線上線下深度融合的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課探究

摘要：“O2O”教學(xué)模式可以拓展教學(xué)的時(shí)間和空間，豐富教學(xué)資源，推進(jìn)個(gè)性化教學(xué)的發(fā)展.

針對(duì)線上線下深度融合的高三復(fù)習(xí)課探究，

教師結(jié)合藝術(shù)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，根據(jù)“O2O”教學(xué)模式的基礎(chǔ)理論，將該模式融入高三一輪復(fù)習(xí)中，探索適合學(xué)生的線上線下深度融合教學(xué)路徑.

關(guān)鍵詞：線上線下；深度融合；“O2O”教學(xué)模式；高三

1 “O2O”教學(xué)模式概述

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合，優(yōu)化課堂教學(xué)，提高教學(xué)實(shí)效性，引導(dǎo)學(xué)生自主獲取資源，轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)方式［1］.近年來(lái)，藝術(shù)生已成為高中生中的重要群體.由于藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍薄弱，同一個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)兩極分化大，尤其在高三備考時(shí)期，容量大課時(shí)少，數(shù)學(xué)課上好學(xué)生吃不飽，薄弱生難跟上.基于此，廣州市教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目“‘O2O’教學(xué)模式在藝術(shù)生數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐研究”課題組從學(xué)情出發(fā)，緊扣高三一輪復(fù)習(xí)課的“課前、課中、課后”三個(gè)重要節(jié)點(diǎn)，選取重要主題內(nèi)容進(jìn)行線上線下深度融合的教學(xué)實(shí)踐與研究，經(jīng)過(guò)兩年努力，探索出“O2O”教學(xué)模式（Onlineto Offline即線上線下教學(xué)模式，以下簡(jiǎn)稱“O2O”），它是將“線上教學(xué)”與“線下教學(xué)”兩部分優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)思維解決教育問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)與課堂教學(xué)相結(jié)合，體現(xiàn)人機(jī)交互、師生交互和生生交互的教學(xué)模式［2］，其實(shí)施流程如圖1所示.

“O2O”由三個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成：

第一環(huán)節(jié)，課前線上自學(xué).教師利用晚修在班級(jí)群布置課前線上任務(wù).任務(wù)分兩類：一類是基礎(chǔ)知識(shí)回顧，教師針對(duì)薄弱生發(fā)布資源，學(xué)生通過(guò)資源觀看學(xué)習(xí)，回顧相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)；另一類是布置課前梯度任務(wù)單，教師發(fā)布調(diào)查問(wèn)卷，學(xué)生在回顧知識(shí)后嘗試完成，以便了解學(xué)情，更好地把握課堂的深度與廣度.

第二環(huán)節(jié)，課中線下教學(xué).課堂永遠(yuǎn)是教學(xué)的主陣地.課堂教學(xué)是突破重難點(diǎn)、解決自學(xué)疑惑的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，更是學(xué)生認(rèn)同并積極投入該模式學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).教學(xué)中，先反饋線上自學(xué)情況，然后針對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)，通過(guò)師生活動(dòng)，完成課堂任務(wù)，及時(shí)小結(jié)反思，布置分層作業(yè)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，高效備考.

第三環(huán)節(jié)，課后線上鞏固.根據(jù)線下課堂教學(xué)的情況，教師利用晚修或周末給學(xué)生推送微課.微課分兩類：一類是基礎(chǔ)型，主要回顧課堂的例題；另一類是提高型，是對(duì)課堂的拓展.學(xué)生在完成分層作業(yè)時(shí)，可根據(jù)自身情況選擇并反復(fù)觀看，到達(dá)及時(shí)鞏固、強(qiáng)化的效果.

2 高三復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

為確保研究的真實(shí)性、學(xué)術(shù)性、典型性，筆者以人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)（以下簡(jiǎn)稱“教材”）“直線與平面垂直”復(fù)習(xí)課為例，呈現(xiàn)所任教高三年級(jí)的一次“O2O”模式下的一輪復(fù)習(xí)課及啟示.

2.1 教學(xué)分析

（1）單元框架下垂直關(guān)系的內(nèi)容分析

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是考查空間想象能力的重要載體.通過(guò)呈現(xiàn)常見(jiàn)的平面基本模型和空間幾何模型，充分挖掘其結(jié)構(gòu)特征以及位置關(guān)系與度量關(guān)系，是高考考查的重點(diǎn).由于空間幾何體的元素較多，聯(lián)系較緊密，因此對(duì)線面垂直的考查，往往會(huì)涉及到其他平行或者垂直定理的滲透與綜合，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.因此，立體幾何的學(xué)習(xí)要突出和抓好對(duì)線面垂直的學(xué)習(xí)，這樣才能更好地把握整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu).如下圖2反映了垂直與方方面面的聯(lián)系.

（2）藝術(shù)生學(xué)情分析

藝術(shù)生的高三文化課一輪復(fù)習(xí)往往與藝考備考同步進(jìn)行，這段時(shí)期學(xué)生對(duì)大部分的基礎(chǔ)知識(shí)印象不深，尤其基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，需反復(fù)學(xué)習(xí)才可喚醒記憶，而基礎(chǔ)較好的學(xué)生，喚醒后只能完成一些簡(jiǎn)單任務(wù).總體來(lái)說(shuō)，備考時(shí)間往往不足.本課前學(xué)生已回顧“平行關(guān)系單元”，本課作為“垂直關(guān)系單元”的第一課時(shí)，內(nèi)容重要，應(yīng)由淺至深，由易到難，多設(shè)置思維引導(dǎo)點(diǎn)，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)引領(lǐng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，注重前后知識(shí)的聯(lián)系，完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

（3）教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本單元的描述，確定本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)如下：（1）掌握直線與平面垂直的定義和判定定理，滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想；（2）能從模型特征的視角充分挖掘幾何體中平面基本圖形的性質(zhì)以及度量關(guān)系，建立垂直關(guān)系，滲透平面化等轉(zhuǎn)化與化歸思想和強(qiáng)化模型意識(shí).

（4）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

本課重點(diǎn)為歸納岀空間中垂直關(guān)系判定的核心及突破空間中垂直關(guān)系判定的核心問(wèn)題，逐步形成解決問(wèn)題的核心方法.難點(diǎn)為證明線面垂直要點(diǎn)的把握與提煉、核心經(jīng)驗(yàn)的形成及在復(fù)雜問(wèn)題中的應(yīng)用.

2.2 教學(xué)過(guò)程

2.2.1 課前線上自學(xué)，師生資源交互

教師通過(guò)班級(jí)群，從國(guó)家中小學(xué)智慧教育平臺(tái)、廣州電視課堂、各大教育教學(xué)類網(wǎng)站及本課題組組建的校本資源庫(kù)等，遴選合適的學(xué)習(xí)資源推送給學(xué)生，并下發(fā)學(xué)習(xí)任務(wù)單，供學(xué)生自主學(xué)習(xí).

任務(wù)1：通過(guò)資源觀看，回顧直線與平面垂直的判定定理.

任務(wù)2：請(qǐng)分別用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，寫(xiě)出線面垂直的定義.

任務(wù)3：請(qǐng)分別用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，寫(xiě)出直線與平面垂直的判定定理.

任務(wù)4：運(yùn)用直線與平面垂直判定定理的關(guān)鍵是什么？

任務(wù)5：〔教材第162頁(yè)習(xí)題8.6第（2）題〕設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的（ ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)框架，喚醒沉睡經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)從模糊變得清晰莫定基礎(chǔ).

任務(wù)6：已知四面體PABC中可能有①PA⊥AB，②PA⊥AC，③△ABC為某圓內(nèi)接三角形且AB為直徑，④PA⊥平面ABC，⑤BC⊥平面PAC.如圖3，請(qǐng)以上述的一個(gè)或多個(gè)作為條件，一個(gè)作為結(jié)論，直接體現(xiàn)線面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理，并用語(yǔ)言表達(dá)該內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)放性的問(wèn)題情境設(shè)置，既可暴露學(xué)生思維的深度與存在的問(wèn)題，又可讓學(xué)生構(gòu)建“線線垂直”與“線面垂直”關(guān)系的一維知識(shí)體系.

任務(wù)7：正方體中存在大量的線面垂直關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們參照試題1，改編或自編一道線面垂直的試題，需要包含答案，改編優(yōu)良的試題將用于課堂教學(xué)環(huán)節(jié).

試題1 （教材第171頁(yè)復(fù)習(xí)參考題8·第12題）如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，證明：B1D⊥平面ACD1.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)編題，促使不同層次的學(xué)生得到各自不同創(chuàng)造力的發(fā)揮，教師從中選取備課資源，引起學(xué)生興趣，激發(fā)學(xué)生對(duì)課堂的期待感.

2.2.2 課中線下教學(xué)，師生合作探究

線上反饋：通過(guò)資源觀看，學(xué)生對(duì)定義、定理的單次應(yīng)用還沒(méi)熟練掌握，尤其書(shū)寫(xiě)格式不規(guī)范，對(duì)定理的多次使用存在障礙，沒(méi)能抓住問(wèn)題核心及基本思路方法.因此課中線下教學(xué)既要回歸教材、整合資源，也要把握高考方向，采用并列式、遞進(jìn)式題組，給學(xué)生啟發(fā)誘導(dǎo)，夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn).

題組1

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，完成下列問(wèn)題：

（1）如圖5，證明：B1B⊥AC；

（2）如圖6，證明：B1D⊥AC；

（3）如圖7，證明：AD1⊥平面A1B1D；

（4）如圖8，證明：B1D⊥平面ACD1；

（5）如圖9，若E，F(xiàn)分別為AC，BB1的中點(diǎn)，證明：EF⊥AC；

（6）如圖10，若E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB1上一點(diǎn)，證明：D1F⊥AC.

追問(wèn)1：本題組呈現(xiàn)什么特點(diǎn)，目標(biāo)指向什么？問(wèn)題解決的關(guān)鍵是什么？所需條件如何挖掘？

設(shè)計(jì)意圖：把教材習(xí)題、多位學(xué)生的編題整合為一個(gè)前后關(guān)聯(lián)的問(wèn)題串，注重引導(dǎo)學(xué)生書(shū)寫(xiě)規(guī)范和表達(dá)準(zhǔn)確.其中第（5）問(wèn)結(jié)合“EF∥B1D”或構(gòu)造等腰三角形，一題多解，開(kāi)拓思路，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷線線垂直在立體幾何平面圖形中是如何產(chǎn)生、挖掘和呈現(xiàn)的.

追問(wèn)2：點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持著什么結(jié)構(gòu)特征？同學(xué)們能歸納出什么數(shù)學(xué)模型？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小組討論，提煉第（6）問(wèn)中的“D1-AC-F”結(jié)構(gòu)，由兩個(gè)等腰三角形拼接而成，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，給結(jié)構(gòu)命一個(gè)通俗有趣的名字“鱷魚(yú)的嘴巴”，如圖11，學(xué)生用自然語(yǔ)言并結(jié)合鱷魚(yú)的特征進(jìn)行描述，生動(dòng)形象，激發(fā)興趣.

追問(wèn)3：同學(xué)們能用符號(hào)語(yǔ)言描述此模型的特征嗎？模型特征會(huì)受鱷魚(yú)張開(kāi)嘴巴大小的影響嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貢?shū)寫(xiě)，歸納出模型特征，挖掘模型中的垂直關(guān)系“BC⊥AD”，并對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)理解.

追問(wèn)4：請(qǐng)對(duì)比試題2，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？

試題2 （舊教材人教A版必修2第67頁(yè)練習(xí)1）如圖12，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，證明：VB⊥AC.

設(shè)計(jì)意圖：模型源于教材，在一輪復(fù)習(xí)中，要提高學(xué)生重視教材、回歸教材的意識(shí).

題組2

（1）（2017年全國(guó)卷Ⅲ）如圖13，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD.證明：AC⊥BD.

（2）（2009年海南卷）如圖14，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°.證明：AB⊥PC.

（3）（2013年全國(guó)卷Ⅰ）如圖15，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.證明：AB⊥A1C.

追問(wèn)1：上述問(wèn)題有何特征？如何處理？

設(shè)計(jì)意圖：題組2采用高考真題，聚焦“鱷魚(yú)嘴巴”模型，進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生分析基本圖形結(jié)構(gòu)特征，上升到模型中來(lái)，強(qiáng)化模型意識(shí)，重點(diǎn)落實(shí)證明過(guò)程的規(guī)范性，暴露藝術(shù)生常見(jiàn)的書(shū)寫(xiě)、步驟等問(wèn)題.

題組3

（1）（2011年新課標(biāo)Ⅰ卷）如圖16，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.證明：PA⊥BD.

（2）（2018年全國(guó)卷Ⅱ）如圖17，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).證明：PO⊥平面ABC.

設(shè)計(jì)意圖：延續(xù)以上題組，多角度深挖基本圖形結(jié)構(gòu)中的垂直關(guān)系，其中本題組（1）的條件類似于題組2（3），卻要用到余弦定理和勾股定理逆定理，滲透平面化思想；本題組（2）容易誤導(dǎo)學(xué)生使用“鱷魚(yú)嘴巴”模型，引導(dǎo)學(xué)生要從問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合邊長(zhǎng)等具體條件協(xié)同思考，切忌濫用模型.

小結(jié)思考：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么？你是怎樣學(xué)習(xí)的？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生發(fā)言，教師點(diǎn)評(píng)，提高學(xué)生學(xué)后反思的意識(shí)，深化對(duì)平面基本圖形的位置關(guān)系、度量關(guān)系的認(rèn)知與理解，滲透平面化等轉(zhuǎn)化思想，強(qiáng)化模型意識(shí)，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

2.2.3 課后線上鞏固，師生優(yōu)化梳理

A組任務(wù)：如圖18，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，G，H分別是DD1，BC1，CD，AD的中點(diǎn).證明：（1）MN∥平面ABCD；（2）MN⊥平面A1AG.

設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)采用課前線上環(huán)節(jié)學(xué)生自編的優(yōu)秀題目作為課后A組作業(yè)，既能鞏固直線與平面平行、直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用，又能讓學(xué)生獲得成就感，激發(fā)學(xué)生課后完成作業(yè)的投入度.

B組任務(wù)：（1）（教材第152頁(yè)練習(xí)3）如圖19，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，A′C⊥B′D′.

（2）（2016年山東卷）在如圖20所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB，AB=BC，AE=EC，求證：AC⊥FB.

C組任務(wù)（選做）：請(qǐng)同學(xué)們從上述A，B組試題中，找出“面面垂直”關(guān)系，并給予證明.

設(shè)計(jì)意圖：一輪復(fù)習(xí)B組作業(yè)既緊扣教材，又銜接高考，加深學(xué)生對(duì)本課內(nèi)容的掌握.C組作業(yè)則給學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行拓展，為后續(xù)復(fù)習(xí)作鋪墊.

課后的線上鞏固環(huán)節(jié)中，教師根據(jù)學(xué)生的課堂練習(xí)與課后任務(wù)反饋的結(jié)果，及時(shí)整合相關(guān)微課進(jìn)行推送，學(xué)生可通過(guò)課后微課的學(xué)習(xí)，從而突破本課的重點(diǎn)、難點(diǎn)及疑點(diǎn)，順利達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

3 總結(jié)與展望

結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，教師要有意識(shí)地積累數(shù)學(xué)活動(dòng)案例［1］，重視“實(shí)踐性智慧”，借案例進(jìn)行反思，高度重視案例（包括正例和反例）的分析，并能通過(guò)案例的比較獲得關(guān)于如何從事新的實(shí)踐活動(dòng)的重要啟示［3］.“O2O”是課題組結(jié)合藝術(shù)生高三備考現(xiàn)狀，對(duì)新型教學(xué)模式的實(shí)踐，普遍得到學(xué)生、家長(zhǎng)的認(rèn)可.它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生形成獨(dú)立的學(xué)習(xí)意識(shí)、促進(jìn)全面發(fā)展有重要意義，但仍存在一些問(wèn)題有待解決，如課前推送的資源沒(méi)形成體系、課后微課的整合是否有效等.課題組將繼續(xù)努力，對(duì)該模式是否適用于其他課型的推廣，作進(jìn)一步探究.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：83.

［2］宋昱瑩.“O2O”教學(xué)模式在高中地理教學(xué)中的應(yīng)用研究［D］.石家莊：河北師范大學(xué)，2017.

［3］鄭毓信.課改背景下的數(shù)學(xué)教育研究［M］.上海：上海教育出版社，2012：109-111.