，利用換元可使得式子簡(jiǎn)化，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了“超越式”到“非超越式”的轉(zhuǎn)化，換元時(shí)須注意新變量的取值范圍.

4 變式訓(xùn)練

變式1已知函數(shù)f（x）=ex－2x－cos x.

①當(dāng)x∈（－∞，0）時(shí)，求證：f（x）＞0；

②若函數(shù)g（x）=f（x）+ln（x+1），求證：函數(shù)g（x）存在極小值.

方法提示：第（1）問(wèn)即利用sin x≤1判斷出f′（x）＜0，第（2）問(wèn)先構(gòu)造函數(shù)h（x）=g′（x），由逐個(gè)區(qū)間分析法易得當(dāng)x∈0，π2時(shí)，h′（x）＞0，從而h（x）=g′（x）＞g′（0）=0，進(jìn)而研究h′（x）在x∈（－1，0）時(shí)的符號(hào).顯然h′（0）=1，直觀感知當(dāng)x→－1時(shí)，h′（x）＜0，但如何取函數(shù)h′（x）在（－1，0）上的零點(diǎn)是一個(gè)難點(diǎn).這里仍需關(guān)注三角函數(shù)的有界性，取一個(gè)接近－1的數(shù)，如取－910，可得h′－910＜0.

變式2已知函數(shù)f（x）=ax－sin x（a∈R）.當(dāng)0＜x＜π2時(shí)，f（x）＜x36恒成立，求a的取值范圍.

方法提示：利用當(dāng)x∈0，π2時(shí)，sin x＜x，從而有sin 2x2＜x22.