數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐探討

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的學(xué)科精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)拓學(xué)生視野，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)史是一種非常重要的教學(xué)資源，是滲透數(shù)學(xué)文化的有效途徑之一.教師通過(guò)還原數(shù)學(xué)歷史或結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平適當(dāng)?shù)馗木帤v史，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提升教學(xué)質(zhì)量.

數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家也十分重視數(shù)學(xué)史的價(jià)值，M＼5克萊因認(rèn)為“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”，宋乃慶教授和張奠宙教授均認(rèn)為“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史有助于我們理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)”.自新一輪課程改革以來(lái)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)史滲透在高考題中.因此，探討如何將數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，具有重要的意義.本文中將以“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”的教學(xué)為例展開(kāi)研究.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，引出研究問(wèn)題

探究1：請(qǐng)同學(xué)們小組合作，完成下列“拆數(shù)游戲”，并思考其對(duì)應(yīng)一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

①將4拆成兩個(gè)數(shù)即和，使其乘積為3；

②將4拆成兩個(gè)數(shù)即和，使其乘積為2；

③將4拆成兩個(gè)數(shù)即和，使其乘積為5.

生：將4拆成x和4－x，使它們的乘積為一個(gè)定值，本質(zhì)上是解方程x（4－x）=a，取a=3，2，5.

追問(wèn)：若使用配方法求第③個(gè)方程的解，會(huì)出現(xiàn)（x－2）2=－1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解的情況，這可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為哪一個(gè)方程是否有解？

生：方程x2=－1是否有解.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)改編歷史上卡丹拆數(shù)的故事設(shè)計(jì)了“拆數(shù)游戲”（即解方程）來(lái)引入，體現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于生活問(wèn)題（游戲），引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到這三組拆數(shù)游戲本質(zhì)上是在求解一元二次方程，其中第三個(gè)方程（x－2）2=－1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，進(jìn)而引出一般性的研究問(wèn)題——方程x2=－1在R中無(wú)解，是否存在某個(gè)數(shù)集，使得此方程在該數(shù)集內(nèi)有解？

1.2 合情推理，引入新數(shù)

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶，在以往的學(xué)習(xí)過(guò)程中也遇到過(guò)類似的方程在給定數(shù)集內(nèi)無(wú)解的情況，例如方程x+1=0在自然數(shù)集中無(wú)解，我們通過(guò)引入新數(shù)（負(fù)數(shù)）和新符號(hào)（負(fù)號(hào)“－”），將自然數(shù)集擴(kuò)充為整數(shù)集，使得方程x+1=0在整數(shù)集中有解，從而解決了現(xiàn)實(shí)生活中與之對(duì)應(yīng)的負(fù)債等實(shí)際問(wèn)題.按照這一思路，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧自然數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程（如圖1）.

問(wèn)題1對(duì)于方程x2=－1在實(shí)數(shù)系中無(wú)解的問(wèn)題，你認(rèn)為可以如何解決？

生：引入新數(shù)和新符號(hào)將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充，使得方程x2=－1在新數(shù)集中有解.

教學(xué)說(shuō)明：以數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展需求（解方程的需要）和生活實(shí)際問(wèn)題為線索，回顧從自然數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生自然而然地想到，可以通過(guò)引入新數(shù)去解決x2=－1在R中無(wú)解的問(wèn)題，變生硬接受為主動(dòng)地“創(chuàng)造”，為引入復(fù)數(shù)做好鋪墊.

追問(wèn)1：引入的新數(shù)需要滿足什么？

生：新數(shù)要滿足方程x2=－1，也即它的平方需等于－1.

師：歷史上，瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1777年首次提出引入新數(shù)“i”，使i2=－1，這樣x=i就是方程x2=－1的一個(gè)解.其中“i”是“imaginary”一詞的首字母，本意是這個(gè)數(shù)是虛幻的，我們把這個(gè)數(shù)稱為“虛數(shù)單位”.引入新數(shù)后實(shí)數(shù)系得到擴(kuò)充，在新數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算，與實(shí)數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算及運(yùn)算律協(xié)調(diào)一致.

追問(wèn)2：已知i2=i＼5i=－1，則i3=，i4=.

生：i3=i2＼5i=－i，i4=i2＼5i2=1.

師生活動(dòng)：學(xué)生思考、口答，教師點(diǎn)評(píng)，使學(xué)生熟悉i2=－1，并引導(dǎo)學(xué)生思考in的取值.最后教師介紹歐拉生平以及充滿數(shù)學(xué)和諧美的式子（歐拉公式）——eiπ+1=0.

教學(xué)說(shuō)明：教師介紹與虛數(shù)單位i有關(guān)的歷史，并結(jié)合追問(wèn)強(qiáng)化對(duì)虛數(shù)單位的認(rèn)識(shí)，最后科普歐拉及歐拉公式的相關(guān)歷史，對(duì)學(xué)生進(jìn)行人文教育和數(shù)學(xué)美育，激發(fā)學(xué)生探秘?cái)?shù)學(xué)的興趣.

1.3 抽象概括，深化理解

師：新數(shù)的形式又是怎樣的呢？回顧有理數(shù)集擴(kuò)充后，將有理數(shù)與新引入的無(wú)理數(shù)進(jìn)行“組合”（即做加法、乘法運(yùn)算）就得到了新數(shù)，例如有理數(shù)4加上無(wú)理數(shù)3就得到實(shí)數(shù)4+3，有理數(shù)2乘無(wú)理數(shù)2就得到實(shí)數(shù)22，有理數(shù)12加上有理數(shù)－1與無(wú)理數(shù)3的積就得到實(shí)數(shù)12－3.類似地，實(shí)數(shù)集擴(kuò)充后，將實(shí)數(shù)與新引入的虛數(shù)i進(jìn)行“組合”，就可以得到新數(shù).

探究2：任選實(shí)數(shù)－2，1，0，57，3，π與虛數(shù)i進(jìn)行任意“組合”，能得到哪些結(jié)果？請(qǐng)同學(xué)們小組合作，寫出你們組合出來(lái)的新數(shù).

師生活動(dòng)：學(xué)生小組合作，寫出可能的新數(shù)形式，例如－2+i，3－i，-2i…….教師請(qǐng)某一小組的學(xué)生將他們寫出的新數(shù)板書在黑板上，其他小組可以補(bǔ)充.

追問(wèn)1：你能歸納出上述新數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)形式嗎？

生：a+bi，其中a，b∈R.

追問(wèn)2：你能寫出新數(shù)集的集合嗎？

生：形如{a+bi|a，b∈R}.

師：我們稱這種形式的數(shù)為復(fù)數(shù)z，對(duì)應(yīng)的新數(shù)集為復(fù)數(shù)集C={a+bi|a，b∈R}.其中實(shí)數(shù)a稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，實(shí)數(shù)b稱為復(fù)數(shù)的虛部.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)“組數(shù)游戲”，引導(dǎo)學(xué)生類比自然數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程中所遵循的“規(guī)則”，由特殊到一般，抽象概括出復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)形式和復(fù)數(shù)集，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中人類理性思維的作用，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，從而突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).

問(wèn)題2你能將寫出來(lái)的新數(shù)進(jìn)行分類嗎？分類的依據(jù)是什么？

生：對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R），當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a是一個(gè)實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi是虛數(shù)，特別地，當(dāng)b≠0且a=0時(shí)，復(fù)數(shù)bi是純虛數(shù).

追問(wèn)：請(qǐng)用Venn圖表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集和純虛數(shù)集之間的關(guān)系.

生：如圖2所示.

問(wèn)題3復(fù)數(shù)集和實(shí)數(shù)集之間有什么關(guān)系？

生：實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的子集.

追問(wèn)：實(shí)數(shù)例如0，57，3，π是復(fù)數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)將其寫成復(fù)數(shù)的一般形式.

生：實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，例如3=3+0i，0=0+0i.

教學(xué)說(shuō)明：教師引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般、明確復(fù)數(shù)的分類，能從數(shù)和形兩個(gè)角度深化對(duì)復(fù)數(shù)的理解，并進(jìn)一步厘清復(fù)數(shù)集和實(shí)數(shù)集之間的關(guān)系.

師：對(duì)于給定的復(fù)數(shù)2+i，它的實(shí)部a=2，虛部b=1；反之，實(shí)部為2、虛部為1的復(fù)數(shù)也是唯一確定的，即2+i.因此，復(fù)數(shù)2+i和有序?qū)崝?shù)對(duì)（2，1）是一一對(duì)應(yīng)的.

問(wèn)題4一般地，復(fù)數(shù)a+bi和有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）之間具有怎樣的關(guān)系？

生：一一對(duì)應(yīng).

追問(wèn)1：兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）和c+di（c，d∈R）相等的條件是什么？

生：a=c且b=d.

追問(wèn)2：特別地，a+bi=0（a，b∈R）的充要條件是什么？

生：a=b=0.

教學(xué)說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)復(fù)數(shù)a+bi和有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）之間是一一對(duì)應(yīng)的，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部都分別相等，也就是說(shuō)復(fù)數(shù)由它的實(shí)部和虛部唯一確定，為后續(xù)研究復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的三角表示奠定基礎(chǔ).

1.4 運(yùn)用新知，鞏固訓(xùn)練

例1指出下列各復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，并指出

哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？

5+2i，i（1－3），2+7，0，3i－2i2.

例2當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+（m－1）i是下列數(shù)？

（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).

例3已知（x+y）+（y－1）i=（2x+3y）+（2y+1）i，求實(shí)數(shù)x，y的值.

師生活動(dòng)：教師用PPT展示例題，例1由學(xué)生思考、口答，教師點(diǎn)評(píng)，例2、例3由學(xué)生獨(dú)立完成后用多媒體交流展示，教師點(diǎn)評(píng)并規(guī)范解題步驟.

教學(xué)說(shuō)明：例1考查學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的基本概念及其分類的理解，例2考查學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的分類的掌握情況，例3考查學(xué)生對(duì)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等含義的理解.

1.5 反思總結(jié)，提煉收獲

問(wèn)題5通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考作答，教師從數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法兩個(gè)方面進(jìn)行補(bǔ)充和完善.

（1）數(shù)學(xué)知識(shí)：了解了數(shù)系擴(kuò)充的基本“規(guī)則”，復(fù)數(shù)的基本概念（復(fù)數(shù)、實(shí)部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)等），兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義，復(fù)數(shù)的分類；

（2）思想方法：實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系運(yùn)用了類比的研究方法.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)回顧數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程及復(fù)數(shù)相關(guān)概念，凝練數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法，促使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)有一個(gè)全面、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，積累研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).

2 教學(xué)反思

2.1 歷史重現(xiàn)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

在數(shù)學(xué)課堂中還原數(shù)學(xué)史或結(jié)合學(xué)情適當(dāng)改編歷史，可以滲透數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)精神，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.本節(jié)課通過(guò)改編歷史上卡丹拆數(shù)的故事，設(shè)計(jì)了“拆數(shù)游戲”來(lái)引入，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于生活問(wèn)題.筆者結(jié)合學(xué)情適當(dāng)改編歷史，使問(wèn)題情境更簡(jiǎn)化，目的在于引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到，當(dāng)遇到方程在原數(shù)集中無(wú)解時(shí)，可以類比自然數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，通過(guò)引入新數(shù)、擴(kuò)充數(shù)集來(lái)解決問(wèn)題，使學(xué)生感受引入復(fù)數(shù)的必要性.然后，教師介紹歐拉與復(fù)數(shù)的淵源，深化學(xué)生對(duì)虛數(shù)單位的理解，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行人文教育，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.2 游戲探究，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

本節(jié)課設(shè)計(jì)了“拆數(shù)游戲”，引導(dǎo)學(xué)生探究方程的求根問(wèn)題，感受引入復(fù)數(shù)的必要性；通過(guò)類比自然數(shù)系到實(shí)數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則，設(shè)計(jì)了“組數(shù)游戲”，引導(dǎo)學(xué)生合作探究復(fù)數(shù)的基本結(jié)構(gòu)、相關(guān)概念和分類.學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、合作探究的方式，在活動(dòng)中逐步形成并不斷深化對(duì)復(fù)數(shù)的理解，主體性得到了充分的體現(xiàn).本節(jié)課以游戲探究的形式，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

2.3 問(wèn)題引領(lǐng)，滲透數(shù)學(xué)思想

本節(jié)課通過(guò)設(shè)置層層遞進(jìn)的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地探究引入復(fù)數(shù)的必要性、復(fù)數(shù)的基本結(jié)構(gòu)、相關(guān)概念及其分類，學(xué)生的思維跟隨著教師的問(wèn)題鏈不斷發(fā)生碰撞，認(rèn)知水平和解決問(wèn)題的能力不斷增強(qiáng).好的問(wèn)題可以使整節(jié)課串成一個(gè)邏輯鏈條，各環(huán)節(jié)相互聯(lián)系、層層遞進(jìn)，利于揭示知識(shí)的本質(zhì)，使學(xué)生知其所以然.問(wèn)題鏈教學(xué)也是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯之美的教學(xué)方法，通過(guò)理性的方式向?qū)W生展示數(shù)學(xué)之美.