全概率與貝葉斯公式解題策略探究

1 全概率公式

全概率公式主要是解決對(duì)某一個(gè)過程中已知條件求出最后結(jié)果的概率方法，在學(xué)習(xí)的過程中，可以結(jié)合古典概型來(lái)理解和運(yùn)用全概率公式求解概率問題.該公式主要解決的問題：當(dāng)某個(gè)事件的概率直接計(jì)算比較費(fèi)勁的時(shí)候，可以用與該事件有聯(lián)系的n個(gè)兩兩互斥的事件將該事件進(jìn)行分割，然后根據(jù)加法公式和乘法公式求出該事件的概率，這種解決問題的思想可以將事件化難為易，利用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算表示復(fù)雜事件，再根據(jù)概率公式求解概率.

例1“踩高蹺，猜燈謎”是我國(guó)元宵節(jié)傳統(tǒng)的文化活動(dòng).某地為了弘揚(yáng)文化傳統(tǒng)，發(fā)展“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，在元宵節(jié)舉辦形式多樣的猜燈謎活動(dòng).

（1）某商戶借“燈謎”活動(dòng)促銷，將燈謎按難易度分為B，C兩類，抽到較易的B類并答對(duì)購(gòu)物打八折優(yōu)惠，抽到稍難的C類并答對(duì)購(gòu)物打七折優(yōu)惠.抽取燈謎規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫有A字母，3張寫有B字母，2張寫有C字母，顧客每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片，若抽到寫有A的卡片，則再抽1次，直至取到寫有B或C卡片為止，求該顧客取到寫有B卡片的概率.

（2）小明嘗試去找全街最適合他的燈謎，規(guī)定只能取一次，并且只可以向前走，不能回頭，他在街道上一共會(huì)遇到n條燈謎（不妨設(shè)每條燈謎的適合度各不相同），最適合的燈謎出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，小明準(zhǔn)備采用如下操作方法：忽略前面的k（1≤k<n）條燈謎，從第k+1條燈謎作為起始點(diǎn)，只要自己感覺合適的就摘取該條，否則就摘最后一條，設(shè)k=tn，記小明取到的最適合的那條燈謎的概率為P.

①試求當(dāng)n=4，k=2時(shí)的概率P；

②利用極限思想，當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，求P的最大值及此時(shí)t值.取1k+1k+1+…+1n－1=lnnk

解析：（1）根據(jù)已知條件，因?yàn)?張完全相同的卡片，3張寫有A字母，3張寫有B字母，2張寫有C字母，由規(guī)則可知，該顧客取到寫有B卡片的概率為P=38+38×37+38×27×36+38×27×16×35=35.

（2）①根據(jù)題意，這4條燈謎順序?yàn)閺牡?條到第4條所有的排列方法共A44=24種.要取最符合自己要求的燈謎，有兩種情況.最適合的為第3條，其余的隨意排列有A33=6種；最符合自己要求的燈謎是最后1條，其次符合的燈謎是第1或第2條，其他的隨機(jī)排列有2A22=4種.故所求概率為P=6+424=512.

②記事件A表示最適合的燈謎被摘到，事件Bj表示最適合的燈謎在燈謎中排在第j條，

因?yàn)樽钸m合的燈謎出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，所以P（Bj）=1n，以給定所在位置的序號(hào)作為條件，有P（A）=∑nj=1P（A|Bj）P（Bj）=1n∑nj=1P（A|Bj）.

當(dāng)1≤j≤k時(shí)，最適合的燈謎在前k條燈謎之中，不會(huì)被摘到，此時(shí)P（A|Bj）=0;

當(dāng)k+1≤j≤n時(shí)，最適合的燈謎被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前j－1條燈謎中的最適合的一條在前k條燈謎中時(shí)，

此時(shí)P（A|Bj）=kj－1.由全概率公式知，P（A）=1n∑nj=k+1kj－1=kn∑n－1j=k1j=knlnnk.

令g（x）=xnlnnx（x>0），則g′（x）=1nlnnx－1n.

令g′（x）=0，則x=ne.當(dāng)x∈0，ne時(shí)，g′（x）>0；當(dāng)x∈ne，n時(shí)，g′（x）<0.所以g（x）在0，ne上單調(diào)遞增，在ne，n上單調(diào)遞減.所以g（x）max=gne=1e.

所以當(dāng)k=ne時(shí)，P（A）=knlnnk取得最大值，最大值為1e，此時(shí)t=1e.

故P的最大值為1e，此時(shí)t的值為1e.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是全概率公式，是將一個(gè)復(fù)雜事件的概率求解問題，轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率求和問題.其中第（1）問可以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算求解即可.對(duì)于第（2）問的第①小問，由題意可知，要摘到最適合他的燈謎，有兩種情況，最適合他的燈謎是第3條和最適合他的燈謎是最后1條，分情況分析兩種情況的可能性，結(jié)合古典概型即可求出結(jié)果；對(duì)于第②問，記事件A表示最適合的燈謎被摘到，根據(jù)條件概率和全概率公式求出P（A），再用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.

2 貝葉斯公式

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和信息的高速發(fā)展，貝葉斯公式已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生活、生產(chǎn)、航天等領(lǐng)域，主要用來(lái)對(duì)于誘發(fā)某種結(jié)果的最可能的原因進(jìn)行概率推理.在使用貝葉斯公式解決問題前，首先要根據(jù)加法公式將一個(gè)比較復(fù)雜的事件的概率轉(zhuǎn)化為多個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率之和的形式，然后再利用乘法公式得出在已知事件作為結(jié)果已經(jīng)發(fā)生的情況下，其中某個(gè)原因發(fā)生的條件概率，這是一種“執(zhí)果索因”的解決問題的策略.

例2為了增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，學(xué)校致力于為學(xué)生創(chuàng)造多樣化的成長(zhǎng)平臺(tái)，鼓勵(lì)他們投身于豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)之中.在校園內(nèi)活躍的辯論隊(duì)活動(dòng)中，甲同學(xué)的表現(xiàn)尤為突出，他熱情洋溢地投身于每一場(chǎng)辯論.

為了更好地掌握每位辯論隊(duì)員的參與度和能力表現(xiàn)，學(xué)校對(duì)辯論隊(duì)的成員進(jìn)行了細(xì)致的跟蹤記錄.據(jù)社團(tuán)老師的統(tǒng)計(jì)，自甲加入辯論隊(duì)以來(lái)，他已經(jīng)累計(jì)參與了整整100場(chǎng)辯論賽事.在這些比賽中，甲同學(xué)的角色多變，他作為一辯出場(chǎng)了20次，期間隊(duì)伍贏得了14場(chǎng)勝利；作為二辯，他出場(chǎng)30次，助力隊(duì)伍取得了21場(chǎng)勝利；作為三辯和四辯，他分別出場(chǎng)25次，均幫助隊(duì)伍贏得了20場(chǎng)勝利.

基于以上數(shù)據(jù)，我們可以嘗試用頻率來(lái)估算概率：

（1）當(dāng)甲同學(xué)參加比賽時(shí)，求該辯論隊(duì)獲勝的可能性有多大？

（2）若學(xué)校組織了一場(chǎng)由6支辯論隊(duì)參與的單循環(huán)比賽，即每?jī)芍ш?duì)伍之間都會(huì)有一場(chǎng)比賽.比賽規(guī)則規(guī)定，至少贏得3場(chǎng)比賽的隊(duì)伍才能晉級(jí).社團(tuán)老師決定在每場(chǎng)比賽中都讓甲同學(xué)上場(chǎng).已知甲所在的辯論隊(duì)成功晉級(jí)，記其獲勝的場(chǎng)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析：（1）根據(jù)題意可設(shè)A1=“甲擔(dān)任一辯”，A2=“甲擔(dān)任二辯”，A3=“甲擔(dān)任三辯”，A4=“甲擔(dān)任四辯”，B=“某場(chǎng)比賽中該辯論隊(duì)獲勝”，則P（A1）=20100=0.2，P（A2）=30100=0.3，

P（A3）=25100=0.25，

P（A4）=25100=0.25，

P（B|A1）=1420=0.7，

P（B|A2）=2130=0.7，

P（B|A3）=2025=0.8，

P（B|A4）=2025=0.8.

由全概率公式可得P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）+P（A4）＼5P（B|A4）=0.75.

所以甲參加比賽時(shí)，該辯論隊(duì)某場(chǎng)比賽獲勝的概率是0.75.

（2）設(shè)Ci=“5場(chǎng)中有i場(chǎng)獲勝”（i=3，4，5），D=“甲所在辯論隊(duì)順利晉級(jí)”，則有

P（C3D）=C35343142=2701 024，

P（C4D）=C45344141=4051 024，

P（C5D）=C55345=2431 024.

所以P（D）=9181 024，

P（X=3）=P（C3|D）=P（C3D）P（D）=270918=517，P（X=4）=P（C4|D）=P（C4D）P（D）=405918=1534，

P（X=5）=P（C5|D）=P（C5D）P（D）=243918=934.

所以X的分布列如表1所示.

點(diǎn)評(píng)：本題考查條件概率與全概率公式應(yīng)用，以及貝葉斯公式求解離散型隨機(jī)變量的分布列和期望問題.其中第（1）問分甲擔(dān)任某種辯手的情況，依據(jù)條件概率與全概率公式計(jì)算即可；

第（2）問需要首先計(jì)算甲所在辯論對(duì)晉級(jí)的概率，然后再利用貝葉斯公式計(jì)算出獲勝場(chǎng)數(shù)X的分布列和期望.考查學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，以及統(tǒng)計(jì)與概率思想.

全概率公式和貝葉斯公式解決概率問題的核心是在于理解所給問題的深層內(nèi)涵，合理劃分相應(yīng)的事件與事件之間的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上結(jié)合前面學(xué)過的條件概率、互斥事件概率加法公式等知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析和解決問題.由于在概率論中占據(jù)極其重要的地位，能夠解決生活中的很多問題，并且可以預(yù)測(cè)事物發(fā)展的方向，對(duì)于將來(lái)事件的走向有很大的借鑒意義，因此這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在新課標(biāo)和新高考中必然會(huì)居于重要地位，同學(xué)們要透徹理解公式，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用公式解決生活實(shí)際問題，不斷提高自己的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，不斷提高分析問題、解決問題的能力.