特殊思維巧應(yīng)用，高考真題妙解答

摘要：特殊思維與方法是解決數(shù)學(xué)問題“通性通法”的升華與提升，成為快速簡捷處理數(shù)學(xué)客觀題的一種最為有效且靈活的基本思維方式.結(jié)合2024年高考真題中的幾個實(shí)例，借助特殊思維與方法的巧妙應(yīng)用，從不同知識點(diǎn)與應(yīng)用場面加以展開，優(yōu)化過程提升效益，總結(jié)特殊思維與方法的解題技巧與規(guī)律，指導(dǎo)高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)備考與優(yōu)化解題.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；特殊思維；函數(shù)；數(shù)列

特殊思維與方法，是解決數(shù)學(xué)問題中最具特色的一種“巧技妙法”，是解決問題的“通性通法”的升華與提升.特別地，在歷年高考數(shù)學(xué)試卷的一些相應(yīng)客觀題的解答中，經(jīng)?？梢越柚厥馑季S與方法（依托不同應(yīng)用場景，對特殊思維可以有不同的類型與變化形式），巧妙利用特殊元素（數(shù)值、數(shù)列、點(diǎn)、向量、圖形等）的選取與應(yīng)用，更加簡捷靈活地處理一些相關(guān)問題，真正達(dá)到“小題小做”“小題巧做”“小題快做”等良好解題效益，備受師生喜歡與追求.本文中結(jié)合2024年高考數(shù)學(xué)真題，就一些客觀題中特殊思維與方法的合理選用與巧妙應(yīng)用加以實(shí)例剖析.

1 函數(shù)或不等式問題中的特殊值

在函數(shù)或不等式應(yīng)用問題中，經(jīng)常借助特殊數(shù)值的選取與應(yīng)用，合理確定函數(shù)的取值、函數(shù)的圖象、不等式的關(guān)系等，給問題的突破與求解創(chuàng)造條件，更加簡捷有效地處理相關(guān)的函數(shù)或不等式問題.

例1（2024年高考數(shù)學(xué)北京卷·9）已知（x1，y1），（x2，y2）是函數(shù)y=2x圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（）.

A.log2y1+y22>x1+x22

B.log2y1+y22<x1+x22

C.log2y1+y22>x1+x2

D.log2y1+y22<x1+x2

分析：回歸函數(shù)與不等式問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，由一般到特殊，利用對應(yīng)函數(shù)的兩個特殊數(shù)值的選取與應(yīng)用，以特殊性來解決一般性，是解決此類答案確定且唯一問題中比較常用的一種“巧技妙法”.

解析：選取特殊值x1=0，x2=1，可得y1=2x1=1，y2=2x2=2，此時x1+x2=1，x1+x22=12，y1+y22=32，可得log2y1+y22=log232∈12，1，由此可以排除選項(xiàng)B，C；

再選取特殊值x1=－1，x2=0，可得y1=2x1=12，y2=2x2=1，此時x1+x2=－1，x1+x22=－12，y1+y22=34，可得log2y1+y22=log234∈－12，0，由此進(jìn)一步排除選項(xiàng)D.

故選：A.

點(diǎn)評：特殊數(shù)值的選取一般追求數(shù)字比較簡捷，方便進(jìn)一步的求值與數(shù)學(xué)運(yùn)算.同時注意的是，若一次特殊數(shù)值的選取無法直接確定答案，往往可以進(jìn)一步地第二次或第三次選取特殊值，直至最后一個.特殊數(shù)值法是大部分考生所追求的一種比較方便且有效的解題技巧與方法，關(guān)鍵要結(jié)合題設(shè)條件加以合理且科學(xué)的特殊數(shù)值選取，才可以保證問題分析過程的簡捷有效.

2 數(shù)列問題中的特殊數(shù)列

在數(shù)列應(yīng)用問題中，經(jīng)常借助特殊數(shù)列的選取與應(yīng)用，化一般數(shù)列問題為特殊數(shù)列（如常值數(shù)列、特殊的等差數(shù)列或等比數(shù)列等）問題，給數(shù)列中的通項(xiàng)、求和、參數(shù)等問題的應(yīng)用提供條件，進(jìn)而更加靈活快捷地處理相關(guān)的數(shù)列問題.

例2（2024年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文·4）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9=1，a3+a7=（）.

A.－2

B.73

C.1

D.29

分析：解決此類問題時，挖掘題目條件與內(nèi)涵，選取滿足條件的特殊數(shù)列——常值數(shù)列，進(jìn)而利用常值數(shù)列的特征性質(zhì)來分析、處理與解決問題，經(jīng)?？梢赃_(dá)到“秒殺”的良好效果.

解析：根據(jù)S9=1，不妨選取等差數(shù)列{an}為常值數(shù)列，此時等差數(shù)列的公差為d=0，an=a1.

結(jié)合S9=1=9a1，解得a1=19，則a3+a7=2a1=29.

故選：D.

點(diǎn)評：根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本題設(shè)場景，依托特殊數(shù)列——常值數(shù)列的選取與應(yīng)用，有時也是解決問題的一種“巧技妙法”.特殊思維場景下突出一般，充分體現(xiàn)辯證唯物主義思想.特殊數(shù)列的選取與應(yīng)用，特殊思維下要滿足題設(shè)條件的一般性，不能脫離現(xiàn)實(shí)問題而進(jìn)行盲目特殊化處理與應(yīng)用.

3 平面幾何問題中的特殊點(diǎn)

在平面幾何、解三角形、平面向量、平面解析幾何等應(yīng)用問題中，經(jīng)常借助特殊點(diǎn)的選取與應(yīng)用，以特殊點(diǎn)帶動相關(guān)平面幾何圖形的變化，可以更加簡捷創(chuàng)新地處理相關(guān)的平面幾何問題.

例3（2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·5）已知曲線C：x2+y2=16（y>0），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，則線段PP′的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）.

A.x216+y24=1（y>0）

B.x216+y28=1（y>0）

C.y216+x24=1（y>0）

D.y216+x28=1（y>0）

分析：抓住選擇題的結(jié)構(gòu)特征，合理選取曲線上特殊動點(diǎn)，借助特殊點(diǎn)的選取與應(yīng)用，回歸問題中相應(yīng)動點(diǎn)軌跡方程問題，結(jié)合選擇題中各選項(xiàng)的具體情況來合理排除與驗(yàn)證.

解析：依題，取特殊點(diǎn)P（0，4），依題可知，此時點(diǎn)M（0，2），將點(diǎn)M（0，2）代入各選項(xiàng)中的軌跡方程，只有選項(xiàng)A滿足，其他選項(xiàng)都不滿足.

故選：A.

點(diǎn)評：這里利用特殊點(diǎn)的巧妙選取與應(yīng)用，更加簡單快捷地確定正確的選擇項(xiàng)，靈活解決問題.特殊思維與方法，對于一些選擇題的解答起到非常好的效果，有時可以達(dá)到“秒殺”.在實(shí)際操作中，由于特殊值選取的不同，有時只要一次即可達(dá)到目的，有時要兩到三次才能加以合理排除與驗(yàn)證，關(guān)鍵在于對數(shù)字的敏感性.

4 幾何圖形問題中的特殊形狀

在解三角形、平面向量、立體幾何等問題中，經(jīng)常借助圖形特殊形狀的選取與應(yīng)用，以特殊的平面圖形（如直角三角形、矩形等）、特殊的立體圖形等形式來代表一般形狀，進(jìn)而更加靈活多變地處理相關(guān)的幾何圖形問題.

例4（2024年高考數(shù)學(xué)天津卷·9）一個五面體ABC-DEF，已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1.如圖1所示，已知AD=1，BE=2，CF=3.則該五面體的體積為（）.

A.36

B.334+12

C.32

D.334－12

分析：結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用祖暅原理，可以將一般性的五面體以特殊的形式出現(xiàn)，而所對應(yīng)的體積是一致的.不妨設(shè)AD⊥底面ABC，此時AB=BC=CA=1.這樣操作起來就更加簡捷有效，給問題的突破與求解創(chuàng)造更多的機(jī)會，也減少數(shù)學(xué)運(yùn)算，優(yōu)化解題過程.

解析：依題，借助特殊形狀的立體幾何圖形的選取來分析與處理，不妨設(shè)AD⊥底面ABC，此時AB=BC=CA=1，如圖2.

在BE，CF上分別取點(diǎn)M，N，使得BM=CN=1，連接DM，MN，ND.

結(jié)合空間幾何體的基本性質(zhì)，有

VABC-DEF=VABC-DMN+VD-MNFE.

結(jié)合AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD=1，BE=2，CF=3，可知

VABC-DMN=34×12×1=34，

VD-MNFE=13×12（1+2）×1×32=34.

所以VABC-DEF=34+34=32.

故選：C.

點(diǎn)評：依托立體幾何的結(jié)構(gòu)特征與祖暅原理，合理加以特殊圖形的選取與應(yīng)用，給問題的分析與求解創(chuàng)造更加靈活有效的場景.當(dāng)然，基于特殊圖形的選取，對于此類不規(guī)則的空間幾何體的體積求解問題，比較常見的思維方式就是借助割補(bǔ)法來處理.其實(shí)，割補(bǔ)法可分為“補(bǔ)形法”與“分割法”這兩種不同的處理方式，有時也采用“割補(bǔ)相結(jié)合”的求解思維方式.

巧妙利用特殊思維與方法來破解一些相關(guān)的數(shù)學(xué)客觀題，是夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與提升數(shù)學(xué)基本技能的綜合體現(xiàn)，有其特殊的優(yōu)勢與美妙的體驗(yàn)，是數(shù)學(xué)“四基”落實(shí)并上升到一定程度的靈活、創(chuàng)新“產(chǎn)物”.

基于特殊思維與一般思維的轉(zhuǎn)化與升華，特殊思維與方法在一定程度上可以簡化繁雜的邏輯推理與復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算等，將復(fù)雜問題簡單化，將繁雜過程簡捷化，從而全面強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想與技巧方法，優(yōu)化數(shù)學(xué)解題過程，提升數(shù)學(xué)解題效益，節(jié)省寶貴的考試時間.