數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)模塊化教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要 文章通過具體的數(shù)學(xué)模型案例分析，闡述了將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)模塊化教學(xué)的必要性?；跀?shù)學(xué)建模思想的高等數(shù)學(xué)模塊化教學(xué)，讓學(xué)生嘗試探索實(shí)際問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和學(xué)習(xí)興趣的提高具有積極的作用。這種融入了數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)模式給高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)帶來新的動(dòng)力，對(duì)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革具有重要意義。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué)；建模思想；模塊化；教學(xué)案例；課程改革

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.27.034

The Application of Mathematical Modeling Ideas in Modular Teaching

of Advanced Mathematics

CHEN Fenghua， LI Shuang'an

（Department of Basic Science， Wuchang Shouyi University， Wuhan， Hubei 430064）

Abstract This paper elaborated the necessity of integrating the idea of mathematical modeling into modular teaching of advanced mathematics through specific mathematical models case analysis. The modular teaching of advanced mathematics based on the idea of mathematical modeling allows students to try to explore the mathematical laws contained in practical problems. It plays a positive role in improving students' applied mathematics ability and learning interest. This kind of teaching exploration with the idea of mathematical modeling brings new impetus to the teaching of advanced mathematics. It is of great significance to the reform of advanced mathematics teaching.

Keywords advanced mathematics; the idea of mathematical modeling; modular; teaching cases; course reform

從20世紀(jì)90年代開始，我國對(duì)模塊化教學(xué)進(jìn)行了初步研究探索，在吸收國外先進(jìn)理論的同時(shí)，發(fā)展出了一套符合我國教育實(shí)情的模塊化教學(xué)理論。韓艷麗（2019）將模塊化教學(xué)應(yīng)用在“公共關(guān)系學(xué)”中；王麗婭（2019）將模塊化教學(xué)應(yīng)用在“體育與健康”課程中；黃翠平（2017）將模塊化教學(xué)應(yīng)用在酒店管理專業(yè)的實(shí)踐教學(xué)中等[1-3]。目前模塊化教學(xué)多側(cè)重于在專業(yè)課程中實(shí)行，而關(guān)于數(shù)學(xué)課程模塊化教學(xué)的研究并不多。

將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)的模塊化教學(xué)方法主要是在分模塊教學(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步融入數(shù)學(xué)建模的模塊，是一種嵌入式的數(shù)學(xué)建模模塊法[4]。融入數(shù)學(xué)建模思想的模塊化教學(xué)對(duì)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革具有重要意義。將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)模塊化教學(xué)過程中，不是將數(shù)學(xué)建模的例子強(qiáng)塞進(jìn)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容中，改變高等數(shù)學(xué)原有的體系，而是通過數(shù)學(xué)建模的過程使學(xué)生進(jìn)一步熟悉基本的教學(xué)內(nèi)容，鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的同時(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的理解與掌握。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，分四類進(jìn)行模塊化教學(xué)：將建模思想融入概念、定義的模塊化教學(xué)中，如導(dǎo)數(shù)的概念、微分的定義、定積分的定義、二重三重積分的定義；將建模思想融入定理的模塊化教學(xué)中，如零點(diǎn)定理、微分中值定理；將建模思想融入公式的模塊化教學(xué)中，如兩個(gè)重要極限、牛頓―萊布尼茨公式；將建模思想融入實(shí)際應(yīng)用的模塊化教學(xué)中，如函數(shù)的應(yīng)用、最值問題的應(yīng)用、微分方程的應(yīng)用、級(jí)數(shù)的應(yīng)用。下面通過幾個(gè)具體的例子闡述如何將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)的模塊化教學(xué)。

1 建模思想融入第一個(gè)重要極限的應(yīng)用

【實(shí)例一】 圓的面積問題

1.1 問題提出

如何利用圓內(nèi)接正邊形的面積求圓的面積？

1.2 模型建立

設(shè)圓的半徑為，記圓內(nèi)接正邊形的面積為，通過分析得： ，圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越大，圓內(nèi)接正多邊形的面積越接近圓的面積，當(dāng)邊數(shù)趨于無窮大時(shí)，圓內(nèi)接正多邊形的面積無限接近于圓的面積。

記圓的面積為，則有：=。

1.3 模型求解

由前面的分析知：。

上式變形為：

，

由第一個(gè)重要極限，及，，得到圓的面積：。

第一個(gè)重要極限是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，具有十分重要的應(yīng)用。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生往往重視其計(jì)算，而忽略了其應(yīng)用。本文將數(shù)學(xué)建模思想融入第一個(gè)重要極限的應(yīng)用，將第一個(gè)重要極限與圓的面積求解結(jié)合起來，有利于學(xué)生加深對(duì)第一個(gè)重要極限的理解和認(rèn)知，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也為其他教師教學(xué)提供參考。

2 建模思想融入第二個(gè)重要極限的應(yīng)用

【實(shí)例二】 計(jì)息還款問題

2.1 問題提出

某人民醫(yī)院2005年5月1日進(jìn)口一臺(tái)彩色超聲波診斷儀，貸款20萬元，以復(fù)利計(jì)算，年利率4%，2014年5月1日到期，一次還本付息，貸款到期時(shí)還款總額（按連續(xù)復(fù)利計(jì)息）是多少？

2.2 模型建立

設(shè)本金為，年利率為，如果一年分期計(jì)息，則每期的利率為，一年末的本息和為，年末的本息和為：。

如果計(jì)息期數(shù)，即把利息加入本金的時(shí)間無限縮短，利息隨時(shí)計(jì)入本金，稱為“連續(xù)復(fù)利”計(jì)息，則年末的本息和為：。

2.3 模型求解

依題意，2005年5月1日到2014年5月1日，由連續(xù)復(fù)利的復(fù)利公式，則9年末的本息和為：，其中，=20，=40%。

上式變形為：，

由第二個(gè)重要極限，，則9年末的本息和為：，所以到期還款總額為（萬元）。

2.4 模型推廣

此模型還反映了現(xiàn)實(shí)世界中一些事物增長和衰減的數(shù)量規(guī)律，如設(shè)備的折舊、資本的積累、細(xì)胞繁殖、放射性衰變、物體冷卻等，可以推廣應(yīng)用。

本文將數(shù)學(xué)建模思想融入第二個(gè)重要極限的應(yīng)用，讓學(xué)生對(duì)第二個(gè)重要極限有更加深刻的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，將課本的知識(shí)應(yīng)用到生活中，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

3 建模思想融入最大值最小值問題

關(guān)于最大值最小值的例題比較常見的是用料最小化、效率最大化等，這些問題實(shí)際上已脫離了我們的生活。將建模思想融入最大值最小值問題，需要學(xué)生的參與，讓學(xué)生體會(huì)fb41fc34664836d7b99f581c878c9015875f9106a735c7da93ec79b8304a1efd最大值最小值問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用，讓他們?cè)阱e(cuò)綜復(fù)雜的社會(huì)實(shí)踐中，認(rèn)識(shí)了解社會(huì)，抓住主要矛盾，通過觀察社會(huì)，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)并提出問題。

【實(shí)例三】 商品定價(jià)問題

3.1 問題提出

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)上購物成為新時(shí)尚，它極大地方便了人們的生活，也出現(xiàn)了新的經(jīng)濟(jì)業(yè)態(tài)。學(xué)生通過課余時(shí)間對(duì)某網(wǎng)絡(luò)銷售平臺(tái)的消費(fèi)記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果某款運(yùn)動(dòng)鞋定價(jià)為50元，則平均每月收到的訂單數(shù)為3000，但是隨著定價(jià)每提高1元，平均每月收到的訂單數(shù)將會(huì)減少100，每個(gè)顧客在質(zhì)保上平均花費(fèi)2元，商家為了獲得最大的收益，運(yùn)動(dòng)鞋應(yīng)該定價(jià)多少？

3.2 模型建立

設(shè)為運(yùn)動(dòng)鞋為50元定價(jià)時(shí)應(yīng)該提升的金額（如果是負(fù)值，則定價(jià)下調(diào)），則收益為：=商品收益+質(zhì)保收益，而商品收益等于訂單數(shù)乘以定價(jià)，質(zhì)保收益等于訂單數(shù)乘以質(zhì)保平均花費(fèi)，即：

，

。

整理得：。

3.3 模型求解

，令，求得。

這是唯一的駐點(diǎn)，又，，即為區(qū)間[-52，30]內(nèi)的唯一的極大值點(diǎn)，即為最大值點(diǎn)。因此，為了獲得最大的收益，運(yùn)動(dòng)鞋應(yīng)該定價(jià)為39元，也就是下調(diào)定價(jià)將吸引更多的人下訂單，月均訂單數(shù)是4100。

3.4 模型推廣

這個(gè)模型可以推廣應(yīng)用，利潤等于收益減去成本，利潤函數(shù)求導(dǎo)等于邊際收益減去邊際成本，當(dāng)邊際收益等于邊際成本且邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率時(shí)，可以獲得最大的利潤。

4 建模思想融入可分離變量微分方程

【實(shí)例四】 飲酒量與事故風(fēng)險(xiǎn)率問題

4.1 問題提出

大量的研究數(shù)據(jù)表明，汽車司機(jī)發(fā)生事故的風(fēng)險(xiǎn)率（百分比）與其血液中的酒精含量（單位：毫克/100毫升）有非常密切的關(guān)系。假設(shè)事故風(fēng)險(xiǎn)率變化率與事故風(fēng)險(xiǎn)率成正比，又已知血液中無酒精含量時(shí)，事故風(fēng)險(xiǎn)率為1%，當(dāng)血液中酒精含量為60毫克/100毫升時(shí)，事故風(fēng)險(xiǎn)率為20%。求①事故風(fēng)險(xiǎn)率與血液中酒精含量的函數(shù)關(guān)系。 ②當(dāng)血液中的酒精含量是多少時(shí)，理論上發(fā)生事故的風(fēng)險(xiǎn)率為100%？

4.2 模型建立

根據(jù)題意，事故風(fēng)險(xiǎn)率變化率與事故風(fēng)險(xiǎn)率成正比，則事故風(fēng)險(xiǎn)率變化率與血液中的酒精含量有如下關(guān)系：。這是一個(gè)可分離變量的微分方程。

4.3 模型求解

①上式分離變量得到：，兩邊同時(shí)積分有：，

得到： ，即（是任意常數(shù)）。

由已知條件時(shí)，，時(shí)，，得到：，求得：，，即事故風(fēng)險(xiǎn)率與血液中酒精含量的函數(shù)關(guān)系為。

②由題意，令，求得：，即血液中的酒精含量是92毫克/100毫升時(shí)，理論上發(fā)生事故的風(fēng)險(xiǎn)率為100%。

4.4 模型拓展

國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局發(fā)布的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)》標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，飲酒駕駛是指車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于20毫克/100毫升、小于80毫克/100毫升的駕駛行為，醉酒駕駛是指車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于80毫克/100毫升的駕駛行為。

很多駕駛員對(duì)酒精的影響作用警惕性不高，對(duì)法律規(guī)定的“酒后駕駛”和“醉酒駕駛”的最低血液酒精含量等概念模糊，往往在自認(rèn)為只是少量飲酒的情況下出現(xiàn)酒駕行為。實(shí)驗(yàn)證明，用45分鐘緩慢喝下一瓶啤酒，5分鐘后測(cè)試結(jié)果，酒精含量就可達(dá)到60毫克/100毫升，此時(shí)開車就已是酒駕。

通過對(duì) 這個(gè)數(shù)學(xué)建模案例的科學(xué)數(shù)據(jù)分析，讓學(xué)生在學(xué)到了微分方程知識(shí)的同時(shí)，也提高了青年學(xué)生的安全駕駛意識(shí)。

5 結(jié)語

本文通過對(duì)融入數(shù)學(xué)建模思想的高等數(shù)學(xué)模塊化教學(xué)的研究，對(duì)高等數(shù)學(xué)課程改革具有一定的推動(dòng)作用，包括教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等。數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)的模塊化教學(xué)中，能夠在保障數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的同時(shí)，利用邏輯思維擴(kuò)展聯(lián)系起各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，增強(qiáng)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵與生動(dòng)性。在建模的過程中，學(xué)生能夠通過多種數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，增強(qiáng)自己的思維創(chuàng)新能力，切實(shí)感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用，更重要的是知道怎樣應(yīng)用和自覺去應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)[6]。在培養(yǎng)和提高學(xué)生的想象力、洞察力和創(chuàng)造力的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和職業(yè)核心能力，讓學(xué)生學(xué)到“有用的”高等數(shù)學(xué)知識(shí)、“夠用”的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，以及“服務(wù)專業(yè)”的高等數(shù)學(xué)知識(shí)。

基金項(xiàng)目：武昌首義學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目“三維協(xié)同下的微積分模塊化教學(xué)的研究與實(shí)踐”（2020Y21）。

參考文獻(xiàn)

[1] 韓艷麗.基于模塊化項(xiàng)目教學(xué)法的中職文秘專業(yè)《公共關(guān)系學(xué)》課程教學(xué)設(shè)計(jì)[D].云南大學(xué)，2019.

[2] 王麗婭.高中《體育與健康》課程羽毛球模塊教學(xué)內(nèi)容的研究[D].北京體育大學(xué)，2019.

[3] 黃翠平.中職學(xué)校酒店管理專業(yè)模塊化實(shí)踐教學(xué)的問題及對(duì)策研究[D].魯東大學(xué)，2015.

[4] 李瑞，但煒.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究[J].高教學(xué)刊，2023，9（11）：112-115.

[5] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2023.

[6] 王詩云，鞠哲，呂振華.數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中的滲透——以常微分方程課程為例[J].教育進(jìn)展，2023，13（12）：9726-9729.