情境創(chuàng)設(shè)，概念教學

摘要：概念教學是高中數(shù)學教學中一個非常重要的環(huán)節(jié)，也是充分展示教師能力水平與教學經(jīng)驗的場所，設(shè)計契合教學規(guī)律，落實核心素養(yǎng)，適合學生思維習慣，引起學生共振的教學設(shè)計是教師不斷追求的目標.結(jié)合三角函數(shù)的概念教學，合理創(chuàng)設(shè)情境，巧妙設(shè)置問題，優(yōu)化教學過程，完善教學設(shè)計，做了一個很好的嘗試.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；概念；正弦；余弦；正切；教學設(shè)計

1 教材分析

三角函數(shù)是在學習了函數(shù)的基本概念，以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)上加以學習的，延續(xù)了初中的銳角三角函數(shù)定義，在此基礎(chǔ)上結(jié)合任意角的推廣加以深入學習.作為函數(shù)主線的一個延續(xù)，三角函數(shù)是高中階段學習的最后一個基本初等函數(shù).同時，三角函數(shù)又與前面學過的其他基本初等函數(shù)有一些差別，特別是三角函數(shù)是合理描繪客觀世界中周期性變化規(guī)律的一類重要函數(shù)模型，在數(shù)學學習與其他領(lǐng)域中有著非常重要的作用.

本節(jié)課基于銳角三角函數(shù)定義以及“任意角和弧度制”，結(jié)合角的推廣與三角函數(shù)的引入來構(gòu)建本知識模塊.借助現(xiàn)實世界中的周期性現(xiàn)象與特殊模型，深刻感受三角函數(shù)概念的必要性，并借助單位圓的引入與直觀作用來定義相應(yīng)的正弦函數(shù)或余弦函數(shù).

2 教學分析

2.1 學習目標

（1）會通過求任意角的終邊與單位圓交點的坐標來求任意角的三角函數(shù)值.

（2）能理解任意角的三角函數(shù)的定義，以及定義產(chǎn)生的背景與實際應(yīng)用，并在此基礎(chǔ)上掌握相應(yīng)三角函數(shù)的定義；進一步加深對函數(shù)的概念、表示等的理解與掌握.

2.2 學科素養(yǎng)目標

（1）通過數(shù)形結(jié)合探究三角函數(shù)的概念，培養(yǎng)直觀想象與數(shù)學抽象素養(yǎng).

（2）通過對實際生活案例的探究，利用三角函數(shù)構(gòu)建模型，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)，提高數(shù)學能力.

2.3 重點與難點

（1）教學重點：理解任意角三角函數(shù)的定義，能利用定義求任意角的三角函數(shù)值.

（2）教學難點：理解三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中具有周期性變化現(xiàn)象的數(shù)學模型，能從現(xiàn)實生活實例中抽象出三角函數(shù)模型并解決實際問題.

3 教學過程

3.1 復(fù)習回顧，創(chuàng)設(shè)情境

（1）課前回顧

問題1前面部分，我們已經(jīng)學習了任意角和弧度制的相關(guān)知識.請完成對應(yīng)的概念填空（學案內(nèi)容，這里略）.

師生活動：學生課前預(yù)習，自主完成.教師直接提問，檢查學生完成情況.

教學說明：復(fù)習任意角與弧度制的定義，為引入三角函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ)；通過表格的填寫，一是檢驗之前所學知識的掌握情況，二是發(fā)現(xiàn)所學知識的局限性，即無法知道超出銳角之外的角的三角函數(shù)值，產(chǎn)生認知沖突，為拓展做好鋪墊.

問題2初中只學習了銳角三角函數(shù)的概念，現(xiàn)在角的概念拓展到了任意角，三角函數(shù)的概念又該如何重新定義呢？

（2）情境探究

探究活動1：筒車（如圖1）是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖2）.因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.基于理想模型，假定筒車上的每一個盛水筒都進行著勻速圓周運動.

簡單抽象，視盛水筒為一個簡單的質(zhì)點P，那么點P的運動規(guī)律就類似于圓周上動點P的位置變化.我們可以將簡車抽象為一個幾何圖形，建立平面直角坐標系（如圖3）.

教師活動：為方便研究，我們構(gòu)建出筒車的數(shù)學現(xiàn)實模型如下：筒車轉(zhuǎn)輪的中心點O到水面的距離為h0，其半徑r=1，按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，假定轉(zhuǎn)動一周需要360 s.（針對該問題，這里的角速度是多少？即一秒轉(zhuǎn)動多少度？）從初始位置點A出發(fā)（圓周與x軸正半軸的交點），求經(jīng)過t s后，點P相對于水面的高度h的表達式.

從圖4來看，給出粗略的表達式（定性刻畫）：h=h0±MP.進一步，結(jié)合具體情境，如t=20，40，80時，對應(yīng)h的表達式分別是怎樣的？

一般地，過了t s呢？猜想：h=h0+sin t°.

師生活動：學生討論后發(fā)現(xiàn)，隨著時間的推移，筒車不斷轉(zhuǎn)動，角度也不知不覺地推廣到了任意角.結(jié)合探究過程，請學生討論“對于任意角α，sin α該如何定義才合情合理”？

教學說明：基于問題的探究，合理猜想，并在猜想的基礎(chǔ)上加以合理推理與應(yīng)用，這也是概念類教學中比較常用的一種基本教學模式，充分體現(xiàn)數(shù)學學科的自然性與應(yīng)用性.

3.2 模型分析，構(gòu)建新知

探究活動2：對問題進行合理猜想與推測，得出h=h0+sin t°，這里時間為t s.而借助幾何關(guān)系h=h0±MP進行比較，則滿足sin t°=±MP.

師生活動：結(jié)合圖4加以直觀分析，通過點P→∠POA→MP→sin ∠POA=±MP，形成一個關(guān)系鏈.

教師：隨著點P的變化，對應(yīng)坐標系，可知±MP的絕對值與MP長度相等，其對應(yīng)的符號在第一或第二象限是正的，在第三或第四象限是負的.

師生活動：歸納可知，可借助點P的縱坐標y來表示并代換相應(yīng)MP或－MP的值.

教學說明：基于初中銳角三角函數(shù)的定義中比值形式，過渡到坐標系中的坐標比值，形成知識的類比與延續(xù)，進一步深化初中與高中數(shù)學之間的自然過渡與聯(lián)系.

探究小結(jié)：綜合上述探究過程，總結(jié)提煉三角函數(shù)的概念.（教材中第178頁內(nèi)容，這里略.）

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

3.3 實例剖析，鞏固概念

例1（課本第178頁例1）求5π3的正弦、余弦和正切值，并總結(jié)方法步驟.

方法步驟：（1）畫出角5π3的終邊，與單位圓交于點B；（2）過點B向坐標軸作垂線，求出點B的坐標；（3）根據(jù)定義寫出角5π3的三角函數(shù)值.

教學說明：畫出角的終邊，求出其與單位圓交點的坐標.強化關(guān)鍵知識的掌握，落實關(guān)鍵能力的訓練，同時在學生展示過程中關(guān)注解題過程的規(guī)范性.

練習1利用單位圓的三角函數(shù)定義，請每組同學負責一個角度的三角函數(shù)值計算.（題略）

學生活動：分組完成，答案交流.

教學說明：合理有效且及時的鞏固是學習概念、公式等最為有效的方式，結(jié)合例題與相應(yīng)的練習，可以很好達到目的，同時不斷加以強化.

3.4 探索提升，完善成果

探究活動3：已知角θ的終邊過點P（－4，3），求角θ的三角函數(shù)值.

教學說明：對課本例2進行取值處理，引導(dǎo)學生從特殊到一般理解方法，同時掌握與任意點坐標相關(guān)的計算公式.

探索成果：如圖5，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），點P與原點的距離為r=|OP|=x2+y2，則可得sin α=yr，cos α=xr，tan α=yx.

練習2（課本第180頁練習3）已知角θ的終邊過點P（－12，5），求角θ的三角函數(shù)值.

教學說明：從不同思維視角確定求解角的三角函數(shù)值的技巧與方法，拓展思維，提升應(yīng)用.

3.5 課堂小結(jié)，梳理體系

教師活動：（1）三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中具有周期性變化現(xiàn)象的數(shù)學模型，例如筒車的盛水筒隨筒車轉(zhuǎn)動源源不斷運水灌溉這一運動規(guī)律.

（2）本節(jié)課借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，具體計算步驟為：畫出角θ的終邊，其與單位圓交于點P0；過點P0向坐標軸作垂線，求出點P0的坐標；根據(jù)定義寫出角θ的三角函數(shù)值.

4 教學反思

4.1 優(yōu)點剖析，繼承發(fā)揚

整個教學案設(shè)計清晰規(guī)范，各環(huán)節(jié)設(shè)計合理，注重數(shù)學知識的生成過程，注重情境引入，課內(nèi)教學形式多樣，充分發(fā)揮了學生自助、互助以及教師幫助的作用，充分調(diào)動了學生的學習積極性，學生思維活躍，課內(nèi)注重必備知識的落實、關(guān)鍵能力的培養(yǎng)和核心素養(yǎng)的發(fā)展.

4.2 缺點建議，優(yōu)化提升

在具體設(shè)計中，要有機構(gòu)建初中的銳角三角函數(shù)定義與高中的任意角三角函數(shù)定義這兩個概念之間的關(guān)系，形成一個連續(xù)的思維過程與升華過程.同時，在具體教學中，教師要注意指出學生展示中的規(guī)范性問題，從細節(jié)入手，細致到位.