量感的構(gòu)成要素探究

【摘 要】文章通過分析49位小學(xué)數(shù)學(xué)教師的訪談資料，基于扎根理論的三級編碼，得出小學(xué)生數(shù)學(xué)量感的構(gòu)成要素。研究結(jié)果表明，量的識別、量的理解、量的操作是量感的基本要素，量的換算、量的估計是構(gòu)成量感的關(guān)鍵要素，量的應(yīng)用是量感的核心要素。在量感的實際課堂教學(xué)中，教師應(yīng)重視直觀感知，促進學(xué)生對量的識別與理解，豐富操作體驗，提升學(xué)生對量的估計能力，注重量的應(yīng)用，多方面培養(yǎng)學(xué)生的量感。

【關(guān)鍵詞】量感；量感要素；扎根理論；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

2022年4月，教育部頒布義務(wù)教育課程方案和各學(xué)科課程標準，凝練了各學(xué)科課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)。量感是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）新增加的核心素養(yǎng)表現(xiàn)［1］，說明量感對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展具有重要價值與作用。隨著新課標明確提出量感，量感的研究引起廣大研究者的重視。筆者對文獻進行梳理發(fā)現(xiàn)，已有研究從多個角度對量感的內(nèi)涵進行闡釋。一是心理取向角度，認為量感屬于一種感覺，具體來講，是指學(xué)生不使用任何工具，對一個量的大小、多少進行推斷［2］。這種認識傾向于將量感歸結(jié)為一種感覺或意識。二是能力取向角度，認為量感是學(xué)生經(jīng)歷對量的比較、運算、估計等數(shù)學(xué)活動發(fā)展形成的一種直覺感知能力和定量刻畫能力。或者將量感看作是從數(shù)學(xué)的視角通過數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。三是行為取向角度，認為測量是一個數(shù)，用以表明測量物體的屬性，以及測量給定單位的相同屬性之間的比較［3］。還有一種觀點強調(diào)量感是學(xué)生能在真實情境中選擇合適的度量單位進行度量，會在統(tǒng)一度量方法下進行不同單位的換算的一種能力［4］。

然而，關(guān)于量感的研究主要集中在內(nèi)涵、特征以及培養(yǎng)策略方面［5-6］。相比較而言，關(guān)于量感要素的研究較少，其闡述大多蘊含在內(nèi)涵中，如有研究指出量感的內(nèi)涵包括量的感性體驗、量的理性感知、量的測量判斷、量的合理辨析、量的單位轉(zhuǎn)換、量的計算應(yīng)用六個部分［7］。也有研究指出量感是指學(xué)生關(guān)于量的比較、運算和估計等方面的感悟［8］。厘清量感的內(nèi)涵與要素不僅是落實學(xué)生量感核心素養(yǎng)培養(yǎng)的基礎(chǔ)，也是展開核心素養(yǎng)評價研究的前提。因此，本研究借助扎根理論，從一線教師的視角，自下而上地對量感包含的要素展開研究，以期為量感測評指標的構(gòu)建研究提供新的視角。

一、研究設(shè)計

（一）研究對象

本研究選取全國13個不同地區(qū)的49位小學(xué)數(shù)學(xué)教師作為訪談對象，圍繞量感的內(nèi)涵、要素及學(xué)生的量感主要表現(xiàn)等3個問題進行結(jié)構(gòu)化訪談。同時將與量感3個問題相關(guān)的訪談內(nèi)容進行記錄，最終得到4萬余字的文本資料。本研究隨機選擇46份訪談資料用于編碼分析及要素構(gòu)建，其余3份用于后續(xù)的理論飽和度檢驗。受訪教師的職稱從二級到高級，其中一級及以上職稱的受訪對象數(shù)量超過訪談對象總數(shù)的一半。教師教齡從5年以內(nèi)到30年以上，其中，主要集中在11年以上，比例約為59%。受訪教師均為骨干教師且從事過量感的相關(guān)研究，對量感具有較為深入的認識與思考。因此，本研究所選取的研究對象能涵蓋不同的教師群體（見表1）。

（二）數(shù)據(jù)處理

本文采用扎根理論質(zhì)性研究方法對獲取的訪談資料進行分析，并聚焦學(xué)生量感核心素養(yǎng)的相關(guān)研究，在已有文獻的基礎(chǔ)上，結(jié)合一線教師的訪談內(nèi)容，不斷地進行提煉與抽象，挖掘內(nèi)在的聯(lián)系，嘗試提出量感的組成要素?！霸碚摗庇筛窭购退固貏谒乖?967年提出，其主要宗旨是從經(jīng)驗資料的基礎(chǔ)上建立理論［9］，即通過逐級編碼從原始資料中抽取出概念，通過概念之間的聯(lián)系進一步歸納出結(jié)論。扎根理論的具體編碼方式為根據(jù)開放編碼、軸心編碼和核心編碼三個步驟對訪談資料進行分析、歸納，以形成概念和范疇等，最終歸納出量感的構(gòu)成要素。為高效地處理數(shù)據(jù)，本研究借助Nvivo12軟件對原始資料進行三級編碼分析。

二、編碼過程

（一）開放編碼

開放編碼是從資料中發(fā)現(xiàn)概念類屬，對類屬加以命名，確定類屬的屬性和維度，并對研究的現(xiàn)象加以命名及類屬化。本文先對資料進行梳理，提取與量感內(nèi)容相關(guān)的語句，對所蘊含的關(guān)于量感的信息進行初步分析與分解，形成關(guān)鍵信息，以便后續(xù)的編碼。然后對以上信息進行初步聚類分析，得出初始概念，將表述內(nèi)容相近或相同的信息合并到同一個初始概念中，并計算其頻數(shù)（編碼參考點數(shù)），最后形成38個初始概念，如統(tǒng)一單位、間接比較等。為了便于理解，筆者將具有代表性的初始概念和原始語句進行了整理（見表2）。

（二）軸心編碼

軸心編碼指發(fā)現(xiàn)和建立類屬之間的各種聯(lián)系，以表現(xiàn)資料中各個部分之間的有機關(guān)聯(lián)。筆者通過對類屬概念進行不斷比較、聚類、合并等方式，使得各個類屬之間的聯(lián)系變得逐漸清晰。在軸心編碼中，研究者每一次只對一個類屬進行深度分析，圍繞這一個類屬尋找相關(guān)關(guān)系，因此稱之為“軸心”。軸心編碼作為一個概念化和范疇化的過程，在分析中屬于重要的環(huán)節(jié)。首先，借助軟件的探索性功能對以上初始概念進行編碼相似性分析，初步對編碼內(nèi)部之間的關(guān)系進行判斷。然后，依據(jù)開放編碼的初始概念和頻數(shù)，建立各個概念類屬之間的聯(lián)系，形成初步的量感軸心編碼要素。具體操作是在編碼過程中，重新審視開放編碼初始概念之間的關(guān)系，不斷進行比較、拆分和整合，確立度量標準、度量觀念等15個軸心編碼要素，即二級節(jié)點，各個要素包含的初始概念及頻數(shù)如表3所示。

（三）核心編碼

核心編碼也稱為三級編碼或者選擇式編碼，指的是在所有已發(fā)現(xiàn)的概念類屬中經(jīng)過系統(tǒng)分析后選擇一個核心類屬，通過分析，不斷地集中到那些與核心類屬有關(guān)的號碼上來。即在軸心編碼的基礎(chǔ)上，根據(jù)各個要素之間的聯(lián)系，分析出核心類屬，使軸心編碼得出的要素進一步依靠內(nèi)在聯(lián)系，提煉為主要范疇。經(jīng)過分析，以上軸心編碼得出的15個要素經(jīng)過進一步歸納，得出量的識別、量的理解、量的換算、量的估計、量的操作、量的應(yīng)用等6個主范疇及其與15個子范疇之間的關(guān)系，具體內(nèi)容如表4所示。

理論性飽和是指不可以獲取額外數(shù)據(jù)以使分析者進一步發(fā)展某一個范疇之特征的時刻。［10］筆者對預(yù)留的3份訪談資料進行三級編碼分析，以檢驗理論性飽和的情況。研究表明，在已有的編碼外無新增的概念與范疇。由此可以認為，以上的范疇在理論上達到飽和狀態(tài)。

三、研究結(jié)果

我們通過對資料進行三級編碼分析和可視化分析，發(fā)現(xiàn)量感要素有其本身內(nèi)在邏輯和層次結(jié)構(gòu)（如圖1）。該結(jié)構(gòu)圖是一個由三層圓環(huán)組成的環(huán)形結(jié)構(gòu)，以量的應(yīng)用為核心，量的識別、量的理解、量的操作、量的換算、量的估計和量的應(yīng)用構(gòu)成了量感。

（一）量的識別、量的理解、量的操作是量感的基本要素

量的識別指學(xué)生對客觀事物的感知、感受從日常生活經(jīng)驗階段逐漸向具有“數(shù)學(xué)的眼光”階段過渡?？梢哉f，量的識別是學(xué)生經(jīng)過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)后，經(jīng)歷由量的感性體驗走向量的理性體驗的過程，但并未完全具有量的理性體驗。在這個過程中，學(xué)生普遍意識到客觀事物或物體能夠被測量，體會到度量的重要性，能夠從數(shù)學(xué)的角度認識事物并具有度量的觀念。量的識別還指學(xué)生能夠從不同屬性的“量”來認識客觀事物，且對客觀事物的屬性具有準確的判斷。比如，學(xué)生能夠從多種屬性來認識一塊橡皮，如橡皮的長度、大小以及所占的空間大小。

量的理解指學(xué)生對客觀事物的屬性具有更為深入的認識，能夠用“數(shù)字+度量單位的方式”規(guī)范表達量感的結(jié)果。量的理解是在量的識別的基礎(chǔ)上，對量感更理性的認識。量的理解主要表現(xiàn)為學(xué)生具有了度量的標準，且在頭腦中建立起單位表象。具體而言，幾乎所有計量單位的產(chǎn)生和發(fā)展都經(jīng)歷了漫長的時間，承載了計量單位從多元到統(tǒng)一、從粗略到精細的發(fā)展過程。［11］學(xué)生體會到統(tǒng)一度量標準在數(shù)學(xué)、生產(chǎn)及生活中的重要性，從而不僅理解不同屬性量的度量單位體系，而且對不同屬性量的計量單位在頭腦中建立了較為精準的表象。如1厘米的長度，1平方厘米的大小以及1立方厘米的空間大小等。在此基礎(chǔ)上能夠?qū)ο鄳?yīng)的量進行疊加。

量感的發(fā)展離不開對客觀物體的直觀感受，量的操作和體驗是學(xué)生初步建立量感十分重要的環(huán)節(jié)，也是形成量感的基本要素。在量的操作活動中，學(xué)生通過直觀感受，真正地體驗各種屬性量、感受量，切身建立起1秒的概念，1厘米的長度單位表象以及1千克的直觀體驗。簡而言之，通過多種感官參與的量感操作活動，學(xué)生能夠加強對各種屬性的認識，對不同屬性量具有深刻的理解，從而對后續(xù)量感的發(fā)展發(fā)揮著重要作用。

（二）量的換算、量的估計是構(gòu)成量感的關(guān)鍵要素

量的換算指在經(jīng)歷比較、類比等活動后，學(xué)生具備了單位換算與推導(dǎo)的量感能力。量的換算包括相同屬性度量單位換算和不同屬性度量單位運算兩種類型。其中，相同屬性的度量單位換算包括相同屬性的單個度量單位的疊加、相同屬性的多個度量單位的換算，不同屬性的度量單位運算包括不同屬性的單個單位運算和不同屬性的多個單位運算。［12］量感的轉(zhuǎn)換性是量的合理辨析的一種外顯形式，其表現(xiàn)形式可分為同類量轉(zhuǎn)換與異類量轉(zhuǎn)換。其中，同類量轉(zhuǎn)換、相同屬性度量單位換算與單位換算具有異曲同工之妙；異類量轉(zhuǎn)換、不同屬性單位的運算都蘊含單位推導(dǎo)之意。量的換算體現(xiàn)對事物某一個維度的量感的多重表達，是培養(yǎng)學(xué)生量感的必備要素。

估計可分為數(shù)量估計、測量估計和計算估計。一般而言，量的估計主要指測量估計。量的估計指在不使用測量工具時，給特定的物體或任務(wù)（如長度、重量、體積等）賦予一個值的能力。量的估計作為量感的關(guān)鍵要素，具體表現(xiàn)為能夠選擇合適的度量單位對物體的大小進行估計，能夠選擇合適的度量標準對被測物體進行估計，能夠選擇合適的方法進行估計。學(xué)生在進行量的估計時，運用估計的策略一般體現(xiàn)在過程估計和最終數(shù)值估計兩個方面。過程估計指學(xué)生在利用量的估計解決問題的過程中，有選擇性地忽略對測量結(jié)果影響甚微的影響因素。最終數(shù)值估計指在對物體進行估計時，對最終的數(shù)值能夠做出合理的近似值估計。量的估計是發(fā)展學(xué)生量感非常重要的因素，也是學(xué)生運用量感解決實際問題的關(guān)鍵體現(xiàn)。學(xué)生有效運用量的估計能力能夠從側(cè)面反映學(xué)生的量感水平。量的估計強調(diào)學(xué)生將與量相關(guān)的知識合理地運用到數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)實問題中，如估計游泳池的面積是多少，學(xué)生需要利用面積相關(guān)知識以及選擇合適的估計策略才能做出準確的判斷。

（三）量的應(yīng)用是量感的核心要素

量的應(yīng)用是指能夠有效運用量的知識、技能解決不同情境的量感問題，包括能夠選擇合適的度量單位解決問題，選擇合適的度量策略處理不同類型的問題。量的應(yīng)用是量感的核心要素，其重視學(xué)生運用量解決問題的能力，尤其是解決具有真實情境問題的能力。如裝修中的“鋪地磚”問題就體現(xiàn)了量的應(yīng)用。在解決此情境問題時，學(xué)生需要將“鋪地磚”的現(xiàn)實情境問題轉(zhuǎn)為量感中“面積”相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。在解決問題時，學(xué)生需要理解面積的概念，懂得面積單位的換算以及考慮如何設(shè)計才能將地面鋪滿地磚且具有美觀性。此外，學(xué)生還需根據(jù)每塊地磚的規(guī)格，利用量的估計預(yù)測鋪滿地面大約需要地磚的數(shù)量。量的應(yīng)用強調(diào)了量的識別、量的理解、量的換算與量的估計的高度融合與統(tǒng)一，更注重學(xué)生解決實際問題能力的培養(yǎng)，最終指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育與發(fā)展。

四、研究啟示

厘清量感的結(jié)構(gòu)要素有助于量感概念的理解、量感素養(yǎng)的培育及量感的評價研究。本研究通過扎根理論，汲取小學(xué)數(shù)學(xué)教師對量感要素的認識與理解，對量感實際課堂教學(xué)具有重要的啟示意義。

（一）重視直觀感知，促進學(xué)生對量的識別與理解

量感建立在實物感覺存在的性質(zhì)之上，可通過感官觀察、操作測量具體實物培養(yǎng)學(xué)生量感。［13］學(xué)生對量的感知和理解是一個由淺入深、由簡單到復(fù)雜的過程，需要借助生活經(jīng)驗，觀察客觀物體，以豐富對物體各個屬性的直觀感知。在量感教學(xué)過程中，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生利用身邊熟悉的事物來認識不同屬性的量和不同度量單位，并建立度量單位表象。教師讓學(xué)生建立起系統(tǒng)的單位體系時，不是直接讓學(xué)生死記硬背單位之間的關(guān)系，而是借助學(xué)生的身體部位或所處環(huán)境中熟悉的物體去感知。如讓學(xué)生量一量大拇指的寬度、大拇指指甲蓋的大小，由此直觀感受到1厘米的長度、1平方厘米的大小，從而形象地在頭腦中刻畫出基本單位的表象。又如，讓學(xué)生知道兩個手臂打開的距離接近1米的長度，感受1米的長度，并讓學(xué)生尋找教室里面積大小約為1平方米的實物。對于量感的發(fā)展，學(xué)生需要經(jīng)歷視覺、觸覺等多重器官的感受，逐漸建立起對基本量的感知和感受，促進對量的屬性、度量單位的認知和理解。

（二）豐富操作體驗，提升量的估計能力

量的估計對培養(yǎng)學(xué)生的量感，發(fā)展學(xué)生的度量意識非常重要，然而量的估計對學(xué)生而言一直是一個難題。究其原因，估計本身是數(shù)學(xué)的一項基本技能，其發(fā)展和培養(yǎng)對提高數(shù)學(xué)其他能力具有益處［14］。量的估計是形成量感的關(guān)鍵要素，增加學(xué)生的動手操作活動能加深學(xué)生對量的體驗，提高學(xué)生的量感估計能力。因為估計的能力不是教師“教”出來，而是學(xué)生在實踐中逐漸培養(yǎng)起來的。量的估計不僅側(cè)重估計方法和策略的使用，還關(guān)注實踐、現(xiàn)實生活和具體的操作活動。學(xué)生在進行量的估計時，能否選擇合適的度量單位和參照物，取決于學(xué)生對度量標準的感知，而這種感知是否準確又與實踐操作活動的體驗有關(guān)。如利用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積時，教師可先不提供方格紙，讓學(xué)生自己動手去制作度量標準（面積單位）進行不規(guī)則圖形面積的估計。［15］在這個過程中，學(xué)生通過操作活動豐富了對物體做出準確估計的經(jīng)驗，感受到估計不是隨意地估計，而是要善于借助生活中的載體進行合理地估計。

（三）注重量的應(yīng)用，多方面培養(yǎng)學(xué)生量感

量感作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，其本質(zhì)是要培養(yǎng)學(xué)生具有利用量感來解決問題的能力。多維度發(fā)展學(xué)生的量感，需重視量感的應(yīng)用。一方面，在進行量感的概念教學(xué)時，將各種屬性量的認識與量的應(yīng)用相融合。如教學(xué)周長、面積、體積的概念時，不是讓學(xué)生將教材上的概念文字記住，而是讓學(xué)生能夠用自己的語言描述出什么是周長，什么是面積，什么是體積，并通過對現(xiàn)實物體的觀察，感受到三者之間的聯(lián)系與區(qū)別，這將有效避免問題解決時出現(xiàn)的將三者概念混淆的情況。另一方面，量感的教學(xué)需重視學(xué)習(xí)的可遷移性。如在探究體積單位中1立方厘米、1立方分米、1立方米之間的換算關(guān)系時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到長度單位中1厘米、1分米、1米以及面積單位中1平方厘米、1平方分米和1平方米之間的單位換算的推導(dǎo)過程，然后將此過程大膽猜想到體積單位體系中。這不僅讓學(xué)生體會到應(yīng)以類比數(shù)學(xué)思想進行解決問題，更讓學(xué)生深刻地認識到從一維到二維再到三維空間之間的關(guān)系，使學(xué)生在實際應(yīng)用中不斷加深對量的認識，促進學(xué)生量感的培養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：羅小熒）