基于核心素養(yǎng)的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課單元教學(xué)設(shè)計(jì)策略

摘要：高三作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊階段，為學(xué)生核心素養(yǎng)、思維能力的培養(yǎng)提供了難得的機(jī)會(huì).怎樣在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中改變相對(duì)固化的試題形式、減少死記硬背和機(jī)械刷題，以適應(yīng)高考改革中重視學(xué)科知識(shí)本質(zhì)與通性通法的要求呢？本文認(rèn)為應(yīng)居高臨下，采用單元教學(xué)，從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化整合知識(shí)點(diǎn).由此提出了基于核心素養(yǎng)的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課單元教學(xué)設(shè)計(jì)的四條策略，即站在學(xué)科高度、聚焦核心知識(shí)、思考知識(shí)本質(zhì)、感悟解題思想，并結(jié)合“向量”單元予以實(shí)施.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課；單元教學(xué)設(shè)計(jì)；策略；向量

高考是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的“指揮棒”，高考數(shù)學(xué)命題新趨勢以“突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視理性思維，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向”為原則[1].面對(duì)高考數(shù)學(xué)命題新趨勢，新授課教學(xué)方式的改變固然重要，那么作為知識(shí)學(xué)習(xí)的高級(jí)階段的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)同樣起著至關(guān)重要的作用，因此探究高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)是非常有必要的.

在傳統(tǒng)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教師更多關(guān)注的是知識(shí)的梳理與解題的技巧，而忽略了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與思維的培養(yǎng).筆者在研讀文獻(xiàn)[2][3]的基礎(chǔ)上，結(jié)合自己的實(shí)踐與思考，提出了基于核心素養(yǎng)的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課單元教學(xué)設(shè)計(jì)的四條策略，即站在學(xué)科高度、聚焦核心知識(shí)、思考知識(shí)本質(zhì)、感悟解題思想，并以高中“向量”單元為例，對(duì)這些策略予以實(shí)施.

1 站在學(xué)科高度

經(jīng)過高一、高二的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)完成了知識(shí)量的積累，因此高三應(yīng)站在數(shù)學(xué)學(xué)科高度，整體把握教學(xué)內(nèi)容，居高臨下，從橫向與縱向上建立知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的深度融合.站在學(xué)科高度，符合單元教學(xué)設(shè)計(jì)的理念，有利于實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的整體化設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)化思考，避免了“只見樹木不見森林”學(xué)習(xí)現(xiàn)象.現(xiàn)以高中向量單元為例，站在數(shù)學(xué)學(xué)科高度進(jìn)行分析.

高中向量的學(xué)習(xí)主要包括平面向量與空間向量.其中平面向量的學(xué)習(xí)是基礎(chǔ)與核心，空間向量是平面向量的推廣，即從二維空間到三維空間.有了二維與三維向量，那么有沒有其他維度的向量呢？很容易想到共線向量就是一維向量的運(yùn)算，即直線上的向量，那么多維向量就可以看作是矩陣，這樣多維度向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)就建構(gòu)完成.

向量是既有大小又有方向的量，大小決定其具有代數(shù)意義，方向決定其具有幾何意義，所以向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.直線上向量的運(yùn)算及運(yùn)

算律類比于實(shí)數(shù)；復(fù)數(shù)及其運(yùn)算類比于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義應(yīng)用于解決平面（解析）幾何的平行、垂直、長度、夾角等問題；空間向量中借助直線的方向向量與平面的法向量，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何中線面平行、垂直的證明及線面的距離、夾角等問題，簡化了復(fù)雜立體幾何的證明、計(jì)算等問題.這樣站在數(shù)學(xué)學(xué)科高度的向量單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)就建構(gòu)完成，如圖1所示.

幾何與代數(shù)主線在必修課程中的內(nèi)容包括：平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)、立體幾何初步；在選擇性必修課程中的內(nèi)容包括：空間向量、平面解析幾何.站在數(shù)學(xué)學(xué)科高度，通過向量單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)，整個(gè)“幾何與代數(shù)”主線的內(nèi)容就實(shí)現(xiàn)了深度融合，建立了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.因此，站在學(xué)科高度是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的前提.

2 聚焦核心知識(shí)

站在數(shù)學(xué)學(xué)科的高度，構(gòu)建了相關(guān)的高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系，接下來的復(fù)習(xí)課單元教學(xué)設(shè)計(jì)不是進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的逐一羅列，而是應(yīng)突出重點(diǎn)，尋找核心知識(shí)點(diǎn).現(xiàn)以高中“向量”單元為例，聚焦單元核心知識(shí)進(jìn)行分析.

在向量單元的學(xué)習(xí)中，從內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想方法上看，平面向量具有基礎(chǔ)與核心的地位，主要體現(xiàn)在以下四點(diǎn)：一是類比平面向量，對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解與復(fù)數(shù)的運(yùn)算起到了決定性作用；二是平面向量的推廣，從二維的平面向量推廣到三維的空間向量，使空間向量的學(xué)習(xí)易于接受與理解；三是平面向量的特殊化，從二維的平面向量特殊化到一維直線上的向量，直線上的向量及其運(yùn)算究其本質(zhì)是實(shí)數(shù)及其運(yùn)算；四是利用平面向量的坐標(biāo)化與數(shù)量積運(yùn)算，溝通了平面解析幾何中的平行、垂直、距離、角度等問題.因此，理解與掌握平面向量的內(nèi)容對(duì)向量單元知識(shí)的學(xué)習(xí)起著基礎(chǔ)與支撐作用.平面向量單元的具體內(nèi)容包括：平面向量的概念、運(yùn)算、基本定理及坐標(biāo)表示、應(yīng)用.如圖2所示：

2.1 平面向量的概念

首先借助位移、力、速度等物理背景，類比數(shù)的概念，得到了向量的概念；類比有向線段，獲得了向量的幾何表示，幫助學(xué)生直觀感知與理解“方向”問題.

2.2 平面向量的運(yùn)算

向量是既有大小又有方向的量，因此向量的運(yùn)算自然要考慮其大小與方向.類比物理背景中位移的合成，學(xué)習(xí)了向量加法的三角形法則；類比力的合成，學(xué)習(xí)了向量加法的的平行四邊形法則.類比數(shù)的減法“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，引入了相反向量完成了減法運(yùn)算.在數(shù)的運(yùn)算中，存在幾個(gè)相同數(shù)相加的情況引入了數(shù)的乘法，類比向量中若是幾個(gè)相同向量相加而引入了向量的數(shù)乘運(yùn)算；從數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果發(fā)現(xiàn)了向量之間的位置關(guān)系，給出了共線定理.學(xué)習(xí)了向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算后，類比數(shù)的運(yùn)算提出問題：向量是否可以相乘？借助物理背景中功的定義，學(xué)習(xí)了向量的數(shù)量積運(yùn)算，給出了投影向量的含義.在每種運(yùn)算給出后，進(jìn)而研究了向量的運(yùn)算律.這樣類比數(shù)的運(yùn)算，向量的運(yùn)算形成了完整的運(yùn)算體系.

2.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

結(jié)合物理背景中力的分解，由平行四邊形法則與向量共線定理的運(yùn)算，得到了重要的平面向量基本定量.根據(jù)平面向量基本定理中兩基底位置的特殊化，即兩基底互相垂直，建立了平面直角坐標(biāo)系，完成了向量表示的坐標(biāo)化，這樣向量的運(yùn)算就化歸為實(shí)數(shù)運(yùn)算.向量的坐標(biāo)表示實(shí)現(xiàn)后，結(jié)合運(yùn)算體系，完成了向量坐標(biāo)下的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的運(yùn)算.

2.4 平面向量的應(yīng)用

向量的引入借助了物理知識(shí)，因而利用向量可以解決物理中的問題；又因向量具有很強(qiáng)的幾何意義，因此在平面幾何中有廣泛應(yīng)用；向量的數(shù)量積運(yùn)算涉及到長度與角度，因而可利用向量探索三角形的邊角關(guān)系，使向量成為證明正弦定理、余弦定理強(qiáng)有力的工具，同時(shí)溝通了向量與三角函數(shù)的聯(lián)系.

平面向量作為向量單元的核心知識(shí)，理解與掌握其幾何意義及其運(yùn)算，然后通過知識(shí)的類比、推廣與特殊化等，有利于實(shí)現(xiàn)整個(gè)向量單元知識(shí)的遷移與融合，成為向量單元知識(shí)的固著點(diǎn)與生長點(diǎn).因此，聚焦核心知識(shí)是發(fā)展核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).

3 思考知識(shí)本質(zhì)

俗話說：“透過現(xiàn)象看本質(zhì).”數(shù)學(xué)題是怎么都做不完的，有的學(xué)生整日埋頭在題海中，機(jī)械刷題，焦急疲憊地去記各種結(jié)論與技巧.如今高考數(shù)學(xué)命題新趨勢正通過改變相對(duì)固化的試題形式，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)與理性思維，這樣高三復(fù)習(xí)課不應(yīng)把重點(diǎn)放在刷題上，而應(yīng)把重點(diǎn)放在對(duì)知識(shí)的理解上，進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的思考，以不變應(yīng)萬變.現(xiàn)以高中“向量”單元為例，進(jìn)行知識(shí)本質(zhì)的思考.

例如圖3所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心D，求AB1與底面ABC所成角的正弦值.

分析：本題求直線與平面所成的角，有兩種方法，即幾何法與空間向量法.

幾何法：如圖4所示，由線面角的定義，直線AP與平面α所成的角為∠PAO.對(duì)于本題，首先在幾何圖形中找到AB1與底面ABC所成角.如圖5所示，過點(diǎn)B1作底面ABC的垂線與AD的延長線交于點(diǎn)E（△ABC為正三角形，D為△ABC的中心），則∠B1AE即為AB1與底面ABC所成的角，問題轉(zhuǎn)化為sin∠B1AE=B1EAB1，然后利用幾何知識(shí)計(jì)算線段B1E與AB1的長度.

空間向量法：因?yàn)锳1D⊥底面ABC，又D為正△ABC的中心，所以AD⊥BC.以D為原點(diǎn)，以CB方向?yàn)閤軸正方向，AD方向?yàn)閥軸正方向，DA1方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系.寫出點(diǎn)B1，A，B，C的坐標(biāo)，分別求出向量AB1與平面ABC的一個(gè)法向量n的坐標(biāo)，則sin∠B1AE=AB1＼5n|AB1||n|.

思考1比較與分析這兩種方法的共性與差異，你有什么發(fā)現(xiàn)？

揭示知識(shí)本質(zhì)：無論是幾何法還是空間向量法，解題的關(guān)鍵都是要根據(jù)定義找到與底面ABC垂直的量，以構(gòu)造出線面角.幾何法需要從點(diǎn)B1出發(fā)真實(shí)地作出B1E⊥平面ABC；而利用空間向量法只需求出平面ABC的一個(gè)法向量n（與底面ABC垂直的向量），由于向量與起點(diǎn)無關(guān)，即向量是可以任意平移的，所以不用在乎所求法向量的具體位置，這為解決問題帶來了很大的便利.

思考2怎樣求解兩個(gè)平面所成的角？幾何法與空間向量法有什么共性與差異？

揭示知識(shí)本質(zhì)：無論是幾何法還是空間向量法，解題的關(guān)鍵如圖7所示，都是要根據(jù)定義，分別找到平面α與平面β的垂直量.幾何法要先找到兩個(gè)平面的交線，從交線上的一點(diǎn)真實(shí)地分別在平面α，β內(nèi)作出l的垂線m與垂線n，即作出二面角的平面角；而利用空間向量法只需分別求出平面α與平面β的一個(gè)法向量就可以，由于向量與起點(diǎn)無關(guān)，所以不用關(guān)心所求法向量的具體位置，這與幾何法達(dá)到了同樣的目的.

思考3怎樣求解異面直線所成的角？幾何法與空間向量法又有什么共性與差異？

揭示知識(shí)本質(zhì)：幾何法是將兩條異面直線平移到同一個(gè)平面內(nèi)，構(gòu)成所求的角；空間向量法由于向量是可以任意平移的，直接利用兩條異面直線的方向向量求解就可以.

總結(jié)：對(duì)于直線與平面所成角、兩個(gè)平面所成角、異面直線所成角的求解，幾何法與空間向量法解決問題的本質(zhì)是相通的.由于向量與起點(diǎn)無關(guān)，即向量是可以任意平移的，所以不用關(guān)注空間向量法中所求法向量或方向向量的具體位置，這為解決問題帶來了很大的便利.通過思考，我們把握了知識(shí)本質(zhì)，找到了解決線面所成角、面面所成角、異面直線所成角問題的通性通法（空間向量法）.思考知識(shí)的本質(zhì)，可以把知識(shí)看穿、看透，一針見血，使數(shù)學(xué)知識(shí)變得深刻起來，提升學(xué)生的思維力與核心素養(yǎng).因此，思考知識(shí)本質(zhì)是發(fā)展核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

4 感悟解題思想

弗賴登塔爾曾說過：“沒有一種數(shù)學(xué)思考如當(dāng)初剛被發(fā)現(xiàn)時(shí)那樣發(fā)表出來.一旦問題解決了，思考的程序便會(huì)顛倒過來，把火熱的思考變成冰冷的美麗.”這就需要教師研讀課標(biāo)、教材，借助數(shù)學(xué)史等，理清知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程，挖掘具體知識(shí)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，變冰冷的美麗為火熱的思考.現(xiàn)以高中“向量”單元為例，進(jìn)行解題思想的感悟.

平面向量作為向量單元的基礎(chǔ)與核心知識(shí)，那么對(duì)于平面向量的知識(shí)我們應(yīng)具備怎樣的思維去解決問題呢？這里需揭開具體知識(shí)的表層進(jìn)行深入的剖析.

首先，對(duì)于平面向量的“方向”，教材從向量的幾何表示，每一種運(yùn)算中滲透的幾何意義出發(fā)，詮釋了對(duì)向量方向的處理.例如：向量加法的三角形法則、平行四邊形法則；向量數(shù)乘的共線定理；向量數(shù)量積的投影向量；向量的模對(duì)應(yīng)著線段的長度等.因此，在解題時(shí)要有向量的幾何化解題思想.

其次，平面向量基本定理，即平面內(nèi)的任一向量都可以由平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量（基底）來表示，滲透了向量基底化解題思想.

再次，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果為數(shù)量，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的數(shù)量化，還溝通了與三角函數(shù)、長度等的關(guān)系.這里體現(xiàn)了向量數(shù)量積運(yùn)算下的數(shù)量化解題思想.

最后，向量表示的坐標(biāo)化，實(shí)現(xiàn)了把向量的運(yùn)算化歸為實(shí)數(shù)運(yùn)算的偉大跨越，以“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題，體現(xiàn)了向量坐標(biāo)化解題思想.

由此可見，平面向量單元蘊(yùn)含了幾何化、數(shù)量化、基底化、坐標(biāo)化解題思想，如圖8所示.

通過對(duì)平面向量章節(jié)具體知識(shí)點(diǎn)背后蘊(yùn)含的解題思想的揭示與感悟，學(xué)生在解決平面向量的相關(guān)題目時(shí)，頭腦中將會(huì)有解題思想的指導(dǎo)，面對(duì)不同問題，將會(huì)進(jìn)行有思想的思考，從而有效地解決問題.因此，感悟解題思想是發(fā)展核心素養(yǎng)的核心.

為適應(yīng)高考數(shù)學(xué)命題新趨勢以及改變傳統(tǒng)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)模式，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)采取單元教學(xué)，優(yōu)化整合知識(shí)點(diǎn)，形成系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，發(fā)展學(xué)生的思維力，促使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課單元教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)采取“站在學(xué)科高度、聚焦核心知識(shí)、思考知識(shí)本質(zhì)、感悟解題思想”的策略，只有這樣才能更好地實(shí)現(xiàn)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的育人價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部考試中心.聚焦核心素養(yǎng) 考查關(guān)鍵能力——2021年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評(píng)析[J].中國考試，2021（7）：70-76.

[2]李柏青.復(fù)習(xí)課單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（3）：31-36.

[3]楊林軍.宏觀 本質(zhì) 思維——基于能力的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（12）：24-29.