指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學作業(yè)分層指標體系研究

摘要：本文旨在優(yōu)化數(shù)學分層作業(yè)設(shè)計研究中作業(yè)分層依據(jù)，注重學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.采用德爾菲法確定作業(yè)分層指標體系為數(shù)學核心素養(yǎng)、問題情境、知識含量、推理能力、運算水平、閱讀量等6大因素，并確定18項二級指標.利用層次分析法獲得各級指標的權(quán)重，構(gòu)建作業(yè)分層指標體系，為高中數(shù)學教師進行分層作業(yè)設(shè)計提供作業(yè)分層的參考依據(jù).

關(guān)鍵詞：數(shù)學核心素養(yǎng)；作業(yè)分層；綜合難度系數(shù)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出，數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的［1］.培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)是高中數(shù)學教學的基本要求，要深入到教學的各個環(huán)節(jié).武麗莎等［2］教授表明，數(shù)學核心素養(yǎng)生成的本源是數(shù)學知識，本旨是問題解決，本質(zhì)是數(shù)學思維.課堂教學是數(shù)學知識生成的主要環(huán)節(jié)，作業(yè)是數(shù)學問題解決和數(shù)學思維發(fā)展的主要環(huán)節(jié).因此，如何將數(shù)學核心素養(yǎng)融入作業(yè)設(shè)計是一個重要的研究問題.而分層作業(yè)設(shè)計基于因材施教原則，從學生實際情況出發(fā)，促進學生的個性化發(fā)展.到目前為止，有許多學者對數(shù)學分層作業(yè)設(shè)計進行研究和實踐，但研究中的重點作業(yè)分層還有待優(yōu)化.基于此，本文探究在指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學分層作業(yè)設(shè)計中如何進行作業(yè)分層.

1 作業(yè)分層指標選取

指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學分層作業(yè)設(shè)計中作業(yè)分層需要綜合考慮數(shù)學核心素養(yǎng)和影響數(shù)學作業(yè)難度的因素.喻平［3］教授根據(jù)布盧姆模型、PISA模型和SOLO模型，將數(shù)學核心素養(yǎng)分成知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三種水平.所以，本文中將數(shù)學核心素養(yǎng)作為作業(yè)分層的其中一個一級指標，并將知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新作為其二級指標.

關(guān)于影響作業(yè)難度的因素，鮑建生［4］教授根據(jù)Nahara的總體難度概念提出了綜合難度系數(shù)模型，認為影響數(shù)學題難度的主要因素有探究、背景、運算、推理和知識含量；盧建川、武小鵬、薛歡等提出影響數(shù)學試題難度的還有數(shù)學認知、是否含參、思維方向、條件含量和閱讀量等因素.由文獻分析可知，背景、知識含量、推理、運算和閱讀量等是影響數(shù)學作業(yè)難度的主要因素.

背景實際上是數(shù)學核心素養(yǎng)中的情境，主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境［1］.因此，本文中將問題情境納入作業(yè)分層的一級指標，并將數(shù)學情境、現(xiàn)實情境和科學情境作為其二級指標.

對于知識含量，在核心素養(yǎng)的研究中，喻平［5］提出學習的結(jié)果是形成個體知識，個體知識是學科關(guān)鍵能力生成的基礎(chǔ).不同的知識對應不同的數(shù)學核心素養(yǎng)，在一個知識的學習中無法發(fā)展六種數(shù)學核心素養(yǎng)，而知識的綜合應用體現(xiàn)著核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展.本文中將知識含量納入作業(yè)分層的一級指標，并將單個知識、兩個知識和多個知識作為其二級指標.

周雪兵［6］提出邏輯推理是得到數(shù)學結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學體系的重要方式，是人們在數(shù)學活動中進行交流的基本思維品質(zhì).史寧中教授將“數(shù)學的思維”歸結(jié)為邏輯推理和數(shù)學運算.邏輯推理是從一些前提或事實出發(fā)，依據(jù)一定規(guī)則得到或驗證命題的思維過程［7］.邏輯推理形成了數(shù)學的嚴謹性這一基本特征.本文中將推理能力納入作業(yè)分層的一級指標，并將簡單推理和復雜推理作為其二級指標.

作業(yè)難度因素中的運算，史寧中表明數(shù)學運算屬于邏輯推理，但數(shù)學運算非常重要，因此將其作為核心素養(yǎng)的一個要素提出.本文中將運算水平納入作業(yè)分層的一級指標，并將簡單數(shù)值運算、復雜數(shù)值運算、簡單符號運算和復雜符號運算作為其二級指標.

閱讀量強調(diào)學生閱讀能力，由于數(shù)學符號語言的抽象性特點，學生在數(shù)學閱讀中需要進行思維轉(zhuǎn)換，從而使客觀知識轉(zhuǎn)化為個人知識.王旭勤［8］提出閱讀能力能夠提高學生自主學習和探究能力，逐步發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng).本文中將閱讀量納入作業(yè)分層的一級指標，并將閱讀量的少量、中等和大量作為其二級指標.

2 作業(yè)分層指標確定

根據(jù)上述分析，初步設(shè)定指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學作業(yè)分層一級指標為數(shù)學核心素養(yǎng)、問題情境、知識含量、推理能力、運算水平和閱讀量6項，以及相應的18項二級指標.

本文中采用德爾菲法，選取高校相關(guān)研究領(lǐng)域?qū)＜?名，資深高中數(shù)學教師8名，總共15名，展開問卷調(diào)查.根據(jù)問卷數(shù)據(jù)，計算每一項指標的均值、標準差和變異系數(shù)，根據(jù)專家提出的修改意見，對指標進行進一步檢驗和修改，最后確定作業(yè)分層指標體系，具體如表1所示.

3 作業(yè)分層指標權(quán)重

指標體系中各項指標的權(quán)重，反映其在指標體系中的地位、作用和重要程度.在上述確定的作業(yè)分層指標體系的基礎(chǔ)上，借助層次分析法獲取作業(yè)分層指標體系中各項指標的權(quán)重.具體步驟如下：

（1）建立指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學作業(yè)分層指標體系遞階層次結(jié)構(gòu)模型，設(shè)定目標層為指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學作業(yè)分層，準則層為6項一級指標，方案層為18項二級指標.

（2）采用9點法，設(shè)置指標評分標度，專家根據(jù)指標重要程度標度值對指標進行打分，取15位專家評分均值作為指標評分值，構(gòu)建兩兩比較判斷矩陣.

（3）將判斷矩陣進行層次歸一化，計算各判斷矩陣的權(quán)重向量.

①判斷矩陣每一列歸一化：bij=aij∑ni=1aij，其中aij表示判斷矩陣的第i行，第j列的值；

②歸一化后的矩陣按行求和：Vi=∑nj=1bij，其中bij表示判斷矩陣第i行，第j列歸一化后所得值；

③求和后的矩陣歸一化，得到權(quán)重向量：Wi=Vi∑ni=1Vi，其中Vi表示歸一化的矩陣第i行求和后的值，Wi表示權(quán)重向量第i行的值.

（4）計算出各指標權(quán)重向量值后，對歸一化的矩陣進行一致性檢驗.

①計算矩陣特征根λmax，λmax=∑ni=1（AW）inWi，其中n是指標數(shù)，A是判斷矩陣，W是權(quán)重向量，（AW）i是向量AW第i個元素.

②計算隨機一致性比值CR，CI=λmax－nn－1，CR=CIRI，n是指標數(shù)，λmax是矩陣特征根.根據(jù)隨機一致性比例系數(shù)取值參考表，對所有一級指標和二級指標矩陣進行檢驗，若得到構(gòu)建的指標權(quán)重矩陣CR<0.1，則說明具有一致性，指標權(quán)重可用.

最后得到作業(yè)分層指標體系中各一級指標和二級指標的權(quán)重值，具體如表2所示.

對于給定的一道作業(yè)題，利用本表即可查得該題的難度系數(shù)，具體計算公式如下：本題的難度系數(shù)等于各一級指標對應本題某個二級指標的組合權(quán)重之和.

4 案例分析

根據(jù)上述確定的作業(yè)分層指標體系表2及計算公式，教師或教研組對數(shù)學課后作業(yè)進行分題型分層設(shè)計，根據(jù)學生實際情況，設(shè)定層次綜合難度.下面以2019人教A版高中數(shù)學教材必修一第4章“函數(shù)模型的應用”的習題中指數(shù)函數(shù)模型的應用題為例，具體說明指標體系的使用方法.

例 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表3所示：

根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性平均體重y （單位：kg）與身高x （單位：cm）的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式.

分析：根據(jù)表格數(shù)據(jù)畫出散點圖，建立函數(shù)模型y=a·bx近似刻畫平均體重y與身高x的函數(shù)關(guān)系，用待定系數(shù)法求解a，b，最后檢驗擬合程度.本題屬于數(shù)學建模核心素養(yǎng)知識遷移水平，組合權(quán)重為0.088；問題情境為現(xiàn)實情境，組合權(quán)重為0.046；知識含量為單個知識，組合權(quán)重為0.025；推理能力為復雜推理，組合權(quán)重為0.103；運算水平為簡單符號運算，組合權(quán)重為0.043；閱讀量中等，組合權(quán)重為0.025.對各指標組合權(quán)重進行求和，得到綜合難度為0.33.

5 結(jié)語

通過本文所構(gòu)建的指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學作業(yè)分層指標體系，教師能夠明確數(shù)學題目的難度系數(shù)，使得分層作業(yè)設(shè)計中作業(yè)分層更加嚴謹、客觀.同時，學生可以根據(jù)此指標體系精準分析自己的錯題，清楚自己學習中的不足，從而在后續(xù)的作業(yè)中選擇更加適合自身發(fā)展的作業(yè)，提高學習效率.

武小鵬等教授將綜合難度系數(shù)模型應用于分析和評價高考數(shù)學試卷，而本文基于數(shù)學核心素養(yǎng)和綜合難度系數(shù)模型構(gòu)建了指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學作業(yè)分層指標體系，也可為教師編制學生階段性學習測試卷、高考預測卷等提供編寫依據(jù)，落實學生發(fā)展為本、立德樹人、提升素養(yǎng)的教育理念.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

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