一道平面向量試題的多角度破解方法

摘要：涉及平面向量的數(shù)量積的最值（或取值范圍）問題，是高考命題中比較常見的一類熱點(diǎn)問題.結(jié)合一道平面向量數(shù)量積問題，根據(jù)題設(shè)的應(yīng)用情景創(chuàng)設(shè)，挖掘問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，合理選用與之相應(yīng)的思維技巧與策略方法來分析與處理，總結(jié)解題思維方法與技巧規(guī)律，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：平面向量；數(shù)量積；三角形；外接圓；最值

作為平面向量的基本知識之一，平面向量的數(shù)量積成為近年高考的一個(gè)基本考點(diǎn).特別是涉及數(shù)量積的最值（或范圍）問題，基于平面幾何，依托平面向量，融合函數(shù)與方程、三角函數(shù)、基本不等式等相關(guān)知識，成為該模塊知識中考查的重中之重，也是課堂教學(xué)與復(fù)習(xí)備考中的一個(gè)基本專題.

1 問題呈現(xiàn)

問題 已知△ABC的外接圓半徑為1，則AB·BC的最大值為______.

此題以三角形及其外接圓為問題場景，通過已知△ABC的外接圓為單位圓來創(chuàng)設(shè)，結(jié)合三角形的兩邊所對應(yīng)的兩平面向量的數(shù)量積的最值來設(shè)置.題目條件簡單明了，求解目標(biāo)明確簡捷.

該問題看似簡單，但實(shí)際操作與求解起來卻有一定的難度.根據(jù)試卷的實(shí)際應(yīng)用，以及學(xué)生做題情況，結(jié)合本題得分的統(tǒng)計(jì)信息可知，這道題的得分率極低，做對的學(xué)生寥寥無幾.

合理分析問題條件，巧妙挖掘內(nèi)涵與本質(zhì)，從平面向量的數(shù)量積求解視角切入，可以借助基底法、投影法、極化恒等式法以及三角函數(shù)法等來應(yīng)用，從不同層面加以突破與求解，實(shí)現(xiàn)問題的解決.

2 問題破解

2.1 基底思維

方法1：基底法1.

解析：依題意，由于AB·BC=（OB－OA）·BC=OB·BC－OA·BC=－12|BC|2－|BC|cos α≤－12|BC|2+|BC|，其中O為外圓圓心，α為OA與BC的夾角，當(dāng)且僅當(dāng)OA與BC的方向相反，即cos α=－1時(shí)等號成立，

3 變式拓展

變式 △ABC中，已知|BC|=1，|AB|=3，|AC|=6，P是△ABC的外接圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BP·BC的最大值為______.（2）

4 教學(xué)啟示

其實(shí)，解決平面向量數(shù)量積的最值（或范圍）及其綜合問題，從題設(shè)條件入手，合理尋覓并挖掘數(shù)量積的結(jié)構(gòu)特征與題設(shè)條件，從“數(shù)”的代數(shù)屬性或“形”的幾何直觀等視角切入與應(yīng)用，合理進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化.

特別在實(shí)際解題與應(yīng)用過程中，合理借助平面向量數(shù)量積的最值（或范圍）及其綜合問題的解題經(jīng)驗(yàn)的積累與技巧方法的應(yīng)用，選取行之有效的數(shù)學(xué)思維方法與對應(yīng)的技巧策略，實(shí)現(xiàn)數(shù)量積最值（或范圍）問題的求解，從而有效養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)解題能力，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新思維.