數(shù)學(xué)解題教學(xué)中解題過程嚴(yán)謹(jǐn)性及規(guī)范性探究

摘要：在高中數(shù)學(xué)解題的過程中，不僅要確保解題過程正確、清晰、簡潔、完整，同時還必須要保證其規(guī)范性.規(guī)范性的解題，有助于學(xué)生建立起解題的思維框架，避免思維混亂和跳躍，能幫助學(xué)生培養(yǎng)邏輯思維和推理能力，提高解題的準(zhǔn)確性.本文中以不等式證明為例，深入研究解題過程規(guī)范性的要求，結(jié)合實例分析給出了培養(yǎng)解題過程規(guī)范性的方法和技巧，最后對解題教學(xué)提出了一些啟示和建議.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；規(guī)范性；不等式證明

數(shù)學(xué)是一門注重理論性的學(xué)科，具有很強的嚴(yán)謹(jǐn)性.學(xué)生在高考中能否拿到滿分，不僅和學(xué)生自身掌握的知識有關(guān)，還和解題書寫過程，解題是否規(guī)范有很大的關(guān)聯(lián).在高考數(shù)學(xué)的評分標(biāo)準(zhǔn)中，已經(jīng)對解題的規(guī)范性做出了明確的要求[1].解題的規(guī)范性對于高考數(shù)學(xué)成績的提升至關(guān)重要.學(xué)生需要在解題過程中注重嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性，確保每一步的推導(dǎo)都清晰準(zhǔn)確.通過高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中對解題過程規(guī)范性的探究，可以幫助學(xué)生提高解題質(zhì)量，為他們在高考中取得好成績奠定基礎(chǔ).

1 解題過程實例分析

結(jié)合學(xué)生對一道不等式的證明過程，探究高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中解題過程的規(guī)范性.

例若a3+b3=2，求證a+b≤2.

同學(xué)甲的證明過程如下：

證明：假設(shè)a+b>2，則

a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）>2（a2－ab+b2）.①

而a3+b3=2，故a2－ab+b2<1.

所以1+ab>a2+b2≥2ab.

于是ab<1.

所以a2+b2<1+ab<2.

所以（a+b）2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.

∴a+b<2.②

這與假設(shè)矛盾，故a+b小于等于2.③

分析：本解法的失分點有如下四個方面.

（1）①式不嚴(yán)謹(jǐn)，漏掉了條件“因為a2－ab+b2>0，”應(yīng)該加上；

（2）②式中將數(shù)學(xué)中表示邏輯關(guān)系的語言文字因為、所以和數(shù)學(xué)中的符號語言∵∴混用；

（3）②式的表達不嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)該是“－2<a+b<2”；

（4）③處的結(jié)論表達不規(guī)范，沒有使用特定的符號，即數(shù)學(xué)符號應(yīng)用不規(guī)范，應(yīng)該是“故a+b≤2”.

反思：數(shù)學(xué)題的解題過程需要使用特定的數(shù)學(xué)語言進行書寫和表達，包括符號語言、圖形語言和圖像語言[2].這些語言是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要組成部分，能夠幫助學(xué)生準(zhǔn)確地傳達他們的思想和推理過程.通過使用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號和術(shù)語，學(xué)生可以避免語義模糊或誤解，確保解題過程的準(zhǔn)確性和清晰性.

同學(xué)乙的證明過程如下：

證明：假設(shè)a+b>2，則a>2－b，所以

2=a3+b3>（2－a）3+b3.④

所以2>8－12b+6b2，即

（b－1）2<0.

這不可能，從而a+b＞2.⑤

分析：本解法的失分點有如下兩個方面.

（1）④式有誤，在（2－a）3中，誤將b表達成a，估計是粗心造成的，應(yīng)該是（2－b）3.

（2）⑤式錯誤且不嚴(yán)謹(jǐn)，“大于”符號應(yīng)該是“小于等于”符號≤，即應(yīng)為“從而a+b≤2”.估計是學(xué)生粗心導(dǎo)致的.

反思：在高中數(shù)學(xué)的不等式證明中，通常會涉及到多個字母，這使得證明過程變得更加復(fù)雜.因此，學(xué)生在證明不等式時，需要格外細(xì)致.應(yīng)該反復(fù)檢查每個推理步驟，確保沒有遺漏任何細(xì)節(jié)或者出現(xiàn)細(xì)節(jié)上的錯誤.需要仔細(xì)審查每個步驟中的運算符號、字母以及代數(shù)運算的正確性.任何一個細(xì)節(jié)上的錯誤都可能導(dǎo)致整個證明的錯誤.同時，還需要對推導(dǎo)的結(jié)論進行驗證，即使一個證明過程看起來很完整、很正確，但如果結(jié)論不正確，那么整個證明也是無效的.在不等式證明中，只需要將自己的結(jié)論和題目中的結(jié)論進行對比，就可以知道結(jié)論正確與否.

同學(xué)丙的證明過程如下：

證明：假設(shè)a+b>2，則有3ab（a+b）>6，所以ab（a+b）>2.

又a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）=2，可得

ab（a+b）>（a+b）（a2－ab+b2）.

所以a2－ab+b2<ab，即（a－b）2<0.

分析：本解法的失分原因在于學(xué)生丙的證明跳過了一些關(guān)鍵步驟，沒有書寫出3ab（a+b）>6的推導(dǎo)過程，導(dǎo)致步驟和步驟之間的依據(jù)和邏輯關(guān)系不夠清晰.同時，證明過程不夠完整.只推理到（a－b）2<0，是一個不完整的證明過程.

上述例題正確的規(guī)范解法如下：

證明：假設(shè)a+b>2，則（a+b）3>8，即

a3+b3+3ab（a+b）>8.

由a3+b3=2，得3ab（a+b）>6，即ab（a+b）>2.

又a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）=2，

所以

ab（a+b）>（a+b）（a2－ab+b2）.

所以a2－ab+b2<ab，即（a－b）2<0.

這不可能，從而a+b≤2.

反思：在證明過程中，學(xué)生一定要注意證明過程的邏輯性和完整性，切勿出現(xiàn)遺漏步驟的情況.應(yīng)詳細(xì)展示每個步驟和推理，包括中間結(jié)果和推導(dǎo)過程.這樣可以讓讀者或評卷人清楚地理解解題思路和推理過程.此外，通過展示中間結(jié)果和推導(dǎo)過程，學(xué)生還可以自我檢查解題的正確性和邏輯性，及時發(fā)現(xiàn)和糾正錯誤.因此，詳細(xì)展示每個步驟和推理是解題過程中必不可少的一步，有助于提高學(xué)生解題質(zhì)量和數(shù)學(xué)表達能力.

2 培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范性解題的對策

2.1 重視教師解題的嚴(yán)謹(jǐn)性與規(guī)范性

在教學(xué)過程中，教師可以通過展示規(guī)范的解題過程，發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，幫助學(xué)生形成良好的書寫習(xí)慣.在解題過程中，教師要注意解題內(nèi)容的條理性、邏輯性和系統(tǒng)性，不放過任何的解題步驟.尤其在進行例題講解時，要從“解”字開始，一步一步地書寫，給學(xué)生良好的示范，這才是例題的功能.如果在講解例題時，教師只通過多媒體進行演示或者隨意板書，學(xué)生就只能“知其意而不知其形”，認(rèn)為書寫過程不重要，只有內(nèi)容是重要的.在書寫時，要注意格式和數(shù)學(xué)符號的正確應(yīng)用.需要作圖時，盡量使用作圖工具，規(guī)范作圖，并詳細(xì)講解步驟.如使用多媒體教學(xué)而不進行板書時，應(yīng)利用畫筆工具，對每個解題步驟進行標(biāo)注.教師的板書是學(xué)生書寫的重要參考之一，教師規(guī)范性的板書能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，幫助學(xué)生正確書寫解題步驟.

2.2 重視學(xué)生平時訓(xùn)練的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性

在平時的教學(xué)過程中，教師要注意強調(diào)學(xué)生平時訓(xùn)練的嚴(yán)謹(jǐn)性與規(guī)范性，在日常練習(xí)中不斷培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性.對于一些典型的題目，教師可以讓學(xué)生在黑板上完成解題過程.這種學(xué)生板演的方式可以幫助教師了解學(xué)生對知識點的掌握情況，同時也能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生的共性問題.通過發(fā)現(xiàn)這些共性問題，教師可以有針對性地進行講解，促使學(xué)生的解題過程具有條理性、邏輯性和系統(tǒng)性，確保學(xué)生不會遺漏任何步驟.在學(xué)生板演過程中，教師可以巡視其他同學(xué)的解題過程，發(fā)現(xiàn)他們可能存在的問題，并及時點撥.學(xué)生板演和教師巡視點撥的過程是互動的，通過學(xué)生的演示和教師的指導(dǎo)，可以促進學(xué)生之間的合作和交流.學(xué)生也可以通過觀察其他同學(xué)的解題過程，了解不同的解題思路和方法，從中獲得啟發(fā)和借鑒.此外，在平時的作業(yè)中，教師需要不斷強調(diào)作業(yè)的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性，改正學(xué)生對作業(yè)的“隨意”態(tài)度.教師應(yīng)按照考試要求，對平時的作業(yè)作出要求：批改作業(yè)時，應(yīng)按照標(biāo)準(zhǔn)步驟進行評價.只有在日常中融入嚴(yán)謹(jǐn)性與規(guī)范性觀念，學(xué)生才能夠更好地理解并掌握解題的規(guī)范步驟，才會逐漸明白，解題不僅僅是寫出答案，更重要的是要按照一定的步驟和要求進行書寫.

2.3 重視對嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性的評價反饋

在教學(xué)過程中，教師要對學(xué)生作業(yè)中或者試卷中出現(xiàn)的規(guī)范性問題及時給予反饋.如果學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)錯誤，但沒有及時得到指導(dǎo)和糾正，錯誤可能會一直延續(xù)下去.教師的反饋應(yīng)該包括對解題過程嚴(yán)謹(jǐn)性與規(guī)范性的評價和指導(dǎo).評價要客觀公正，準(zhǔn)確指出學(xué)生在解題過程中存在的問題；指導(dǎo)要具體明確，給出具體改進的建議和方法.通過及時的反饋，教師可以幫助學(xué)生糾正書寫錯誤，提高解題過程的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性.學(xué)生在得到反饋后，可以對自己的解題過程進行反思和改進，從而不斷提高解題的準(zhǔn)確性和效率.同時，及時的反饋也能夠增強學(xué)生的學(xué)習(xí)動力和自信心，激發(fā)他們對學(xué)習(xí)的興趣和熱情.

參考文獻：

[1]李慧.如何培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)解題的規(guī)范性[J].數(shù)理化解題研究，2021（18）：14-15.

[2]孟令輝.高中生數(shù)學(xué)解題規(guī)范性錯誤研究[J].考試周刊，2017（14）：56.