基于思維導(dǎo)圖的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

摘 要：隨著教育理念的不斷更新，傳統(tǒng)的填鴨式教學(xué)模式已經(jīng)無(wú)法滿(mǎn)足現(xiàn)代教育的需求，而思維導(dǎo)圖是一種直觀(guān)的思考方式，它能幫助學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解與記憶，從而提高教學(xué)效果。因此，本文簡(jiǎn)述思維導(dǎo)圖應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性，從多個(gè)維度探究思維導(dǎo)圖應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的策略，以人教A版必修第一冊(cè)“三角恒等變換”第1課時(shí)為例，展示基于思維導(dǎo)圖的教學(xué)設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展，為高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)提供參考。

關(guān)鍵詞：思維導(dǎo)圖;高中教學(xué)設(shè)計(jì);三角恒等變換

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-260X（2024）09-0075-04

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下統(tǒng)稱(chēng)為《課標(biāo)》）提出兩條教學(xué)理念：一是優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線(xiàn)，精選內(nèi)容;二是把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)[1]。傳統(tǒng)的教育是以傳授知識(shí)和發(fā)展技能為主要目標(biāo)，教學(xué)方式運(yùn)用單一，不重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，從而抑制了學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。運(yùn)用思維導(dǎo)圖的方式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅有利于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，助力單元教學(xué)設(shè)計(jì)，理解教學(xué)重難點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性;還有利于教師通過(guò)思維導(dǎo)圖的方式將知識(shí)可視化，將分散的知識(shí)按照一定的邏輯、規(guī)律等聯(lián)結(jié)起來(lái)，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，以便學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移。

本研究旨在提出一種更高效的教學(xué)方法，以促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展，從而適應(yīng)未來(lái)社會(huì)發(fā)展的需要。以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，運(yùn)用思維導(dǎo)圖的方式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，可以使學(xué)生把心中所想的知識(shí)外化于紙張上，用線(xiàn)條把它們串聯(lián)起來(lái)，以此對(duì)學(xué)生的形象思維、邏輯思維進(jìn)行鍛煉和發(fā)展，使其具有創(chuàng)新思維能力。

1 思維導(dǎo)圖的內(nèi)涵、功能和策略

思維導(dǎo)圖最早由英國(guó)心理學(xué)家東尼·博贊（Tony Buzan）在20世紀(jì)60年代提出。思維導(dǎo)圖是發(fā)散思考的一種圖式思維工具，它用圖示的形式，把各個(gè)層次的主題之間的聯(lián)系用層次圖表示出來(lái)[2]。思維導(dǎo)圖的核心要素有中心主題、分支、層級(jí)、關(guān)鍵詞、圖像和顏色等內(nèi)容，中心主題是思維導(dǎo)圖的核心，通常位于中心位置;分支是從中心主題向外延伸的線(xiàn)條，層級(jí)是分支和子分支構(gòu)成不同的層級(jí)，關(guān)鍵詞是每個(gè)分支上通常有一個(gè)關(guān)鍵詞或短語(yǔ)，繪制思維導(dǎo)圖可以通過(guò)圖像和顏色來(lái)更好地幫助記憶、理清思路和增強(qiáng)視覺(jué)效果。總之，思維導(dǎo)圖的優(yōu)勢(shì)是可以讓學(xué)生的左右腦互相配合，根據(jù)記憶、閱讀和思維的規(guī)律，在科學(xué)和藝術(shù)、邏輯和想象力上得到均衡的發(fā)展，開(kāi)發(fā)出大腦的潛力，讓學(xué)生的創(chuàng)造力得到發(fā)展[3]。

常愛(ài)榮（2017）認(rèn)為在應(yīng)用思維導(dǎo)圖教學(xué)的過(guò)程中促進(jìn)了師生互動(dòng)，使教學(xué)概念可視化，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生個(gè)體的關(guān)懷[4]。李蕾（2018）指出以思維導(dǎo)圖為基礎(chǔ)的教學(xué)模式可以使學(xué)習(xí)過(guò)程最優(yōu)化，用思維導(dǎo)圖進(jìn)行教學(xué)可以使學(xué)生的思考能力得到更大的提升，可顯著提升高中數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[5]。崔海東（2019）提出教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該以學(xué)生為主體，學(xué)生可以在學(xué)習(xí)計(jì)劃制定、歸納數(shù)學(xué)解題方法、課后復(fù)習(xí)中運(yùn)用思維導(dǎo)圖[6]。董學(xué)全（2020）認(rèn)為利用思維導(dǎo)圖可以提高預(yù)習(xí)效果、發(fā)散解題思維、厘清復(fù)習(xí)脈絡(luò)、梳理課堂板書(shū)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理、智慧地運(yùn)用思維導(dǎo)圖，可事半功倍地提高教學(xué)效率[7]。王琳琳（2021）提出在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理引入思維導(dǎo)圖，有利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，促進(jìn)邏輯思維能力的提高，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的提高[8]。王?。?022）從思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略角度展開(kāi)論述，認(rèn)為可以借助思維導(dǎo)圖，優(yōu)化預(yù)習(xí)過(guò)程，通過(guò)思維導(dǎo)圖，梳理教學(xué)內(nèi)容，巧構(gòu)思維導(dǎo)圖，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的吸收，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和邏輯思維能力，同時(shí)也增強(qiáng)了課堂教學(xué)的生動(dòng)性和趣味性[9]。張躍驁（2023）在教學(xué)中采用思維導(dǎo)圖教學(xué)策略，將條件和結(jié)論納入探究，以此突破學(xué)生在解決問(wèn)題思維過(guò)程中無(wú)法分類(lèi)和轉(zhuǎn)化的困難，從而有效培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力和思維能力[10]。

已有研究探討了思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的諸多應(yīng)用策略，包括在互動(dòng)探究中應(yīng)用思維導(dǎo)圖、在例題講解中應(yīng)用思維導(dǎo)圖、在課堂小結(jié)中應(yīng)用思維導(dǎo)圖，這些策略為本文提供了研究思路。但是這些研究?jī)H停留在理論層面，未進(jìn)行實(shí)踐操作?；诖?，本文將以人教A版必修第一冊(cè)“三角恒等變換”第1課時(shí)為例，運(yùn)用思維導(dǎo)圖進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，以期為高中數(shù)學(xué)教師提供新的教學(xué)思路，提高課堂教學(xué)效率，提升學(xué)生的邏輯思維能力，提高學(xué)習(xí)效率，從而促進(jìn)學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。

2 基于思維導(dǎo)圖的教學(xué)設(shè)計(jì)案例

2.1 課程標(biāo)準(zhǔn)分析

本節(jié)課以《課標(biāo)》為基本依據(jù)，以發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維能力為目標(biāo)。《課標(biāo)》主題二函數(shù)模塊對(duì)本單元學(xué)業(yè)要求為知道數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的關(guān)系，重點(diǎn)提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)?！墩n標(biāo)》對(duì)本節(jié)教學(xué)內(nèi)容要求為經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過(guò)程，知道兩角差余弦公式的意義[11]。

2.2 教材分析

本節(jié)課“三角恒等變換”第1課時(shí)“兩角差的余弦公式”，出自人教A版（2019）《高一數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)第五章“三角函數(shù)”，兩角差的余弦公式是三角學(xué)中的重要內(nèi)容，它不僅是三角函數(shù)恒等變換的基礎(chǔ)，而且還在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)具有廣泛的應(yīng)用[12]。通過(guò)學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，學(xué)生可以提高解決相關(guān)問(wèn)題的能力，同時(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)的技巧。

2.3 學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，部分學(xué)生可能會(huì)對(duì)公式的記憶和運(yùn)用感到困難，特別是對(duì)公式的使用條件和非常規(guī)角度的三角函數(shù)值計(jì)算方面，需要給予更多的關(guān)注和練習(xí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式時(shí)應(yīng)注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，通過(guò)不斷的練習(xí)來(lái)提高對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。在教學(xué)過(guò)程中教師需要不斷評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度和理解程度，通過(guò)作業(yè)、測(cè)驗(yàn)和課堂互動(dòng)等方式，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)生的疑難問(wèn)題。

2.4 教學(xué)目標(biāo)

（1）推導(dǎo)兩角差的余弦公式并進(jìn)行應(yīng)用，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng);

（2）運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、計(jì)算等發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);

（3）體會(huì)一般與特殊、換元法等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

2.5 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)為兩角差的余弦公式的推導(dǎo);教學(xué)難點(diǎn)為求值過(guò)程中角的范圍分析及角的變換。

2.6 以思維導(dǎo)圖為工具的三環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)

2.6.1 在互動(dòng)探究中應(yīng)用思維導(dǎo)圖

（1）創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)問(wèn)導(dǎo)學(xué)。

某工廠(chǎng)的一條生產(chǎn)線(xiàn)需要安裝一個(gè)坡度為15度的傳送帶運(yùn)送產(chǎn)品來(lái)減少人工投資，傳送帶OA長(zhǎng)為20米，請(qǐng)問(wèn)該生產(chǎn)線(xiàn)基座至少得多寬？

生：獨(dú)立思考，建立數(shù)學(xué)模型如圖1所示，OB=20cos15°=？

師：cos15°等于多少呢？

生：cos15°=cos（45°-30°）。

師：那么cos（45°-30°）是否等于cos45°-cos30°？

思考：那么推到一般形式cos（α-β）等于多少？它的展開(kāi)公式可能與哪些值有關(guān)？

生：通過(guò)對(duì)比之前六個(gè)誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)，cos（α-β）的展開(kāi)式可能與α或β的正弦值或余弦值有關(guān)。

師：我們用到哪些知識(shí)探究cos（α-β）與sinα、cosα、sinβ、cosβ間的關(guān)系？

生：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式的時(shí)候，我們用到了三角函數(shù)的定義，單位圓的特殊對(duì)稱(chēng)性。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，自然流暢地提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引發(fā)學(xué)生思考，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)兩角差余弦公式的必要性，從而順利揭示課題。

（2）嘗試分析，推導(dǎo)公式。

師：類(lèi)比誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，利用三角函數(shù)定義，請(qǐng)動(dòng)手作圖。

生：以x軸非負(fù)半軸為始邊，任取兩角α、β，兩角終邊分別交單位圓于P1、A1，令α、β都在第一象限且α>β，令A(yù)1（cosβ，sinβ）、P1（cosα，sinα）。

思考：如何找到與cos（α-β）相關(guān)的點(diǎn)P？

生：用三角函數(shù)的定義，以x軸非負(fù)半軸為始邊，作角α-β，交單位圓于一點(diǎn)P，此時(shí)P（cos（α-β），sin（α-β））。

思考：如何發(fā)現(xiàn)cos（α-β）與sinα、cosα、sinβ、cosβ間存在的等量關(guān)系？

生：在單位圓中找到與α-β相關(guān)的等量關(guān)系，由圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性得，AP=A1P1。根據(jù)以上探究，學(xué)生自主建構(gòu)“數(shù)”與“形”關(guān)系的思維導(dǎo)圖，如圖2所示，理清知識(shí)脈絡(luò)，指明知識(shí)的本質(zhì)特征。

師：請(qǐng)你借助兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合以上“數(shù)”與“形”的探究，你能得到什么結(jié)論？

生：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合AP=A1P1，有：

整理得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，（α≠2kπ+β，k∈Z）

思考：如果兩個(gè)任意角終邊重合α=2kπ+β，k∈Z，上述結(jié)論成立嗎？

生：當(dāng)α，β終邊重合時(shí)，cosα=cosβ，sinα=sinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ此時(shí)等式左側(cè)cos2kπ=1，右側(cè)=sin2α+cos2α=1。

師：兩側(cè)的值相等，因此上述結(jié)論仍然成立，即得到兩角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ簡(jiǎn)記為C（α-β）。我們一起看PPT總結(jié)一下剛學(xué)的兩角差的余弦公式，如圖3所示。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)幾何方法來(lái)證明兩角差的余弦公式，幫助學(xué)生理解公式的來(lái)源，加深對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。在課堂中引導(dǎo)學(xué)生YkdxzYl4i7FoekOK53t0wg==自行繪制思維導(dǎo)圖，協(xié)助分析課程的知識(shí)脈絡(luò)，建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而提高課堂效率。

2.6.2 在例題講解中應(yīng)用思維導(dǎo)圖

師：能不能用思維導(dǎo)圖把你的解題過(guò)程畫(huà)出來(lái)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題演示如何直接使用這些公式解題，在解題的過(guò)程中融入分析型思維導(dǎo)圖，利用思維導(dǎo)圖將解題的思路呈現(xiàn)出來(lái)，以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用思維導(dǎo)圖搭建解題支架的能力，使學(xué)生掌握解題的過(guò)程，重視知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程，從而達(dá)到數(shù)學(xué)思維的提升。

2.6.3 在課堂小結(jié)中應(yīng)用思維導(dǎo)圖

師：請(qǐng)你從知識(shí)、思想和方法角度談?wù)劚菊n收獲？

生：概括總結(jié)，個(gè)別回答。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生借助思維導(dǎo)圖組織、整理、總結(jié)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括及反思能力，提升學(xué)習(xí)境界，見(jiàn)圖5。強(qiáng)調(diào)公式的重要性和應(yīng)用的廣泛性，以及它們?cè)谄渌鼜?fù)雜三角恒等式中的作用。

2.7 教學(xué)反思

弗賴(lài)登塔爾指出反思是數(shù)學(xué)化過(guò)程中一種重要的活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力[13]。在運(yùn)用思維導(dǎo)圖教學(xué)的過(guò)程中，要準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，了解學(xué)生的現(xiàn)實(shí)情況，通過(guò)自主探究等方式發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維能力。在具體的教學(xué)過(guò)程中，要注意把學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，避免把教學(xué)看作是知識(shí)的傳遞，而要將其看成知識(shí)處理和轉(zhuǎn)換的過(guò)程，也就是對(duì)原有知識(shí)的改組和重建。在教學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師起到良好的組織者的作用，學(xué)生在積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不斷發(fā)展。

3 結(jié)論

本節(jié)課利用思維導(dǎo)圖構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?；谒季S導(dǎo)圖的教學(xué)激發(fā)了學(xué)生原有的相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能夠看清楚問(wèn)題，根據(jù)已有的知識(shí)做出假設(shè)，建立知識(shí)間的關(guān)系，挖掘深藏知識(shí)形態(tài)下的核心素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。繪制思維導(dǎo)圖的實(shí)質(zhì)是呈現(xiàn)學(xué)生有序思考的過(guò)程，將抽象思維可視化，使學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系?？傊季S導(dǎo)圖在教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用有助于促進(jìn)教學(xué)互動(dòng)，更新教學(xué)理念，提高教學(xué)質(zhì)量，并促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。

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