抓住本質(zhì)，從一般到特殊命制試題

摘要：圓錐曲線中有許多二級(jí)結(jié)論，這些結(jié)論是教材知識(shí)的進(jìn)一步延伸，利用它們能快速解答問題，也可以利用它們引入特殊化思想命制試題.本文中以教材推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程為背景，分析推導(dǎo)過程中一些式子的幾何意義，得出結(jié)論，利用此結(jié)論命制了一個(gè)定值、定點(diǎn)問題.

關(guān)鍵詞：橢圓；斜率；定點(diǎn)；定值

1 試題呈現(xiàn)

原題（人教A版選擇性必修第一冊(cè)第108頁）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是－49，求點(diǎn)M的軌跡方程.x225+9y2100=1（x≠±5）

命題已知橢圓C：x24+y23=1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.

（1）（改編）設(shè)過橢圓中心的直線與橢圓的交點(diǎn)為M，N（與A不重合），記直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.

（2）（原創(chuàng)）設(shè)過右焦點(diǎn)F的直線與橢圓的交點(diǎn)為P，Q（與A不重合），則在橢圓C上是否存在點(diǎn)T，使得TP和TQ的斜率之積為定值？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2 命題過程

2.1 發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

教材（選擇性必修第一冊(cè)第106頁）在推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中得到（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），即a2y2=（a2－c2）（a2－x2）.當(dāng)x≠±a時(shí)，可以化簡(jiǎn)為yx－a·yx+a=c2－a2a2，即yx－a·yx+a=－b2a2.這事實(shí)上給出了橢圓的一條性質(zhì)：連接橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的點(diǎn)（長(zhǎng)軸的端點(diǎn)除外）與長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的兩條直線的斜率之積為定值－b2a2.聯(lián)系圓上一點(diǎn)與直徑兩端點(diǎn)的連線所成角為直角，對(duì)于上述性質(zhì)，可以再做推廣：橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任意一點(diǎn)P與過原點(diǎn)的弦AB的兩端點(diǎn)A，B的連線PA，PB（與坐標(biāo)軸不平行）斜率之積為定值－b2a2.（證明：設(shè)點(diǎn)P（x，y），A（x1，y1），則B（－x1，－y1），所以x2a2+y2b2=1，x21a2+y21b2=1，兩式相減得y2－y21x2－x21=－b2a2，即kPAkPB=－b2a2，為定值.）

2.2 命制試題

結(jié)合上述結(jié)論，可以選擇橢圓上的一個(gè)定點(diǎn)和一條過原點(diǎn)的動(dòng)直線命制一個(gè)定值的證明問題.根據(jù)本校學(xué)生實(shí)際情況，選擇左頂點(diǎn)為定點(diǎn)命制了問題（1）.

問題（1）中動(dòng)直線經(jīng)過橢圓的中心，若改為經(jīng)過焦點(diǎn)，此時(shí)直線和橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)和橢圓上與它們不重合的任意點(diǎn)的連線斜率之積還是定值嗎？計(jì)算發(fā)現(xiàn)只有左、右頂點(diǎn)滿足，據(jù)此特征命制了問題（2）.

上述兩個(gè)問題，圍繞斜率之積為定值展開，聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算，可以再命制兩直線斜率和、差、商為定值的問題，也可以把曲線變?yōu)殡p曲線、拋物線命制問題.比如，在問題（2）中，可以命制過焦點(diǎn)的直線與橢圓的兩交點(diǎn)與左、右頂點(diǎn)連線斜率之比為定值.總之，在圓錐曲線問題中引入直線，與它產(chǎn)生交點(diǎn)，再把交點(diǎn)與其他特殊點(diǎn)相連形成新的直線，從而可以命制與此直線有關(guān)的問題（如2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第21題）.

3 試題分析

3.1 考查意圖

本題以橢圓為載體，考查圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，特別體會(huì)到設(shè)點(diǎn)或設(shè)線不同會(huì)導(dǎo)致不同的運(yùn)算量，應(yīng)作出合理選擇.考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

3.2 試題分析

問題（1）：若把圖形變化的動(dòng)因看成是直線MN繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)引起的，可考慮設(shè)直線MN或AM的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而得出問題所需量解答問題；引起圖形變化的動(dòng)因，也可看成是由點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)引起，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為參數(shù)，由于點(diǎn)N與M對(duì)稱，則可得點(diǎn)N坐標(biāo)，從而可表示“問題所需”.思維導(dǎo)圖如圖1所示.

問題（2）：存在性問題，應(yīng)當(dāng)先假設(shè)存在.圖形變化是由直線PQ繞焦點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)而引起的，考慮設(shè)直線的的橫截距方程x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立.本題的難點(diǎn)是對(duì)斜率乘積算式的化簡(jiǎn)和分析，要使得斜率之積為定值，應(yīng)當(dāng)與m無關(guān)，得出對(duì)應(yīng)方程，給出點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證此點(diǎn)在橢圓上.思維導(dǎo)圖如圖2所示.

4 規(guī)范解答

4.1 第（1）問的解答

法一（設(shè)線）：設(shè)直線MN的方程為x=ty，M（x1，y1），N（x2，y2）.

聯(lián)立方程組x=ty，3x2+4y2=12，消去x，得

（3t2+4）y2=12.

解得y1=233t2+4，y2=－233t2+4.

所以k1·k2=y1x1+2·y2x2+2=233t2+42t33t2+4+2·－233t2+4－2t33t2+4+2=－1212t2－12t2+16=－34，為定值.

法二（設(shè)線）：設(shè)直線AM的方程為y=k1（x+2），M（x1，y1），N（x2，y2）.

聯(lián)立方程組y=k1（x+2），3x2+4y2=12，消去y，得

（3+4k21）x2+16k21x+16k21－12=0.①

因?yàn)榉匠挞俚囊粋€(gè)根為－2，所以－2·x1=16k21－123+3k21，則x1=6－8k213+4k21.

同理，可得x2=6－8k223+4k22.

由點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可以得到6－8k213+4k21=－6－8k223+4k22，整理得（k1k2）2=916.

因?yàn)閗1k2<0，所以k1k2=－34，為定值.

法三（設(shè)點(diǎn)）：設(shè)M（x0，y0），又點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以N（－x0，－y0）.

所以k1=y0x0+2，k2=－y0－x0+2，則

k1k2=y0x0+2·－y0－x0+2=－y204－x20.

又點(diǎn)M（x0，y0）在橢圓上，所以x204+y203=1，即

y20=34（4－x20）.

故k1k2=－y204－x20=－34（4－x20）4－x20=－34，為定值.

法四（設(shè)點(diǎn)）：根據(jù)橢圓方程可以設(shè)M的坐標(biāo)為（2cos θ，3sin θ），則N（－2cos θ，－3sin θ）.

所以k1=3sin θ2cos θ+2，k2=－3sin θ－2cos θ+2，故k1k2=3sin θ2cos θ+2·－3sin θ－2cos θ+2=－3sin 2θ4（1－cos 2θ）=－34，為定值.

4.2 第（2）問的解答

法一（設(shè)線）：設(shè)存在定點(diǎn)T（x0，y0）滿足題意，即kPTkQT為定值.

設(shè)直線PQ的方程為x=my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

聯(lián)立方程組x=my+1，3x2+4y2=12，消去x，得

（3m2+4）y2+6my－9=0，

則y1+y2=－6m3m2+4，y1y2=－93m2+4.

結(jié)合x1=my1+1，x2=my2+1，得

kPTkQT

=y1－y0x1－x0·y2－y0x1－x0

=y1y2－y0（y1+y2）+y20x1x2－x0（x1+x2）+x20

=y1y2－y0（y1+y2）+y20m2y1y2+m（1－x0）（y1+y2）+x20－2x0+1

=－9+6my0+y20（3m2+4）3m2（x20－4）+4（x0－1）2.

所以，當(dāng)y0=0且x20－4=0時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)T為橢圓的左、右頂點(diǎn)，kPTkQT為定值.

若T（－2，0），則kPTkQT=－14；若T（2，0），則kPTkQT=－94.

法二（極點(diǎn)極線）：

如圖3，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為B，連接AQ，BP.

根據(jù)題意，可得kAQkBP=13，kAPkBP=－34，則kAPkAQ=－14.

同理，可得kBPkBQ=－94.

所以，若T（－2，0），則kPTkQT=－14；若T（2，0），則kPTkQT=－94.

5 實(shí)測(cè)情況

本題滿分12分，每小題6分，全班共52人參加測(cè)試，用時(shí)15分鐘，平均得分為4.2分，滿分僅有2人.第（1）問大多數(shù)學(xué)生選擇設(shè)直線方程解答，少有學(xué)生抓住對(duì)稱性特征通過設(shè)點(diǎn)解答問題；第（2）問學(xué)生能完成一些運(yùn)算，但大多數(shù)不能堅(jiān)持下去，還有一部分學(xué)生無法分析斜率之積的算式，找出定值需要滿足的條件.

6 命題感悟

命題是為選拔人才服務(wù)，因此所命試題要符合課程標(biāo)準(zhǔn)要求，體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的育人價(jià)值和學(xué)科價(jià)值，培養(yǎng)科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí).

命題要精選素材，好的素材是命制好試題的基礎(chǔ).教材和高考真題是選擇好素材的重要依據(jù)，對(duì)于其中的一些典型問題，應(yīng)抓住其本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)變化中的不變性，通過特殊化、替換等思想命制試題，同時(shí)兼顧素養(yǎng)導(dǎo)向和能力考查.

命題要符合學(xué)情.命題要考慮到不同知識(shí)對(duì)應(yīng)核心素養(yǎng)的考查內(nèi)容及水平要求，符合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知能力，通過一定的情境，融合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，注重基礎(chǔ)性和應(yīng)用性，兼顧綜合性和創(chuàng)新性，難度恰當(dāng)，盡量做到入口寬、方法多樣.