構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘要：構(gòu)造法作為高中解題教學(xué)極其重要的思想方法，可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、具體化.應(yīng)用構(gòu)造法不但可以提升解題的速度與正確率，還可以透過問題本身把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).本文中基于數(shù)學(xué)高考題的解題困境，通過借助構(gòu)造法應(yīng)用的解題思路探究，給出一些見解.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中規(guī)定：“通過高中階段的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)及未來發(fā)展所需的四基知識(shí)、四基技能，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看待世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)言語表達(dá)世界.”［1］新課標(biāo)旨在將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力作為目標(biāo)，構(gòu)造法是常用的解題方法，在函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)等教學(xué)板塊中

的題目都可能會(huì)涉及到構(gòu)造法的運(yùn)用，用好構(gòu)造法可以提升解題能力.

1 構(gòu)造法基本內(nèi)涵

所謂構(gòu)造法就是在解決數(shù)學(xué)題目時(shí)，打破常規(guī)思維，結(jié)合題目給定信息，從新的視角出發(fā)，挖掘相關(guān)信息，簡(jiǎn)化解題過程，降低問題難度.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，當(dāng)常規(guī)思維對(duì)問題的解決造成困擾時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造法解題，通過搭建相關(guān)信息的“橋梁”，構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象，使問題得到順利解決.構(gòu)造法的解題步驟：首先，審題，找出題目的研究問題.其次，尋找與研究問題密切相關(guān)的概念.再次，將相關(guān)概念與研究問題相融合，探索該知識(shí)點(diǎn)的適用形式.從次，結(jié)合適用形式與相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造新的解題思路.最后，將問題解決.

構(gòu)造法的解題步驟：首先是分析題目，找出題目中所涉及的問題是什么.其次，帶著題目中的疑問尋找與其密切相關(guān)的數(shù)學(xué)概念以及定理，去除無關(guān)變量，抓住中心點(diǎn).然后，應(yīng)用相關(guān)概念，找到構(gòu)造這個(gè)知識(shí)點(diǎn)所必備的橋梁.通過所構(gòu)造的形式融合相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)問題進(jìn)行細(xì)致探究，最后使問題得以解決.

2 構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的地位是無可取代的，同時(shí)也是近年來高考數(shù)學(xué)必考的一種方法.許多數(shù)學(xué)問題的解決都需要借助構(gòu)造各種形式的橋梁來完成，由此來看，有些問題的解決依賴構(gòu)造法的使用，而構(gòu)造法依賴構(gòu)造思路的萌生.簡(jiǎn)言之，構(gòu)造法的本質(zhì)在于構(gòu)造思路.如何更高效地利用數(shù)學(xué)構(gòu)造法？這是本文需要探究的部分，下面結(jié)合高考數(shù)學(xué)中構(gòu)造法的具體教學(xué)實(shí)例，并依據(jù)新課標(biāo)規(guī)定的板塊，從幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)構(gòu)造法進(jìn)行重點(diǎn)闡述.

2.1 函數(shù)構(gòu)造法

函數(shù)可以說是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)，任何數(shù)學(xué)知識(shí)都可以與函數(shù)相結(jié)合.通過構(gòu)造函數(shù)的方法解決未知問題，可以將復(fù)雜變量問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單變量，化繁為簡(jiǎn).許多數(shù)學(xué)問題雖然表面上與函數(shù)并無直接關(guān)聯(lián)，但通過深層次分析題目中的信息，可以構(gòu)造與問題相關(guān)的函數(shù)，進(jìn)而將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.函數(shù)構(gòu)造法作為解題的輔助工具，通過運(yùn)用函數(shù)的各種性質(zhì)，解決數(shù)學(xué)問題［2］.

例1 （2023年新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sin B.

（1）求sin A；

（2）設(shè)AB=5，求AB邊上的高.

分析：基于題目可以看到，這是一道三角函數(shù)綜合題，題中有正弦函數(shù)等量關(guān)系式，以及角度與邊長(zhǎng)的關(guān)系式，對(duì)此很多學(xué)生毫無頭緒，但是通過審題發(fā)現(xiàn)可以借助兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦函數(shù)定義進(jìn)行解答.教師在講授這類問題時(shí)，可以帶領(lǐng)學(xué)生先審題分析題目的等量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生自主書寫解答過程，使其逐漸領(lǐng)悟題目的本質(zhì)，在利用函數(shù)構(gòu)造法解題時(shí)掌握解決問題的策略，使其融會(huì)貫通.

對(duì)于第（1）問，我們首先可以將題干中的條件A+B=3C進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造平角的形式得到了A+B+C=4C，由三角形內(nèi)角和為π，得4C=π，于是得到角C為π4，代入原式整理得B=3π4－A，通過兩角和與差的公式得2sinA－π4=sin3π4－A，進(jìn)而整理得cos A=13sin A.根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系式sin2A+cos2A=1，結(jié)合三角形三個(gè)內(nèi)角的正弦值為正值，最終得到sin A的值為31010.

對(duì)于第（2）問，首先可以設(shè)AB邊上的高為h，將已知條件借助正弦函數(shù)公式進(jìn)行擴(kuò)展，再借助三角形面積公式建立等量關(guān)系，最后化簡(jiǎn)整理便可得出.根據(jù)題干以及第（1）問的解答，利用正弦定理可得asin A=csin C.因?yàn)锳B的長(zhǎng)度為5，所以求得a為35.根據(jù)sin B=sin（A+C），得sin B的值為255.最后利用三角形的面積公式得12acsin B=12ch，求得AB邊上的高為6.

從上述解答過程可以感受到構(gòu)造法思想使問題由復(fù)雜變?yōu)橹庇^，由繁變?yōu)楹?jiǎn)，有助于解三角形綜合問題.因此，在教學(xué)過程中不應(yīng)直接向?qū)W生展示問題的解決方案，而應(yīng)激發(fā)學(xué)生的思維，幫助學(xué)生理解其中所包含的數(shù)學(xué)思想，以便能夠舉一反三、觸類旁通.

2.2 幾何構(gòu)造法

立體幾何知識(shí)始終是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生空間想象能力的要求比較高.因此，在學(xué)習(xí)時(shí)既要熟練掌握相關(guān)理論知識(shí)，又要注重培養(yǎng)立體感［3］.

例2 （2019年全國(guó)卷Ⅰ數(shù)學(xué)）如圖1，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別BC，BB1，A1D的中點(diǎn).

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.

分析：這是一道典型的幾何解答題，根據(jù)已知條件，可以通過對(duì)題干中的長(zhǎng)度與角度分析構(gòu)造某些等長(zhǎng)關(guān)系以及多邊形，從而有效解決已知條件與初始變量之間的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的提高.

對(duì)于第（1）問，要證線面平行可先證線線平行，關(guān)鍵是找到解決問題的鑰匙，在這里筆者找到MN這條邊，如果能夠找到MN與三角形C1DE的一邊平行，此問題即可得證.于是連接ME，B1C，根據(jù)中位線定理，得ME∥B1C，ME=12B1C.又由于ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，且底邊為菱形，因此A1B1∥DC，A1B1=DC，由此推出四邊形A1B1CD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得A1D∥B1C，A1D=B1C.因?yàn)镹是A1D的中點(diǎn)，所以ND∥B1C，ND=12B1C.又因?yàn)镸E∥B1C，ME=12B1C，得ND∥ME，MN=DE，推出四邊形NDEM是平行四邊，證出MN∥DE.又DE平面C1DE，所以得證MN∥平面C1DE.

對(duì)于第（2）問，觀察這個(gè)直棱柱不難發(fā)現(xiàn)三棱錐C-C1DE的體積與三棱錐C1-CDE的體積相同.如果借助這個(gè)條件，設(shè)點(diǎn)C到平面C1DE的距離設(shè)為h，利用體積相等便能求出h.由于A1A=4，AB=2，因此C1C=4，CE=1，CD=2.在Rt△C1CD中，C1D=25；在Rt△C1CE中，C1E=17.根據(jù)C1D=2，CE=1這兩個(gè)條件，得DE=3，所以△C1DE是直角三角形，則利用三棱錐C-C1DE體積公式，最終得到h=41717.

由上述這道幾何高考題，可以深刻感受到抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)可以形象地轉(zhuǎn)為直觀的數(shù)學(xué)問題，使問題變得更加立體，借助構(gòu)造“輔助線”“直角三角形”這些特殊的例證，可以使問題與條件之間搭建起一座“橋梁”.

2.3 代數(shù)構(gòu)造法

方程作為代數(shù)板塊的重要內(nèi)容，利用構(gòu)造方程的思想來解決反映方程基本性質(zhì)的問題，解決問題的步驟是將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，根據(jù)等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，問題即可得以解決.

例3 （2023年新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)）設(shè)橢圓C1：x2a2+y2=1（a＞1），C2：x24+y2=1的離心率為e1，e2，若e2=3e1，求a的值.

分析：這是一道橢圓方程的求值題，在講解時(shí)，可以帶領(lǐng)學(xué)生分析題目中關(guān)于離心率的關(guān)系式，通過求出已知離心率，逐步得到未知離心率，達(dá)到求出a值的目的，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力素養(yǎng)的提高.

由于橢圓C2的方程是題目已給定的，因此可以得到C2的離心率e2的值為32.又e2=3e1，則e1為12，所以對(duì)于橢圓C1可得a2－1a2=14，解之得到a的值為233.

代數(shù)在高中數(shù)學(xué)中扮演著重要的角色，在算術(shù)運(yùn)算、公式推導(dǎo)、方程求解、函數(shù)研究等活動(dòng)中，不僅可以通過對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的變量關(guān)系和變化規(guī)律的探索，促進(jìn)學(xué)生的探索和發(fā)現(xiàn)，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐技能.

2.4 概率與統(tǒng)計(jì)構(gòu)造法

高中數(shù)學(xué)無論必修還是選修均涵蓋概率的內(nèi)容.同時(shí)概率常常與排列組合融合在一起，數(shù)學(xué)味比較濃、技巧性也非常強(qiáng)，解題時(shí)有些學(xué)生可能會(huì)被弄得暈頭轉(zhuǎn)向［4］.

例4 （2022年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

分析：這是一道概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題，根據(jù)題干，分開計(jì)算甲、乙兩學(xué)校得分，通過采用分情況構(gòu)造的方法，將復(fù)雜問題分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單問題求解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提高.

對(duì)于第（1）問，由于比賽有三場(chǎng)，如想甲學(xué)校獲得冠軍，則甲學(xué)校至少需要獲得兩場(chǎng)勝利，共分為四種情況.情況一，甲學(xué)校三場(chǎng)比賽全部獲勝，此時(shí)甲學(xué)校獲得勝概率為P=0.16.情況二，甲學(xué)校獲得第1，2場(chǎng)的勝利，此時(shí)甲學(xué)校獲勝概率為P=0.04.情況三，甲獲得第1，3場(chǎng)的勝利，此時(shí)甲學(xué)校獲勝概率為P=0.24.情況四，甲獲得第2，3場(chǎng)的勝利，則此時(shí)甲獲得勝概率：P=0.16.將以上四種情況的概率相加即可得出甲獲得冠軍的概率為P=0.6.

對(duì)于第（2）問，根據(jù)甲獲勝的概率，可以推出乙在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.6，0.2.乙學(xué)校的總得分總共有四種情況，分別是0分、10分、20分、30分.乙獲得0分說明三場(chǎng)比賽都輸了，此時(shí)乙獲得0分的概率為P=0.16.乙獲得10分說明乙只贏了一場(chǎng)，此時(shí)總共有三種情況，分別是只贏第一場(chǎng)、只贏第二場(chǎng)、只贏第三場(chǎng)，此時(shí)乙獲得10分的概率為P=0.44.乙獲得20分說明乙獲得了兩場(chǎng)比賽，分別是獲得第1，2場(chǎng)的勝利，獲得第2，3場(chǎng)的勝利，獲得第1，3場(chǎng)的勝利這三種情況，由上述概率情況可得出乙獲得20分的概率為P=0.34.乙獲得30分說明乙三場(chǎng)比賽都獲勝，此時(shí)乙的獲得30分的概率為P=0.06.

于是X的分布列如表1所示：

3 構(gòu)造法的培養(yǎng)目標(biāo)

構(gòu)造法主要是在訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維、創(chuàng)新能力和思維敏捷性的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生利用實(shí)際問題的特點(diǎn)拓展思路.構(gòu)造法通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)新，運(yùn)用函數(shù)、幾何學(xué)、概率等科學(xué)方法加以構(gòu)建，使實(shí)際問題可視化，從而實(shí)現(xiàn)難題的化解.

3.1 加強(qiáng)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)題處處嚴(yán)謹(jǐn)、對(duì)稱，充滿數(shù)學(xué)之美，這些美的特征也需要構(gòu)造，它體現(xiàn)在解題教學(xué)中，解題時(shí)需要從已知的數(shù)據(jù)和公式進(jìn)行推導(dǎo)，對(duì)于高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)亦有很大效果.因此，為了加強(qiáng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性，需要提高學(xué)生的推理能力，通過逐步推演，從“怎樣運(yùn)算”到“為什么這樣運(yùn)算”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)算理有清晰的認(rèn)識(shí)，使其嚴(yán)謹(jǐn)性得到提高.

3.2 提高構(gòu)造法的應(yīng)用意識(shí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要不斷地將數(shù)學(xué)構(gòu)造法滲透給學(xué)生，實(shí)現(xiàn)已有知識(shí)與構(gòu)造知識(shí)的聯(lián)結(jié)，使其達(dá)到知識(shí)的內(nèi)化，并通過對(duì)高中數(shù)學(xué)題目的不斷訓(xùn)練，極大地促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的提升.

測(cè)驗(yàn)對(duì)了解學(xué)生的知識(shí)掌握情況十分重要，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn).因此，進(jìn)行小節(jié)測(cè)驗(yàn)與章節(jié)測(cè)驗(yàn)是十分有必要的，教師根據(jù)教學(xué)計(jì)劃與課程標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，這樣能隨時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.測(cè)試不僅可以幫助學(xué)生形成自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，還可以幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的做題習(xí)慣.因此，教學(xué)中應(yīng)該增加對(duì)數(shù)學(xué)構(gòu)造法的檢驗(yàn).

3.3 加強(qiáng)構(gòu)造法的方法探索

俗話說要敢于打破常規(guī)、敢于變革創(chuàng)新，要與時(shí)俱進(jìn).對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)我們也該如此，不斷探索適合中學(xué)數(shù)學(xué)構(gòu)造法的教學(xué)方法，堅(jiān)持“以人為本”，根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有基礎(chǔ)，尋找適合學(xué)生身心發(fā)展的方法，開闊學(xué)生的思維，深化學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的認(rèn)識(shí).

參考文獻(xiàn)：

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［2］李娟.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2017（8）：81.

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［4］湯濤.現(xiàn)代社會(huì)離不開統(tǒng)計(jì)與概率［J］.科學(xué)世界，2020（1）：2.

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