二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與零點(diǎn)分布

摘要：涉及二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)分布問(wèn)題，是二次函數(shù)、二次方程與二次不等式問(wèn)題中最為常見(jiàn)的一類(lèi)基本問(wèn)題.結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與零點(diǎn)分布情況，通過(guò)不同類(lèi)型就對(duì)應(yīng)實(shí)例的剖析，挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，歸納解題技巧與策略，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；方程；不等式；圖象；性質(zhì)

二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題，往往可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布問(wèn)題，利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況來(lái)直觀分析與研究.一般從二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸位置、判別式Δ的符號(hào)以及端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)等方面加以分析與考慮，數(shù)形結(jié)合，直觀分析，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與解決.

1 “x1≤x2<k”型

例1若函數(shù)f（x）=x2+（m－2）x+（5－m）有兩個(gè)小于2的不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式正負(fù)情況、對(duì)稱(chēng)軸的取值范圍以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)等構(gòu)建不等式組，通過(guò)不等式組的求解來(lái)確定參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與解決.

解析：依題，如圖1所示，可得Δ=（m－2）2－4（5－m）>0，－m－22<2，f（2）=m+5>0.

解得m>4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（4，+∞）.

故填答案：（4，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：從二次函數(shù)的“數(shù)”的基本屬性巧妙轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)圖象的“形”的基本特征問(wèn)題，由“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”，再由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式（組），結(jié)合不等式（組）的求解來(lái)達(dá)到目的.這里要注意的是，由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”構(gòu)建不等式（組）時(shí)，要全面考慮，恒等轉(zhuǎn)化.

2 “k<x1≤x2”型

例2若函數(shù)f（x）=x2－2ax+4的兩個(gè)零點(diǎn)都大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，由二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都大于1確定對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象特征，由此構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式（組），抓住二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式正負(fù)情況、對(duì)稱(chēng)軸的取值范圍以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)取值等情況來(lái)分析與處理.

解析：依題，如圖2所示，可得Δ=（2a）2－16≥0，－－2a2>1，f（1）=5－2a>0.

解得2≤a<52，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為2，52.

故填答案：2，52.

點(diǎn)評(píng)：正確構(gòu)建二次函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特征，由此通過(guò)“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”，又由“形”抽象“數(shù)”，合理構(gòu)建相應(yīng)的的不等式（組），恒等變形與轉(zhuǎn)化相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程等相關(guān)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)參數(shù)取值的求解與應(yīng)用.

3 “x1<k<x2”型

例3已知二次函數(shù)y=（m+2）x2－（2m+4）x+（3m+3）有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)取值情況加以分類(lèi)討論，并利用對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)取值來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式組.合理分類(lèi)討論，分析與解決對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值問(wèn)題.

解析：如圖3所示，可分為以下兩種情況.

第一種情況，有m+2>0，f（1）<0，解得－2<m<－12；

第二種情況，有m+2<0，f（1）>0，此不等式組無(wú)解.

綜上分析，可實(shí)數(shù)m的取值范圍為－2，－12.

故填答案：－2，－12.

點(diǎn)評(píng)：在解決含參的二次函數(shù)及其相關(guān)綜合問(wèn)題時(shí)，要考慮二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)取值情況，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，以不同形式來(lái)確定二次函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式（組），實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決與突破.

4 “x1，x2∈（k1，k2）”型

例4方程8x2－（m－1）x+m－7=0兩實(shí)根都在區(qū)間（1，3）內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，由二次方程的根轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，綜合二次函數(shù)的開(kāi)口方向、相應(yīng)的判別式的正負(fù)、對(duì)稱(chēng)軸的取值范圍以及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的取值情況等，

合理構(gòu)建相應(yīng)的不等式（組）來(lái)實(shí)現(xiàn)參數(shù)的分析與求解.

解析：設(shè)函數(shù)f（x）=8x2－（m－1）x+m－7，如圖4所示，

可得Δ≥0，f（1）>0，f（3）>0，1<m－116<3，即m≤9或m≥25，m∈R，m<34，17<m<49，解得25≤m＜34.

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[25，34）.

故填答案：[25，34）.

點(diǎn)評(píng)：由一元二次方程根的分布情況對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特征，又由相應(yīng)“形”的特征來(lái)構(gòu)建“數(shù)”的基本屬性，合理構(gòu)建相應(yīng)的不等式（組），實(shí)現(xiàn)二者之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化與合理過(guò)渡，“數(shù)”與“形”聯(lián)系，“數(shù)”與“形”結(jié)合.

5 “x1∈（k1，k2）和x2∈（k3，k4）”型

例5已知關(guān)于x的方程4x2－2（m+1）x+m=0，若該方程的一根在區(qū)間（0，1）上，另一根在區(qū)間（1，2）上，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，由二次方程的根轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)零點(diǎn)的位置情況，合理構(gòu)建相應(yīng)的不等式（組），實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的合理轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用.

解析：設(shè)函數(shù)f（x）=4x2－2（m+1）x+m，如圖5所示，

可得

f（0）=m>0，f（1）=4－2（m+1）+m<0，f（2）=4×22－2×2（m+1）+m>0.

解得2＜m＜4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（2，4）.

故填答案：（2，4）.

點(diǎn)評(píng)：借助二次方程的根與對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化，通過(guò)函數(shù)圖象，巧妙實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化，恒等變形與應(yīng)用.

6 “x1<k1且x2>k2”型

例6方程x2－（m－1）x+m－7=0兩根x1，x2滿足x1<－1，x2>2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，由二次方程的根轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合構(gòu)建涉及對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)取值的不等式組，通過(guò)不等式組的求解來(lái)確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍，得以轉(zhuǎn)化與解決問(wèn)題.

解析：設(shè)函數(shù)f（x）=x2－（m－1）x+m－7，如圖6所示，

可得f（－1）<0，f（2）<0，即

（－1）2－（m－1）×（－1）+m－7<0，22－2（m－1）+m－7<0.

解得－1＜m＜72，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為－1，72.

故填答案：－1，72.

點(diǎn)評(píng)：借助二次方程的根的取值情況，巧妙轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)及其相應(yīng)的圖象，數(shù)形結(jié)合加以分析，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式組，實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”之間的過(guò)渡，“數(shù)”“形”結(jié)合，合理轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用.

在解決一些相關(guān)的二次方程的根或二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，巧妙通過(guò)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)的分布特征，“數(shù)”“形”結(jié)合，以“形”的結(jié)構(gòu)特征來(lái)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的“數(shù)”的基本屬性，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式（組），從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與求解.