一類解三角形試題的多解探究

涉及三角形中三個內(nèi)角所對應(yīng)的三元三角函數(shù)關(guān)系式問題，巧妙將三角函數(shù)、解三角形、函數(shù)與方程、不等式、函數(shù)與導數(shù)等相關(guān)知識加以交匯與融合，實現(xiàn)數(shù)學知識之間的交匯與數(shù)學關(guān)鍵能力的融合，成為高考數(shù)學命題中比較常見的一類熱點與難點.此類問題可以從三角函數(shù)的視角切入，也可以從函數(shù)與方程的視角切入，多視角變式拓展，是一類全面考查“四基”與“四能”的重要載體.

1 問題呈現(xiàn)

問題 （湖北省武漢市2024屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研考試數(shù)學試卷）設(shè)A，B，C是一個三角形的三個內(nèi)角，則cos A（3sin B+4sin C）最小值為______.

此題是一道以三角形為問題場景，求解三元三角函數(shù)的最小值，是一道數(shù)學能力與創(chuàng)新立意的綜合問題，有效考查考數(shù)學思想和方法，分析問題和解決問題的能力等.

涉及三元三角函數(shù)問題，關(guān)鍵在于逐一轉(zhuǎn)化，由三元化二元，再由二元化一元，其主要策略就是基于主元法來合理消元處理，最后轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的一元函數(shù)，借助三元均值不等式、函數(shù)與導數(shù)的應(yīng)用等思維來處理.而利用主元法消元處理時，可以通過輔助角公式來轉(zhuǎn)化，也可以利用重要不等式來放縮轉(zhuǎn)化.思維角度不同，可以很好開拓數(shù)學思維與技巧方法.

4 變式拓展

變式 （2024年山西省部分學校高考數(shù)學模擬試卷）銳角三角形ABC的內(nèi)角A的對邊為a，若△ABC的面積是a2，則sin Acos Bcos C的最小值是______.

解析：依題意及三角形的面積公式，可得S△ABC=12bcsin A=a2，整理有bcsin A=2a2.

利用三角形的“第二射影定理”有a=bcos C+ccos B，結(jié)合題設(shè)條件中△ABC是銳角三角形，則有bcos C>0，ccos B>0.結(jié)合基本不等式，可得sin Acos Bcos C=bcsin Abccos Bcos C=2a2（bcos C）（ccos B）≥2a2bcos C+ccos B22=2a2a22=8，當且僅當bcos C=ccos B，即B=C時，等號成立.

故sin Acos Bcos C的最小值是8.

5 解題啟示

涉及解決此類三角形中三內(nèi)角所對應(yīng)的三元三角函數(shù)關(guān)系式的問題時，合理挖掘三元三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，抓住三角形的應(yīng)用場景，合理借助三角形的內(nèi)角和定理、三角函數(shù)中的三角恒等變換公式等，基于主元法思維來合理消元.

而借助解三角形中相關(guān)問題的應(yīng)用，根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系式及其相應(yīng)的結(jié)論特征，或直接轉(zhuǎn)化，或合理配湊，將相關(guān)的知識巧妙地滲透與融合進去，合理優(yōu)化解題過程，有效簡化數(shù)學運算過程，提升數(shù)學解題效益，真正起到事半功倍的神奇效果，值得深入推廣與拓展應(yīng)用.