解一道幾何題的心路歷程

教室外，陽(yáng)光明媚，萬(wàn)里無(wú)云，鳥(niǎo)兒在樹(shù)上歡快地歌唱……但我卻無(wú)暇去欣賞那美麗的畫(huà)卷，因?yàn)槲矣龅搅藬r路虎——一道幾何證明題！

題目 如圖1，在∠ABC中。AB=AC．D為△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD. BD與AC交于點(diǎn)O．∠BDC=∠BAC．作AM⊥BD于點(diǎn)M.求證：BD=2DM+CD.

第一次解題

由圖1可知BD，DM和CD不在同一直線上，若要證明三者之間的和差關(guān)系，那就需要“截長(zhǎng)補(bǔ)短”，于是，我首先想到構(gòu)造“2DM”，也就是在MB上截取HM=DM，再證線段BH與線段CD相等，這樣就可以得到BD=2DM+CD．

證明：如圖2，在MB上截取HM=DM，連接AH.

在△AMH和△AMD中，

AM=AM，

∠AMH=∠AMD=90°，

HM=DM，

∴△AMH≌△AMD（SAS）.

∴AH=AD．

∵∠AOB=∠DOC，∠BDC=∠BAC，

∴180°-∠AOB-∠BAC =180°-∠DOC-∠BDC.

∴∠ABD=∠ACD.

在△ABH和△ACD中．

AH=AD，

AB=AC，

∠ABH=∠ACD．

∴△ABH≌△ACD（SSA）.

等一等，出現(xiàn)問(wèn)題了！“邊邊角”條件是不能證明三角形全等的！看來(lái)這個(gè)思路是錯(cuò)誤的，行不通！應(yīng)該怎么辦呢？無(wú)奈之下，我只能求助老師了，老師了解我的做法后，對(duì)我說(shuō)：“我們重新整理一下思路，在△ABH與△ACD中，已知一個(gè)角和一條邊相等，要想證明它們?nèi)龋€需要什么條件呢？你可以根據(jù)所需條件選擇另一種方式來(lái)描述你添加的輔助線，再嘗試證明．”

我反復(fù)體會(huì)著老師的話．我發(fā)現(xiàn)，在△ABH與△ACD中，我們已經(jīng)知道∠ABD=∠ACD和AB=AC，如果BH=CD，不就可以用“邊角邊”來(lái)證明全等嗎？此刻，終于豁然開(kāi)朗．柳暗花明！

第二次解題

證明：如圖2，在BM上截取BH=CD，連接AH.

∵∠AOB=∠DOC，∠BDC=∠BAC，

∴180°-∠AOB-∠BAC=180°-∠DOC-∠BDC.

∴∠ABD=∠ACD.

在△ABH和△ACD中，

AB=AC，

∠ABH=∠ACD，

BH=CD，

∴△ABH≌ACD（SAS）.

∴AH=AD.

∵AM⊥BD，

∴∠AMH=∠AMD=90°.

在Rt△AMH和Rt△AMD中．

AH=AD，

AM=AM，

∴Rt△AMH≌Rt△AMD（HL）.

∴HM=DM．即DH=2DM.

∵BD=DH+BH，BH=CD。

∴BD=2DM+CD.

太棒了！終于破解了這道題！我拿著作業(yè)奔向老師，和他分享成功的喜悅！老師仔細(xì)檢查了我的解題步驟，滿意地點(diǎn)了點(diǎn)頭：“你已經(jīng)通過(guò)截長(zhǎng)法解決了這道題，再思考一下，還有沒(méi)有其他的輔助線作法呢？”我滿懷信心地回到教室，開(kāi)始思考起來(lái)．

第三次解題

由題意可知，BD和DM在同一直線上，我們不妨把要證明的式子BD=2DM+CD的兩邊同減去DM．原式變?yōu)锽M=DM+CD.這時(shí)，“補(bǔ)短”的方法浮現(xiàn)了：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)C，使CG=BM，連接AG.如果能夠證明DM=DG，就可以證出本題的結(jié)論．

證明：如圖3，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使CG=BM，連接AG.

∵∠AOB=∠DOC，∠BDC=∠BAC，

∴180°-∠AOB-∠BAC =180°-∠DOC-∠BDC.

∴∠ABD=∠ACD.

在△ABM和△ACG中，

AB=AC，

∠ABM=∠ACG，

BM=CG，

∴△ABM≌△ACG（SAS）.

∴AM=AG，∠AMB=∠G.

∵AM⊥BD，

∴∠AMD=∠G=90°.

在Rt△ADM和Rt△ADG中．

AD=AD，

AM=AG，

∴Rt△ADM≌Rt△ADC（HL）.

∴DM=DG．

∵BM=CG=CD+DG，

∴BM=CD+DM．

∴BM+DM=2DM+CD，即BD=2DM+CD.

解題感悟：我們?cè)诮忸}時(shí)，要充分運(yùn)用題目中給出的條件，對(duì)于缺少的條件，可以嘗試作輔助線來(lái)補(bǔ)充．但在作輔助線時(shí)不能盲目，要根據(jù)所需條件作合適的輔助線．