舍費(fèi)爾德解題思想下概率中遞推數(shù)列的教學(xué)思考

【摘 要】概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的編排注重知識(shí)系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)化，這既凸顯高中課程中概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值，也是對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)育人價(jià)值提出更高的要求。文章結(jié)合舍費(fèi)爾德解題思想四要素（知識(shí)資源、探索策略、控制系統(tǒng)、自我信念）的啟示，思考概率中遞推數(shù)列問題的教學(xué)策略：基于概率學(xué)習(xí)進(jìn)階，設(shè)計(jì)真實(shí)問題情境；以“情境—問題”為載體，重塑解題策略模式；規(guī)范學(xué)生思維路徑，建構(gòu)遞推數(shù)列模型；基于過程性評(píng)價(jià)，建立學(xué)習(xí)信念，指向?qū)W生概率思維的培養(yǎng)。舍費(fèi)爾德解題思想凸顯了概率認(rèn)知發(fā)展的層級(jí)性，也為學(xué)生概率思維的培養(yǎng)提供策略支撐?；诖?，文章分析了“概率中的遞推數(shù)列”一節(jié)公開展示課的教學(xué)過程，以期優(yōu)化概率教學(xué)，形塑學(xué)生交叉思維解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】舍費(fèi)爾德解題思想；學(xué)習(xí)進(jìn)階；遞推數(shù)列；概率思維

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）中關(guān)于概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的編排更注重知識(shí)系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)化，這既凸顯高中課程中概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值，也是對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)育人價(jià)值提出更高的要求。知識(shí)的融合，比如概率與函數(shù)、概率與不等式、概率與數(shù)列等交匯知識(shí)的融合，可以形塑學(xué)生交叉思維解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)。

引例 甲乙兩人投籃，規(guī)則如下：每次由其中一人投籃，若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃。無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8。由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5。

（1）求第二次投籃的人是乙的概率。

（2）求第i次投籃的人是甲的概率。

（3）若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，...，n，則[Ei=1nXi]=[i=1nqi]，記前n次中投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）。

引例以“兩人投籃”為情境，設(shè)置貼近學(xué)生生活的情境考查全概率公式及條件概率。從情境的設(shè)計(jì)和問題的呈現(xiàn)來看，引例基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平來設(shè)計(jì)情境，學(xué)生應(yīng)能較為輕松地由背景抽象出問題。［1］學(xué)生基于投籃的常識(shí)，對(duì)“第一次投籃”進(jìn)行分類討論，再運(yùn)用全概率公式便可解決第一問。對(duì)于第二問，難度有所提升，問“第i次投籃的人是甲的概率”，這便要運(yùn)用從特殊到一般的思維方式，借鑒特殊情境的處理方式，對(duì)“第i-1次投籃”進(jìn)行分類討論，繼續(xù)運(yùn)用全概率公式及求和運(yùn)算的相關(guān)策略（與遞推數(shù)列結(jié)合），便可解決該問題。第三問需要基于兩點(diǎn)分布得出遞推關(guān)系式及相關(guān)公式考慮數(shù)學(xué)期望。問題解答過程中，學(xué)生對(duì)數(shù)列與概率交叉形成的模型較為陌生，特別是在分類討論的基礎(chǔ)上，利用全概率公式構(gòu)建遞推數(shù)列是學(xué)生較難突破的障礙點(diǎn)。

實(shí)際上，利用遞推數(shù)列解答概率問題是大學(xué)自主招生和競(jìng)賽命題的熱點(diǎn)［2］，也是一種重要的解題策略。此類問題其實(shí)蘊(yùn)含概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的隨機(jī)過程（馬爾科夫過程），問題突破的關(guān)鍵是全概率公式的運(yùn)用。在思考此類題型時(shí)，因問題情境復(fù)雜，學(xué)生需要基于情境抽象出問題，弄清楚相鄰事件間的關(guān)聯(lián)，討論兩項(xiàng)或三項(xiàng)的遞推關(guān)系，這是難點(diǎn)。概率中的遞推數(shù)列問題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用要求較高，同時(shí)學(xué)生需要將不同模塊的知識(shí)進(jìn)行融合進(jìn)而遷移運(yùn)用，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。因此，在教學(xué)中教師需要厘清此類題型的知識(shí)邏輯，基于教材內(nèi)容進(jìn)行變式教學(xué)，避免進(jìn)行試題的簡(jiǎn)單回顧。教師需要引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的實(shí)踐中形成認(rèn)知策略，指向發(fā)展學(xué)生的高階思維能力。［3］同時(shí)，教師需要思考如何更好地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注概率中的遞推數(shù)列問題，基于學(xué)生概率學(xué)習(xí)進(jìn)程及概率思維的發(fā)展進(jìn)階，系統(tǒng)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)任務(wù)，指向概率內(nèi)容的深度教學(xué)及學(xué)生概率思維的發(fā)展。

二、舍費(fèi)爾德解題思想的內(nèi)涵與策略

本文欲基于舍費(fèi)爾德解題思想指導(dǎo)，優(yōu)化概率中遞推數(shù)列教學(xué)的策略。

（一）舍費(fèi)爾德解題思想的內(nèi)涵分析

解題策略的優(yōu)化有助于提高學(xué)生的問題解決能力。波利亞認(rèn)為，教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立性、能動(dòng)性和創(chuàng)新精神，教學(xué)中突如其來的“像是帽子里突然跑出一只兔子”式的證明，是令人不滿的［4］，教學(xué)生解題是“意志的教育”。那么進(jìn)行解題意志教育，需要教師引導(dǎo)學(xué)生去整理并形成自我啟發(fā)的策略，這樣的過程具有建構(gòu)性和開放性。美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)者舍費(fèi)爾德（A. Schoenfeld）提出的解題思想是對(duì)波利亞解題理論的繼承與發(fā)展。［5］

舍費(fèi)爾德通過比較和分析學(xué)生和數(shù)學(xué)家對(duì)相同問題的解決過程，提出影響數(shù)學(xué)問題解決的四個(gè)要素：知識(shí)資源、探索策略、控制系統(tǒng)及自我信念。［6］其中，知識(shí)資源是解決問題的邏輯起點(diǎn)，學(xué)生需要建構(gòu)系統(tǒng)的知識(shí)信息，比如數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算技能及程序性知識(shí)等。良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)遷移能力有助于學(xué)生在解決問題中快速提取和遷移知識(shí)信息。探索策略是指學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問題情境時(shí)，能抽象出數(shù)學(xué)問題，并能在“知識(shí)資源庫(kù)”中準(zhǔn)確檢索到對(duì)應(yīng)的知識(shí)或方法去進(jìn)行問題解決的謀劃與設(shè)計(jì)，為有效解決問題做鋪墊?？刂葡到y(tǒng)是指解題者對(duì)于問題解決活動(dòng)的自我意識(shí)、自我分析與自我調(diào)整，其中包括解題策略的選擇與調(diào)試、計(jì)算方法的選擇與調(diào)整等，所以控制是解題過程的關(guān)鍵。［7］面對(duì)相同問題時(shí)，不同的學(xué)習(xí)者是具有差異的，“多想少算”的度的控制和解題“碰壁”后調(diào)整的時(shí)機(jī)等都需要學(xué)習(xí)者的有效控制。在限時(shí)訓(xùn)練時(shí)，學(xué)習(xí)者的控制會(huì)受自我信念的影響，假如花了較多時(shí)間后終究無果，學(xué)習(xí)者的解題信念會(huì)受挫，也會(huì)影響問題解決的進(jìn)程。所以知識(shí)資源、探索策略、控制系統(tǒng)及自我信念四個(gè)要素是環(huán)環(huán)相扣、相輔相成的，四個(gè)要素之間的互相耦合共同助力問題解決的順暢性。

（二）舍費(fèi)爾德解題思想在概率中遞推數(shù)列教學(xué)中的滲透策略

基于舍費(fèi)爾德解題思想的內(nèi)涵剖析，概率中的遞推數(shù)列教學(xué)需關(guān)注以下方面：基于學(xué)習(xí)進(jìn)階，設(shè)計(jì)真實(shí)問題情境；以“情境—問題”為載體，重塑解題策略模式；規(guī)范學(xué)生思維路徑，建構(gòu)遞推數(shù)列模型；基于過程性評(píng)價(jià)，建立學(xué)習(xí)信念，指向概率思維的培養(yǎng)。

1.基于學(xué)習(xí)進(jìn)階，設(shè)計(jì)真實(shí)問題情境

問題求解過程包括回憶與組合相關(guān)知識(shí)，融合生成綜合的智力技能。數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生離不開情境，教學(xué)時(shí)，教師需要基于概率學(xué)習(xí)進(jìn)階，分析與比較多版教材內(nèi)容，進(jìn)而系統(tǒng)設(shè)計(jì)自然合理的問題情境，這樣的過程可以提升學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)世界問題的能力。好的問題情境的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界轉(zhuǎn)換的過程（數(shù)學(xué)問題的表達(dá)、數(shù)學(xué)結(jié)果的翻譯）。［8］正如弗賴登塔爾所提倡的數(shù)學(xué)要注重把生活世界引向符號(hào)世界。［9］

概率思維是描述學(xué)生應(yīng)對(duì)各種不確定問題的思維模式，對(duì)應(yīng)學(xué)生在不確定的情境中思考問題的過程，概率思維的形成有助于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展。概率思維的本質(zhì)在于對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生頻繁程度定量化，使得人們能在不確定的情境中做出判斷。［10］所以概率學(xué)習(xí)進(jìn)階是基于學(xué)生的概率思維形成路徑，刻畫學(xué)生的學(xué)習(xí)軌跡。高中概率的學(xué)習(xí)大致經(jīng)歷概率羅列階段、概率分析階段、概率分布階段、連續(xù)變量階段，這四個(gè)階段蘊(yùn)含學(xué)習(xí)概率的定量化過程，即把不確定情境符號(hào)化。

引例是以“投籃”為情境，學(xué)生解決問題的難點(diǎn)是，借鑒特殊情境的處理方式，對(duì)“第i-1次投籃”進(jìn)行分類討論，運(yùn)用全概率公式及求和運(yùn)算的相關(guān)策略（與遞推數(shù)列結(jié)合）。其實(shí)該題源于教材例題和習(xí)題的重組和變式，考查概率背景下的遞推數(shù)列問題，學(xué)生在特殊情形下的數(shù)學(xué)問題表達(dá)和數(shù)學(xué)結(jié)果翻譯沒有問題，但在對(duì)一般情況進(jìn)行處理時(shí)，兩個(gè)世界的轉(zhuǎn)換就出現(xiàn)了困難。因此，在進(jìn)行概率中的遞推數(shù)列教學(xué)時(shí)，需要關(guān)注學(xué)生的概率學(xué)習(xí)進(jìn)程。此時(shí)學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了遞推數(shù)列、條件概率及全概率公式，已經(jīng)處于由概率分析階段向概率分布、連續(xù)變量階段過渡的階段，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生建立概率與遞推數(shù)列的知識(shí)聯(lián)結(jié)，系統(tǒng)設(shè)置問題情境，重塑知識(shí)結(jié)構(gòu)及解題策略系統(tǒng)。

2.以“情境—問題”為載體，重塑解題策略模式

運(yùn)用遞推思想解決概率問題蘊(yùn)含情境性和典型性，所以教學(xué)中要以“情境—問題”為載體，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)態(tài)生成解題策略，解題過程要體現(xiàn)方法靈活性與遞推思想引領(lǐng)性的統(tǒng)一。

像一階遞推數(shù)列模型an=pan-1+q（n≥2），常常利用待定系數(shù)法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，從而求解概率問題。比如，固定放回的摸球問題與傳球游戲的“情境—問題”：袋中有a個(gè)白球b個(gè)黑球，每次摸出一個(gè)球后總放入一個(gè)白球，這樣進(jìn)行n次后，再摸出一個(gè)球是白球的概率。摸球與傳球游戲是典型的一階遞推數(shù)列模型問題，需要分類討論。第n+1次摸到白球分成兩類——“第n次摸到白球第n+1次摸到白球”和“第n次摸到黑球第n+1次摸到白球”，根據(jù)兩種情形將文字語言轉(zhuǎn)化為條件概率的符號(hào)語言，從而建立一階遞推數(shù)列模型，由此求解概率問題。

過渡到二階遞推數(shù)列an=pan-1+qan-2（n≥3），同樣需要利用待定系數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列模型，從而求解概率問題。比如，“隨機(jī)游走”的“情境—問題”：設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在直線上的點(diǎn)0，1，2，…，N上隨機(jī)游走，每隔相同時(shí)間，改變一次位置。如果點(diǎn)M位于k（0＜k＜N），則它下一步以概率p移動(dòng)到k+1，以概率q=1-p（p與q不相等）移動(dòng)到k-1；若點(diǎn)M當(dāng)前位于點(diǎn)0（或N），那么它就一直停留在點(diǎn)0（或N）。求點(diǎn)M從點(diǎn)k出發(fā)，最后游走到點(diǎn)0（或N）的概率。建構(gòu)數(shù)列模型解決概率問題的策略模式，一般都需要分類討論。點(diǎn)M從點(diǎn)k出發(fā)，最后游走到點(diǎn)0分兩種情形——“從點(diǎn)k到k+1，再?gòu)膋+1到0”和“從點(diǎn)k到k-1，再?gòu)膋-1到0”，根據(jù)兩種情形建立二階遞推數(shù)列模型，由此求解概率問題。

以“情境—問題”為載體，運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，將遞推思想融入概率問題，解題策略的關(guān)鍵是遞推關(guān)系的準(zhǔn)確建立。

3.規(guī)范學(xué)生思維路徑，建構(gòu)遞推數(shù)列模型

數(shù)列模型與概率統(tǒng)計(jì)的融合考查，解題關(guān)鍵是規(guī)范學(xué)生的思維路徑，同時(shí)不拘泥于思維定式，建構(gòu)遞推數(shù)列模型（獲得數(shù)列遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式）。比如，在引例的解答過程中，需引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用全概率公式進(jìn)行分析：對(duì)“第一次投籃”進(jìn)行分類討論，然后運(yùn)用從特殊到一般的思維方式，借鑒特殊情境的處理方式；對(duì)“第i-1次投籃”進(jìn)行分類討論，繼續(xù)運(yùn)用全概率公式及求和運(yùn)算的相關(guān)策略（與遞推數(shù)列結(jié)合）。學(xué)生在解決第一問（求第二次投籃的人是乙的概率）時(shí)，便需要規(guī)范思維路徑，得出P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1），接著思考“第i次投籃的人是甲的概率”時(shí)，便不難得出P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi）。學(xué)生有了思維路徑的規(guī)范過程，就不難想到構(gòu)造數(shù)列{pi+k}，設(shè)pi+1+k=0.4（pi+k），于是順利構(gòu)造出等比數(shù)列模型：pi-[13]=[16×25i-1]+[13]。

4.基于過程性評(píng)價(jià)，建立學(xué)習(xí)信念，指向概率思維的培養(yǎng)

當(dāng)然，引例解答過程也體現(xiàn)了概率學(xué)習(xí)的代數(shù)化進(jìn)程，這容易固化學(xué)生的思維路徑，形成思維定式（模仿解題策略，套用解題過程）。所以，在概率教學(xué)中，教師需要整合多方信息或知識(shí)，動(dòng)態(tài)調(diào)整思考路徑或策略，關(guān)注過程性評(píng)價(jià)，樹立學(xué)生的學(xué)習(xí)信念，指向概率思維的培養(yǎng)。比如，變換“情境—問題”的呈現(xiàn)方式，設(shè)置結(jié)構(gòu)特征不相似的情境，鍛煉學(xué)生的知識(shí)遷移能力，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。

再比如，選取概率中的經(jīng)典模型——波利亞“摸球”模型：甲口袋裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，乙口袋裝有5個(gè)白球，先從甲、乙口袋各任取1個(gè)球，互相交換，重復(fù)n次。記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn。該情境（模型）的難點(diǎn)在于每一次操作后甲、乙系統(tǒng)所處狀態(tài)的概率（pn，qn）依賴于前一次狀態(tài)的概率（pn-1，qn-1），然而系統(tǒng)前一次的狀態(tài)又有多種可能，所以需要以系統(tǒng)前一次狀態(tài)的概率（pn-1，qn-1）為基準(zhǔn)，建立其與系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)的概率（pn，qn）之間的轉(zhuǎn)移遞推關(guān)系。注意到甲乙兩個(gè)口袋中一共有2個(gè)黑球，于是有三種可能：甲口袋里有2個(gè)黑球；甲、乙兩個(gè)口袋里各有1個(gè)黑球；乙口袋里有2個(gè)黑球。可以得出（p1，q1）=[35，25]，然后繼續(xù)思考得出（p2，q2）=[53125，64125]，繼而得出[pn+1=35pn+425qnqn+1=725qn+25]（n≥2）。

這種模型的本質(zhì)是當(dāng)前狀態(tài)的概率與相鄰狀態(tài)的具體概率有關(guān)，這樣的隨機(jī)過程被稱為馬爾科夫過程。在解決問題的過程中，需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、推理論證、數(shù)學(xué)建模等思維活動(dòng)，參與問題解決，產(chǎn)生解決方法的認(rèn)知。［3］這樣的問題解決過程，需要教師實(shí)時(shí)肯定學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維，從而指向培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。在概率中的遞推數(shù)列教學(xué)中，若基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題情境，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)等活動(dòng)，外顯思維過程，可以訓(xùn)練學(xué)生的知識(shí)遷移能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

三、課例思考

舍費(fèi)爾德解題思想凸顯了概率認(rèn)知發(fā)展的層級(jí)性，也為學(xué)生概率思維的培養(yǎng)提供形成策略的支撐?；诖耍疚姆治鲆还?jié)公開展示課的教學(xué)過程，以期優(yōu)化概率教學(xué)，關(guān)注教學(xué)評(píng)一致性。

（一）基于教材情境變式，關(guān)注評(píng)價(jià)任務(wù)的關(guān)聯(lián)性

“概率中的遞推數(shù)列”是一節(jié)高三復(fù)習(xí)課，因此需要基于高三學(xué)生的復(fù)習(xí)進(jìn)程，回歸教材，基于教材情境變式，設(shè)計(jì)關(guān)聯(lián)的評(píng)價(jià)任務(wù)。

【情境引入】某學(xué)校有A、B兩家餐廳，王同學(xué)第一天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐。如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.6；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8。試計(jì)算王同學(xué)第二天去A餐廳用餐的概率。

教學(xué)中，以人教A版數(shù)學(xué)教材的一道原題為情境，以書本知識(shí)為切入點(diǎn)，規(guī)范學(xué)生的概率書寫，引導(dǎo)學(xué)生形成概率思維習(xí)慣：記事件Ai為“王同學(xué)第i天去A餐廳”，Bi為“王同學(xué)第i天去B餐廳”，于是P（A2）=P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）。這個(gè)情境是簡(jiǎn)單的，學(xué)生可能會(huì)覺得這樣的思考將問題復(fù)雜化了。教師此時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注規(guī)范書寫的必要性，因?yàn)閺母呖伎疾榈慕嵌瓤?，?yán)謹(jǐn)?shù)臅鴮懜軐?shí)現(xiàn)“會(huì)而得全分”。然后對(duì)情境進(jìn)行變式，并關(guān)注評(píng)價(jià)任務(wù)的關(guān)聯(lián)性。

【變式1】某學(xué)校有A、B兩家餐廳，王同學(xué)第一天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐。如果前一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.6；如果前一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8。試計(jì)算：（1）王同學(xué)第三天去A餐廳用餐的概率;（2）王同學(xué)第n天去A餐廳用餐的概率。

在教學(xué)中，教師追問“對(duì)于變式1的問題，有沒有必要從第一天開始算？”，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得出“只要找相鄰狀態(tài)的關(guān)系式即可”。對(duì)于變式1的問題（2），只需探尋P（An）與P（An-1）的關(guān)系式，即得出pn=0.6pn-1+0.8（1-pn-1），繼而構(gòu)造一階遞推數(shù)列pn+k=-0.2（pn-1+k），求出k，然后在此基礎(chǔ)上求出pn，即P（An）。

（二）教學(xué)策略助力，關(guān)注模型建構(gòu)的層級(jí)性

解決數(shù)列模型視角下的概率問題的關(guān)鍵是獲得數(shù)列的遞推關(guān)系：有的題干會(huì)給出數(shù)列的遞推關(guān)系，學(xué)生可以直接構(gòu)造等比數(shù)列來求通項(xiàng)；有的題干沒有給出數(shù)列的遞推關(guān)系，需要學(xué)生利用全概率公式來獲得數(shù)列的遞推關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列來求通項(xiàng)。不管哪一種情形，教師都需要運(yùn)用適合的教學(xué)策略，關(guān)注模型建構(gòu)的層級(jí)性。

【基礎(chǔ)性任務(wù)】（1）已知數(shù)列{an}中，a1=0.5，an=-0.5an-1+0.8（n＞1），求通項(xiàng)公式。

（2）已知數(shù)列{an}中，a1=0.5，a2=0.75，an=0.5an-1+0.5an-2（n＞2），求通項(xiàng)公式。

【變式2】去餐廳的路上有一段樓梯，樓梯共有101級(jí)（0，1，2，...，100）。王同學(xué)走到第n級(jí)時(shí)的概率為pn。王同學(xué)開始時(shí)在第0級(jí)（即p0=1），他每擲一次硬幣就向前走動(dòng)一次：若硬幣正面向上則他向前走動(dòng)一級(jí)，反面向上則向前走動(dòng)兩級(jí)。已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都為0.5。（1）求p1，p2，p3；（2）探尋pn與pn-1，pn-2的關(guān)系，并求pn。

課上，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)列遞推關(guān)系——an+1=pan+f（n）型和an=pan-1+qan-2型（見“基礎(chǔ)性任務(wù)”），然后引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建概率問題中的一階遞推an+1=pan+f（n），繼而引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建概率問題中的二階遞推an=pan-1+qan-2。該課例設(shè)置的問題層層遞進(jìn)，從“情境引入”到“變式1”，再到“變式2”。

（三）基于學(xué)習(xí)進(jìn)程，培養(yǎng)學(xué)生概率思維

概率學(xué)習(xí)進(jìn)程（即學(xué)習(xí)進(jìn)階）是學(xué)生在進(jìn)行概率學(xué)習(xí)時(shí)思維的發(fā)展過程，不同的學(xué)生可能會(huì)遵循不同的思維路徑。［11］比如，概率中遞推數(shù)列的教學(xué)中，學(xué)生基于概率知識(shí)抽象建構(gòu)出數(shù)列模型的過程，可能存在多個(gè)中間水平的思維發(fā)展路徑，所以教師需要錨定起點(diǎn)和終點(diǎn)，在過程中設(shè)計(jì)多個(gè)中間水平的問題，依靠適合的教學(xué)策略，讓大多數(shù)學(xué)生可以拾級(jí)而上，從而指向概率思維的培養(yǎng)。

概率中的遞推數(shù)列問題屬于概率與數(shù)列的融合，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和遷移的能力不同，學(xué)習(xí)效果也不同。因此，在教學(xué)中，教師需要提供恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)干預(yù)，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)。比如該課例中，教師設(shè)計(jì)“基礎(chǔ)性任務(wù)”（數(shù)列遞推關(guān)系的回顧）喚醒學(xué)生的認(rèn)知，再為學(xué)生創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)（變式2）。這樣的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生適應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)的逐漸深入，引導(dǎo)學(xué)生由已知到未知，逐漸理解知識(shí)學(xué)習(xí)的進(jìn)程，實(shí)現(xiàn)低階思維向高階思維的轉(zhuǎn)換，指向?qū)W生概率思維的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］李亞瓊，徐文彬，陳蒨，等. 情境視角下高考數(shù)學(xué)試題分析及教學(xué)啟示：以2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷為例［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023（6）：31-37.

［2］于健，郭建華. 利在構(gòu)造 功在思維：構(gòu)造二階遞推數(shù)列模型解決概率問題［J］. 數(shù)學(xué)之友，2023（22）：76-79，82.

［3］張長(zhǎng)貴，謝廣喜. 指向高階思維的一類概率背景遞推數(shù)列問題研究：從2023年新高考Ⅰ卷第21題談起［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2023（11）：68-72.

［4］李思聰. 概念教學(xué)中教師稚化思維的策略探討：以“三角函數(shù)的周期性”的教學(xué)為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（15）：10-11.

［5］劉劍華. 舍費(fèi)爾德解題策略的教學(xué)嘗試及其反思［J］. 語數(shù)外學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教育），2013（4）：122，123.

［6］鮑建生，徐斌艷. 數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引（二）［M］. 南京：江蘇教育出版社，2013：16.

［7］肖蘇麗. 基于舍費(fèi)爾德解題思想的高中數(shù)列問題求解教學(xué)策略研究［D］. 徐州：江蘇師范大學(xué)，2021：13.

［8］王悅. 高中數(shù)學(xué)教科書“概率與統(tǒng)計(jì)”問題情境設(shè)置的比較研究：以人教A版、北師大版和蘇教版為例［D］. 重慶：西南大學(xué)，2022：38.

［9］弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］. 陳昌平，唐瑞芬，等編譯. 上海：上海教育出版社，1995：74.

［10］李霞. 中學(xué)生對(duì)概率的錯(cuò)誤理解：HPM的視角［D］. 上海：華東師范大學(xué)，2018：4.

［11］曹江峰. 進(jìn)階性任務(wù)：指向兒童生長(zhǎng)的無限可能［J］. 教育科學(xué)論壇，2021（1）：14-18.

（責(zé)任編輯：潘安）