巧借特殊思維，妙破解析幾何

一般思維與特殊思維是辯證思維模式中的兩種方式，二者之間又是辯證統(tǒng)一的.在解決一些客觀(guān)題時(shí)，特別是有確定答案的選擇題或填空題時(shí)，借助場(chǎng)景應(yīng)用，合理選用特殊思維，使得一般性問(wèn)題特殊化，從中尋找分析與研究問(wèn)題的一般性規(guī)律，給問(wèn)題的突破與求解開(kāi)拓一個(gè)全新的局面.

在處理平面解析幾何問(wèn)題時(shí)，借助直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)等相關(guān)曲線(xiàn)的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，優(yōu)化其“數(shù)”的基本屬性與“形”的結(jié)構(gòu)特征，以特殊思維巧妙切入，借助特殊元素、特殊關(guān)系、特殊位置或特殊性質(zhì)等特殊形式來(lái)應(yīng)用，有時(shí)可以簡(jiǎn)單快捷處理一些相關(guān)的平面解析幾何問(wèn)題.

1 特殊元素

在平面解析幾何中，通過(guò)特殊元素的合理應(yīng)用，如特殊點(diǎn)、特殊線(xiàn)段、特殊角等的確定，化一般為特殊，化“動(dòng)”為“靜”，優(yōu)化結(jié)構(gòu)與過(guò)程，以特殊情況下所確定的結(jié)論來(lái)回歸一般性問(wèn)題.

例1〔2024年江西省贛州市高三（上）期末考試數(shù)學(xué)試卷〕已知A（x1，y1），B（x2，y2）是圓O：x2+y2=2上兩個(gè)不同點(diǎn).若x1x2+y1y2=－1，則x1+x2+y1+y2的取值范圍是（）.

A.－22，22

B.[－1，1]

C.[－2，2]

D.[－2，2]

分析：根據(jù)題設(shè)條件，通過(guò)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合相應(yīng)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想并構(gòu)建對(duì)應(yīng)的平面向量的數(shù)量積，確定兩向量之間的夾角，而借助特殊思維，通過(guò)特殊點(diǎn)的選取，利用代數(shù)式的取值情況進(jìn)行巧妙排除，處理起來(lái)更加簡(jiǎn)單快捷.

解析：依題，可得OA·OB=x1x2+y1y2=－1，又|OA|=|OB|=2，

結(jié)合cos〈OA，OB〉=OA＼5OB|OA||OB|=－12，0≤〈OA，OB〉≤π，可得〈OA，OB〉=2π3.

選取特殊點(diǎn)A（2，0），此時(shí)可取點(diǎn)B，其坐標(biāo)為2cos 2π3，2sin 2π3，即－22，62.

所以x1+x2+y1+y2=2－22+62=2+62>2.結(jié)合各選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)信息，由此可以排除選項(xiàng)A，B，C，故選擇答案：D.

2 特殊關(guān)系

在求解平幾問(wèn)題時(shí)，借助問(wèn)題場(chǎng)景的變化情況，通過(guò)特殊關(guān)系的建立，如點(diǎn)的重合、線(xiàn)段長(zhǎng)度相等的確定，優(yōu)化問(wèn)題中相關(guān)要素之間的關(guān)系，使得問(wèn)題更加清晰明了，給問(wèn)題的解決提供明朗的方向，進(jìn)而以特殊關(guān)系所確定的結(jié)論來(lái)解決一般性問(wèn)題.

例2〔2024年廣東省普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（一）（廣東一模）數(shù)學(xué)試卷〕已知直線(xiàn)l與橢圓C：x23+y22=1在第一象限交于P，Q兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，則l的斜率為.

分析：根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，以及其中動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線(xiàn)的變化情況，利用特殊關(guān)系的構(gòu)建，或利用線(xiàn)段長(zhǎng)度相等，或利用點(diǎn)的重合等，以特殊思維形式來(lái)確定對(duì)應(yīng)問(wèn)題成立時(shí)的條件，進(jìn)而簡(jiǎn)單直接處理與求解.

解法1：（特殊法1）

根據(jù)題設(shè)條件|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，借助特殊關(guān)系取|QN|=|PM|.

設(shè)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為H，則H也是線(xiàn)段MN的中點(diǎn).

設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=kx+m，可得點(diǎn)H的坐標(biāo)為－m2k，m2，則有kOH=m2－m2k=－k.

由橢圓的中點(diǎn)弦定理可得，k·kOH=－b2a2=－23，即－k2=－23，解得k=－63（正值舍去）.

所以l的斜率為－63.故填答案：－63.

解法2：（特殊法2）借助極限思維可知，點(diǎn)P，Q無(wú)限接近時(shí)，假設(shè)此時(shí)P，Q兩點(diǎn)重合.

結(jié)合題設(shè)條件|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，可知P（或Q）是線(xiàn)段MN的中點(diǎn).

設(shè)直線(xiàn)MN的方程為xm+yn=1（m>0，n>0），可得P（或Q）的坐標(biāo)為m2，n2.

由橢圓的中點(diǎn)弦定理，可得kMN·kOP=－b2a2=－23，即n2m2=23，解得nm=63（負(fù)值舍去）.

所以l的斜率為－nm=－63.

解法3：（特殊法3）設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，借助極限思維可知點(diǎn)M，P（或Q）→A，點(diǎn)N，Q（或P）→B，滿(mǎn)足|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，

此時(shí)kPQ=kAB=－23=－63.

3 特殊位置

有些解析幾何題，通過(guò)特殊位置的合理確定，如直線(xiàn)的平行或垂直、直線(xiàn)與圓或圓錐曲線(xiàn)相切等，聯(lián)系起相應(yīng)的直線(xiàn)與圓、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置，基于其中更加明了清晰的位置來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與求解，從而直觀(guān)形象地分析與解決問(wèn)題.

例3（2024年湖北省高中畢業(yè)生4月模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）拋物線(xiàn)Г：x2=2y上有四點(diǎn)A，B，C，D，直線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)P，且PC=λPA，PD=λPB（0<λ<1）.過(guò)A，B分別作Г的切線(xiàn)交于點(diǎn)Q，若S△ABPS△ABQ=23，則λ=（）.

A.32

B.23

C.33

D.13

分析：題設(shè)條件中的點(diǎn)、線(xiàn)眾多，關(guān)系比較復(fù)雜，而借助特殊思維方法，通過(guò)兩平行弦與x軸平行這種特殊位置的選取，借助圖形的對(duì)稱(chēng)性，給問(wèn)題的突破與求解提供更加簡(jiǎn)捷的應(yīng)用場(chǎng)景.

解析：依題，由于PC=λPA，PD=λPB，可知AB∥CD.

又由選項(xiàng)可知λ為定值，因此可用特殊思維方法，考慮兩平行弦與x軸平行這種特殊位置情形，其中AB，CD與y軸的交點(diǎn)分別為M，N.

如圖1所示，設(shè)Aa，a22，P（0，t），由PC=λPA可得|NC|=λ|MA|，即xC=λa，則有yC=12x2C=12λ2a2.

由PC=λPA，得|PN|=λ|PM|，即12λ2a2－t=λa22－t，解得t=－12λa2.

而由y=x22求導(dǎo)可得y′=x，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知點(diǎn)Aa，a22處的切線(xiàn)AQ的方程為y－a22=a（x－a），令x=0，解得y=－a22，則Q0，－a22.

所以S△ABPS△ABQ=|PM||QM|=a22+12λa2a22+a22=1+λ2=23，解得λ=13.故選擇答案：D.

4 特殊性質(zhì)

有些解析幾何題，通過(guò)特殊性質(zhì)，如曲線(xiàn)或圖形的對(duì)稱(chēng)性、平行關(guān)系或垂直關(guān)系等，抓住相應(yīng)的一些基本特殊性質(zhì)直接切入，經(jīng)?？梢越o問(wèn)題的解決“撕開(kāi)”一道突破口.

例4〔2024屆廣東省高三（下）學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷〕過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l：y=kx與圓x2－6x+y2－6y+16=0交于A，B兩點(diǎn)，且|OA|=|AB|，則k=qjtB1EgpVLuRj47GBm0S1tSdeo060+xVpga1fhA8HTw=（）.

A.1

B.2

C.12

D.2

分析：根據(jù)題設(shè)條件，抓住直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系及對(duì)稱(chēng)思維，從特殊性質(zhì)層面逆向思維切入，并結(jié)合單選題的特征，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的巧妙突破，解答起來(lái)更加簡(jiǎn)單快捷，甚至達(dá)到“稱(chēng)殺”的效果.

解析：由圓x2－6x+y2－6y+16=0配方可得（x－3）2+（y－3）2=2，則圓心C（3，3），半徑r=2.

借助直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的特殊性質(zhì)，若直線(xiàn)l：y=kx不過(guò)圓心C，根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的對(duì)稱(chēng)性，可知這樣的直線(xiàn)有兩條，與條件中的單項(xiàng)選擇題不吻合，則只能是直線(xiàn)l：y=kx過(guò)圓的圓心C，所以k=kOC=1.故選擇答案：A.

依托平面解析幾何中一些不確定的量與場(chǎng)景，合理應(yīng)用特殊思維，巧妙借助特殊元素、特殊關(guān)系、特殊位置或特殊性質(zhì)等特殊形式來(lái)轉(zhuǎn)化，可以使得問(wèn)題中的一些變化的量以一種特殊的形式出現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)客觀(guān)性問(wèn)題的突破與解決.特殊思維應(yīng)用的本質(zhì)就是“一般”中尋找“特殊”，“特殊”中呈現(xiàn)“一般”，減化推理論證步驟，優(yōu)化解題過(guò)程，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算，提升解題效益.