比薩斜塔引出的經(jīng)典幾何問(wèn)題

比薩斜塔是意大利比薩城的一座鐘樓，因?yàn)榈鼗屯寥赖木壒?，整座塔向東南方向傾斜了4°左右，成為奇觀，在網(wǎng)絡(luò)上，有很多網(wǎng)友拍攝的比薩斜塔的照片，其中不乏利用“借位”拍出的一些背著斜塔、扶著斜塔、被斜塔壓著的創(chuàng)意照片，在眾多照片中，有一張?zhí)貏e發(fā)人深思（如圖1）．在這張照片中，著名的比薩斜塔看起來(lái)竟然是直立在地面上的，完全沒(méi)有傾斜！

有人認(rèn)為，拍攝者故意歪拿著相機(jī)，讓鏡頭中的比薩斜塔看起來(lái)是豎直的，但如果那樣的話，地面看起來(lái)應(yīng)該是“斜”的呀！照片中，塔和地面都沒(méi)斜，它們之間的夾角真的是直角！

其實(shí)，站在三維空間的角度去思考，這就不奇怪了，剛才不是說(shuō)過(guò)嗎，比薩斜塔是向東南方向傾斜的，那如果從東南方向或者從西北方向去拍攝，拍到的斜塔就是直的了．

我畫(huà)一個(gè)這樣的示意圖，大家就明白了，如圖2，假設(shè)長(zhǎng)方體的下底面是地平面，斜線AB代表比薩斜塔，如果從正前方看，斜塔AB和地平線AC形成了一個(gè)明顯的夾角，但是，如果從右側(cè)看，斜塔AB和地平線AD則是垂直的，換句話說(shuō)∠BAD等于90°，為了看出這一點(diǎn)，只需要觀察圖3中那個(gè)陰影截面，這個(gè)截面顯然是一個(gè)長(zhǎng)方形，而∠BAD是這個(gè)長(zhǎng)方形的一個(gè)內(nèi)角，肯定就是90°了，當(dāng)然，如果你從左側(cè)看，斜塔和地面形成的角仍然是∠BAD，這本質(zhì)是相同的，這兩種可以把斜塔拍攝成直塔的方向，實(shí)質(zhì)上是同一條直線上的兩個(gè)不同的方向．

有趣的是，把斜塔拍攝成直塔，也僅有這兩個(gè)方向可行，換到任何別的方向，斜塔看起來(lái)都是斜的，事實(shí)上，我們可以證明，如果有一座塔，從兩個(gè)不共線的方向看過(guò)去都是垂直于水平地面的，那么這座塔就會(huì)從任何方向看過(guò)去都垂直于水平地面，即這座塔一定是一座直塔，早在古希臘時(shí)代，人們就已經(jīng)知道了這一點(diǎn)，并且給出了嚴(yán)格的證明，這就是歐幾里得的《幾何原本》第11卷里的命題4：如果一條直線與平面上的某兩條相交直線垂直，那么這條直線與該平面上的每一條直線都垂直，美國(guó)數(shù)學(xué)家喬治，波利亞對(duì)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域貢獻(xiàn)很大，他在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書(shū)中分析了很多與數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)解題思路相關(guān)的案例，在書(shū)中，上面這個(gè)命題的證明過(guò)程被當(dāng)作一個(gè)典型案例來(lái)進(jìn)行分析，波利亞的證明思路和歐幾里得的稍有不同，在這里，我們采用波利亞的思路，給大家介紹一下證明的方法．

如圖4，O，A，B，C是水平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)C是直線AB上的任意一點(diǎn)．P是水平面上方的一點(diǎn)，已知∠AOA＝∠BOP=90°，我們要證明∠COP也是90°．為了證明這個(gè)結(jié)論，我們需要證明什么？延長(zhǎng)PO，在延長(zhǎng)線上截取OQ=OP連接CQ，CP為了證明∠COP是直角，我們只需要證明△COP≌△COQ.這里用到了“從后往前推”的思想．

這個(gè)思路是怎么想到的呢？波利亞是這樣解釋的，如果證明一個(gè)事情有些困難，不妨回想一下這件事情最初的定義，什么是直角？直角就是和自己的補(bǔ)角相等的角，在證明兩個(gè)角相等時(shí)，全等三角形是一個(gè)有力的工具．

在這個(gè)圖中，我們能得出什么？由于∠AOP=∠AOQ=90°，OP=OQ，OA是公共邊，根據(jù)“SAS”可以得出△AOP≌△AOQ．根據(jù)同樣的道理可得到△BOP≌△BOQ.這兩對(duì)全等三角形告訴我們，AP=AQ，BP=BQ.這里用到了“從前往后推”的思想．

我們還能推出更多的東西．在△ABP和△ABQ中，AP=AQ，BP=BQ，AB是公共邊，由“SSS”可知△AB≌△ABQ，因此得到∠PAC=∠QAC．在△ACP和△ACQ中，AP=AQ，∠PAC=∠QAC，AC是公共邊，由“SAS”可知△ACP≌△ACQ，進(jìn)而得到CP=CQ.最后，在△COP和△COQ中，OP=OQ，CP=CQ，OC是公共邊，由“SSS”可知△COP≌△COQ，所以∠COP=∠COQ.而∠COP+∠COQ=180°，所以∠COP=∠COQ=90°．這樣，我們就證明了OP⊥OC.在證明過(guò)程中，我們用了五次全等！

這很可能是大家看到的第一個(gè)立體幾何證明，到了高中，大家會(huì)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)立體幾何．了解直線和平面垂直的含義，剛才證明的結(jié)論，其實(shí)就是直線和平面垂直的判定定理，如果你想了解更多有關(guān)的知識(shí)，可以看看《幾何原本》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》或者高中數(shù)學(xué)課本中的相關(guān)章節(jié)．

2024年6月號(hào)“數(shù)學(xué)潛能知識(shí)競(jìng)賽”獲獎(jiǎng)名單

（括號(hào)內(nèi)為輔導(dǎo)老師）

劉錦林（朱付來(lái)） 朱智航（桂雷） 黃瀟瀟 黃雋 李海燕 王麒霖 夏友好

2024年6月號(hào)“數(shù)學(xué)潛能知識(shí)競(jìng)賽”參考答案

1.B 2.D 3.24 4. 4b／3a