揭示知識(shí)本質(zhì) 提升核心素養(yǎng)

解三角形問題中的“爪”型結(jié)構(gòu)，成為了最近幾年高考命題的新寵.所謂“爪”型結(jié)構(gòu)，即在給定的三角形內(nèi)，通過連接某一頂點(diǎn)與對(duì)邊上任意一點(diǎn)，構(gòu)建出一種形似爪子的幾何形態(tài)，該問題往往聚焦于三角形的三大核心元素——中線、高線及角平分線來檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.這類問題不僅要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)運(yùn)算功底，還需具備邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 解三角形中有關(guān)中線問題

在解決與三角形中線相關(guān)的問題時(shí)，有時(shí)需靈活運(yùn)用多種策略以攻克難點(diǎn).首先，正弦定理、余弦定理作為構(gòu)建方程的經(jīng)典工具，無疑是解決此類問題的首選.通過巧妙運(yùn)用這些定理，可以將三角形的邊長(zhǎng)與角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為可解的代數(shù)方程，進(jìn)而求得答案；其次，向量法為解題提供了有力的支持，通過向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積等性質(zhì)，建立起與三角形中線相關(guān)的向量方程，這些方程往往能夠直觀反映三角形的幾何特征，從而簡(jiǎn)化解題過程.在解題過程中，我們應(yīng)根據(jù)題目的具體特點(diǎn)選擇合適的解題方法.同時(shí)，注重培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)直覺與邏輯推理能力也是至關(guān)重要的，這將有助于我們?cè)诿鎸?duì)復(fù)雜問題時(shí)能夠迅速找到突破口并順利解決.

例1已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，bcos C+ccos B=2acos A.

（1）求角A；

（2）若△ABC中BC邊上中線AD的長(zhǎng)度為3，求△ABC面積的最大值.

解析：（1）由題意知bcos C+ccos B=2acos A，由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin A＼5cos A，所以sin（B+C）=2sin Acos A.而A+B+C=π，則B+C=π－A，所以sin（B+C）=sin（π－A）=sin A=2sin Acos A.又A是△ABC的內(nèi)角，sin A≠0，

所以cos A=12.故A=π3.

（2）由AD是△ABC中BC邊上的中線，得AD=12AB+12AC，即2AD=AB+AC，有|2AD|2=|AB+AC|2，

則|2AD|2=|AB|2+2|AB||AC|＼5cos A+|AC|2，所以36=b2+c2+bc≥3bc，解得bc≤12，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立.故S△ABC=12bcsin A=34bc≤33，即△ABC面積的最大值為33.

點(diǎn)評(píng)：本題解三角形中線問題是結(jié)合向量的運(yùn)算、基本不等式進(jìn)行解答，由此可以發(fā)現(xiàn)向量法在平面幾何中的重要位置.向量作為一種重要的解題工具，在解三角形問題中顯得尤為重要，解答本題要熟練掌握正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題，結(jié)合基本不等式求得面積的最大值.

2 解三角形中有關(guān)角平分線問題

解三角形有關(guān)的角平分線問題，可以從幾個(gè)關(guān)鍵方面來入手探討：（1）三角形的角平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量或三角函數(shù)的形式，從而利用這些數(shù)學(xué)工具來建立方程或不等式；（2）利用三角形的面積公式和等面積性質(zhì)，將角平分線問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊長(zhǎng)的問題；（3）通過向量的線性運(yùn)算（如加法、減法）和數(shù)量積運(yùn)算，表示出三角形中的各種幾何量（如邊長(zhǎng)、角度）之間的關(guān)系，并據(jù)此建立方程；（4）三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，這一性質(zhì)為我們提供了解決角平分線問題的另一個(gè)視角；（5）利用三角形的對(duì)稱性來簡(jiǎn)化問題.例如，在等腰三角形或等邊三角形中，角平分線具有特殊的對(duì)稱性質(zhì)，這些性質(zhì)可以幫助我們更快地找到問題的解決方案.

例2法國(guó)偉大的軍事家、政治家拿破侖一生鐘愛數(shù)學(xué)，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意的三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的中心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn).”如圖1，△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，33bsin A+acos B=c，以AB，BC，AC為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其中心分別為D，E，F(xiàn).

（1）求角A；

（2）若△DEF的面積為934，求△ABC的角平分線AM的取值范圍.

解析：（1）在△ABC中，由33bsin A+acos B=c及正弦定理得33sin Bsin A+sin Acos B=sin C.

又sin C=sin（A+B）=sin Acos B+cos A＼5sin B，則33sin Bsin A=cos Asin B.而

sin B>0，于是tan A=3.又0<A<π，所以A=π3.

（2）由正三角形DEF的面積為934，得DF=3.

由D，F(xiàn)分別為相應(yīng)正三角形的中心，可知△ABD和△ACF均為頂角為120°的等腰三角形，則AD=33AB=33c，AF=33AC=33b.在△ADF中，由余弦定理知9=13b2+13c2-2＼533b＼533c＼5cos 120°，即

b2+c2+bc=27，亦即（b+c）2－bc=27.

由S△ABC=12bcsinπ3=12c·AMsinπ6+12b·AMsinπ6，得AM=3bcb+c，

于是AM=3［（b+c）2－27］b+c=3b+c－27b+c.又（b+c）2=bc+27>27，則b+c>33；

而（b+c）2=bc+27≤b+c22+27，則3（b+c）24≤27，解得0＜b+c≤6.因此33<b+c≤6.

令函數(shù)f（x）=x－27x（33<x≤6），

則函數(shù)f（x）在（33，6］上單調(diào)遞增，從而0=f（33）<f（x）≤f（6）=32，所以0<AM≤332.

點(diǎn)評(píng)：求解三角形角平分線問題，通常就是利用正弦定理進(jìn)行邊角之間的互化，同時(shí)注意利用和角的正弦公式、數(shù)量積計(jì)算，以及利用余弦定理和三角形面積公式，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想，借助函數(shù)單調(diào)性求出范圍.

3 解三角形中有關(guān)高線問題

在解三角形高線相關(guān)的問題時(shí)，可以從幾個(gè)關(guān)鍵方面采取多種策略來簡(jiǎn)化解題過程.（1）等利用三角形的等面積性質(zhì)，將高線問題轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)問題；（2）利用射影定理列出等式或不等式，從而直接求解或縮小求解范圍；（3）當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，高線的求解往往變得更為直接.在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意總結(jié)與三角形高線相關(guān)的常見結(jié)論，這些結(jié)論在解題過程中往往能夠發(fā)揮重要作用，幫助我們快速找到解題方向或簡(jiǎn)化計(jì)算過程.

例3在面積為S的△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足2Ssin Csin B+sin Asin C=（a2+b2）sin A.

（1）求C的值；

（2）若△ABC為銳角三角形，且AB邊上的高h(yuǎn)為2，求△ABC面積的取值范圍.

解析：（1）由2Ssin Csin B+sin Asin C=（a2+b2）sin A，結(jié)合正弦定理及三角形面積公式，可得bcsin A＼5cb+ac=（a2+b2）sin A，又sin A>0，則c2+ab=a2+b2.

由余弦定理得cos C=a2+b2－c22ab=ab2ab=12，而C∈（0，π），所以C=π3.

（2）由S△ABC=12ch=12absin C，得csin C=ab2.

由正弦定理，可知asin A=bsin B=csin C=ab2，則可得b=2sin A，a=2sin B，

所以S△ABC=12absin C=12×2sin B×2sin A×32=3sin Asin2π3－A=3sin A32cos A+12sin A=432sin2A－π6+1.

由△ABC為銳角三角形，可得0<A<π2，0<2π3－A<π2，解得π6<A<π2，

則有π6<2A－π6<5π6，于是12<sin2A－π6≤1，所以433≤S△ABC<23.

點(diǎn)評(píng)：解三角形中有關(guān)高線的問題時(shí)，除了掌握三角形高線的性質(zhì)問題外，還需要將題目已知條件與待求式建立聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上結(jié)合三角形面積公式、正弦定理、三角恒等變換、正弦或余弦函數(shù)的值域、基本不等式等，將問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化來求解.

在高三備考階段，三角形中的“爪”型結(jié)構(gòu)問題作為中檔題型的代表，其重要性不言而喻.針對(duì)這類問題，教師應(yīng)采取多維度、多視角的教學(xué)策略，以促進(jìn)學(xué)生思維的深度與廣度發(fā)展，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過深入探討重點(diǎn)題型、多視角總結(jié)方法與解題規(guī)律，以及構(gòu)建完整的知識(shí)體系等措施的實(shí)施，可以有效地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展.