動(dòng)量定理在流體模型中的應(yīng)用

動(dòng)量定理是高中物理中的重要知識(shí)，不僅可以處理恒力問(wèn)題，也可處理變力問(wèn)題，還可以處理流體問(wèn)題，本文談動(dòng)量定理在流體模型中的應(yīng)用．

１ 流體運(yùn)動(dòng)模型

對(duì)于運(yùn)動(dòng)流體，可沿流速v 的方向選取一段柱形流體，設(shè)在極短的時(shí)間Δt 內(nèi)通過(guò)某一橫截面S 的流體柱的長(zhǎng)度為Δl，如圖１所示．設(shè)流體的密度為ρ，在Δt時(shí)間內(nèi)流過(guò)該截面的流體質(zhì)量Δm ＝ρSΔl＝ρSvΔt，根據(jù)動(dòng)量定理知，流體微元所受的合外力的沖量等于該微元?jiǎng)恿康脑隽?，即FΔt＝ΔmΔv．

流體作用過(guò)程分兩種情況：１）吸收模型，作用后流體元停止，有Δv＝－v，代入上式有F ＝－ρSv２;２）反射模型，作用后流體元以速率v 反彈，有Δv＝－２v，代入上式有F＝－２ρSv２．

２ 動(dòng)量定理在流體模型中的應(yīng)用

２.１ 解決氣體類(lèi)流動(dòng)問(wèn)題

通常氣體流等被廣義地視為“流體”，質(zhì)量具有連續(xù)性，設(shè)密度為ρ，解題思路如下：

１）建立“柱狀模型”，沿流速v 的方向選取一段柱形流體，其橫截面積為S．

２）微元研究，在極短的作用時(shí)間Δt 內(nèi)的一段柱形流體的長(zhǎng)度為Δl，對(duì)應(yīng)的質(zhì)量為Δm ＝ρSvΔt．

３）建立方程，應(yīng)用動(dòng)量定理研究這段柱狀氣流．

例１ 臺(tái)風(fēng)對(duì)沿海地區(qū)的破壞力非常巨大，１２級(jí)臺(tái)風(fēng)登陸時(shí)中心附近最大風(fēng)力約為３５m·s－１．已知小明站立時(shí)，在垂直于風(fēng)速方向的受力面積約為０.５m２，空氣的密度約為１.２９kg·m－３．假設(shè)空氣吹到人身體上后速度減為零，則小明站在１２級(jí)臺(tái)風(fēng)中心附近，所受的風(fēng)力大小約為（ ）．

A．７９０N B．７９N

C．２３０N D．２３N

解析 單位時(shí)間Δt 吹到人身體上的空氣質(zhì)量m ＝ρV＝ρSvΔt，根據(jù)動(dòng)量定理有－FΔt＝０－mv，所以小明所受的風(fēng)力大小約為F ＝ρSv２ ＝１.２９×０.５×３５２ N≈７９０N，故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題用微元法，利用動(dòng)量定理求風(fēng)力的大小，考查了動(dòng)量定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了學(xué)科素養(yǎng)中的模型建構(gòu)能力．

２．２ 解決微粒類(lèi)流動(dòng)問(wèn)題

通常電子流、光子流、塵埃等被廣義地視為“微粒”，質(zhì)量具有獨(dú)立性，通常給出單位體積內(nèi)粒子數(shù)n，解題思路如下：

１）建立“柱狀”模型，沿運(yùn)動(dòng)的方向選取一段微元，柱體的橫截面積為S．

２）微元研究，極短作用時(shí)間Δt 內(nèi)一段柱形流體的長(zhǎng)度為Δl＝v０Δt，對(duì)應(yīng)的體積為ΔV＝Sv０Δt，則微元內(nèi)的粒子數(shù)N ＝nv０SΔt （n 為單位體積內(nèi)的粒子數(shù)）

３）先應(yīng)用動(dòng)量定理研究單個(gè)粒子，建立方程，再乘以N 研究整體．

例２ 一宇宙飛船的橫截面積為S，以v０ 的恒定速率航行，當(dāng)進(jìn)入有宇宙塵埃的區(qū)域時(shí)，設(shè)在該區(qū)域單位體積內(nèi)有n 顆塵埃，每顆塵埃的質(zhì)量為m ，若塵埃碰到飛船前是靜止的，且碰到飛船后就粘在飛船上，不計(jì)其他阻力，為保持飛船勻速航行，飛船發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力功率為（ ）．

A．Snmv２０ B．２Snmv２０

C．Snmv３０ D．２Snmv３０

解析 時(shí)間Δt 內(nèi)粘在飛船上的塵埃質(zhì)量為M ＝v０ΔtSnm ，對(duì)粘在飛船上的塵埃，由動(dòng)量定理得FΔt＝Mv０－０，解得飛船對(duì)這些塵埃的作用力為F＝nmv２０S;根據(jù)牛頓第三定律及平衡條件，可知為保持飛船勻速航行，飛船發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力F′＝F，牽引力的功率為P ＝F′v０＝nmv３０S，故選項(xiàng)C正確，A、B、D錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了微粒類(lèi)流體問(wèn)題，利用微元法求得作用力，進(jìn)一步求得發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力功率．建構(gòu)起正確的物理模型是解題的關(guān)鍵．

例３ 如圖２所示為放在水平桌面上的沙漏計(jì)時(shí)器，從里面的沙子全部在上部容器里開(kāi)始計(jì)時(shí)，沙子均勻地自由下落，到沙子全部落到下部容器里時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束，不計(jì)空氣阻力和沙子間的影響．對(duì)計(jì)時(shí)過(guò)程取兩個(gè)時(shí)刻：時(shí)刻１，下部容器底部沒(méi)有沙子，部分沙子正在做自由落體運(yùn)動(dòng);時(shí)刻２，上、下容器內(nèi)都有沙子，部分沙子正在做自由落體運(yùn)動(dòng)．下列說(shuō)法正確的是（ ）．

A．時(shí)刻１，桌面對(duì)沙漏的支持力大小等于沙漏的總重力大小

B．時(shí)刻１，桌面對(duì)沙漏的支持力大小大于沙漏的總重力大小

C．時(shí)刻２，桌面對(duì)沙漏的支持力大小等于沙漏的總重力大小

D．時(shí)刻２，桌面對(duì)沙漏的支持力大小小于沙漏的總重力大小

解析 時(shí)刻１，下部容器內(nèi)沒(méi)有沙子，部分沙子正在做自由落體運(yùn)動(dòng)，對(duì)整體分析，有一部分沙子有向下的加速度，則總重力大于支持力，合力向下，故A、B錯(cuò)誤;對(duì)時(shí)刻２，部分沙子做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)沙漏的總質(zhì)量為m ，空中正在下落的沙子質(zhì)量為m１，沙漏中部細(xì)孔到底部靜止沙子表面的高度為h，因細(xì)孔處速度很小，可視為零，故下落的沙子沖擊底部靜止沙子表面的速度v＝根號(hào)下２gh ，沙子下落的時(shí)間為t，有v＝gt，解得t＝根號(hào)下２h／g ．設(shè)下落的沙子對(duì)底部靜止沙子的沖擊力為F１，在極短時(shí)間Δt 內(nèi)，撞擊在底部靜止沙子表面的沙子質(zhì)量為Δm ，由動(dòng)量定理有F１Δt＝Δmv＝Δm根號(hào)下２gh ，解得F１＝ΔmΔt根號(hào)下２gh ．空中的沙子質(zhì)量為m１，有m１t ＝Δm／Δt ，解得m１＝ΔmΔtt＝ΔmΔt根號(hào)下 ２h／g ，則F１＝m１g，對(duì)沙漏受力分析，可知桌面對(duì)沙漏的支持力FN＝（m －m１）g＋F１＝mg，故C正確，D錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)下部容器底部沒(méi)有沙子時(shí)，只有失重現(xiàn)象，桌面對(duì)沙漏的支持力大小小于沙漏的總重力大小;當(dāng)上、下容器內(nèi)都有沙子，空中沙子處于失重狀態(tài)，導(dǎo)致桌面對(duì)沙漏的支持力減小，落到容器底部的沙子由于受沖擊力作用，致使桌面對(duì)沙漏的支持力增大，兩種作用力的效果相抵，定量分析得到桌面對(duì)沙漏的支持力大小等于沙漏的總重力大?。?/p>

２．３ 解決液體類(lèi)流動(dòng)問(wèn)題

對(duì)于液體類(lèi)流動(dòng)問(wèn)題，基本的解題思路與前兩種情況的解題思路相同．

例４ 國(guó)產(chǎn)水刀———超高壓數(shù)控萬(wàn)能水切割機(jī)，以其神奇的切割性能引起轟動(dòng)．它能切割４０mm 厚的鋼板、５０mm 厚的大理石及其他材料．水刀就是將普通的水加壓，使其從口徑為０.２ mm 的噴嘴中以４００～１０００m·s－１的速度射出的水射流．我們知道，任何材料承受的壓強(qiáng)都有一定的限度，表１列出了幾種材料所能承受的壓強(qiáng)限度．

設(shè)想有一水刀的水射流橫截面積為S，垂直入射的速度為４００m·s－１，水射流與材料接觸后以原速率反彈，水的密度ρ＝１×１０３ kg··m－３，則此水刀不能切割的上述材料是（ ）．

A．鑄鐵和工具鋼 B．花崗巖和工具鋼

C．花崗巖、鑄鐵和工具鋼D．都不能切割

解析 以射到材料上的質(zhì)量為Δm 的水為研究對(duì)象，取極短的時(shí)間Δt，則Δm ＝ρSvΔt．設(shè)水對(duì)材料表面的壓強(qiáng)為p，則材料對(duì)水的壓強(qiáng)p′＝p，取水反彈的方向?yàn)檎较?，根?jù)動(dòng)量定理有pSΔt＝Δmv－Δm （－v），解得p ＝２ρv２，解得p ＝３.２×１０８Pa，故水刀不能切割的表中材料是鑄鐵和工具鋼，選項(xiàng)A 正確．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于反彈模型，抓住流體的特點(diǎn)，建立柱體模型，化無(wú)形為有形，本題即可迎刃而解．

本題的研究對(duì)象為“變質(zhì)量”的“連續(xù)”流體．處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般要假設(shè)一段極短時(shí)間Δt 內(nèi)的流體，其長(zhǎng)度為vΔt，流體橫截面積為S，得流體體積V＝SvΔt，故流體質(zhì)量為Δm ＝ρV ＝ρSvΔt，再對(duì)質(zhì)量為Δm 的流體應(yīng)用動(dòng)量定理求解．

（完）