基于馬爾可夫鏈方法的股票價(jià)格預(yù)測(cè)研究

一、引言

改革開放以來，為了解決我國(guó)企業(yè)的融資問題，特別是國(guó)有企業(yè)股份制改革問題，我國(guó)建立了證券市場(chǎng)。1990年11月，上海證券交易所正式掛牌。隨后，1991年4月，深圳證券交易所獲中國(guó)人民銀行批準(zhǔn)。兩家證券交易所的成立標(biāo)志著新中國(guó)正式開啟資本市場(chǎng)之門。我國(guó)證券市場(chǎng)經(jīng)過30多年發(fā)展、壯大，至今已經(jīng)形成包括主板、創(chuàng)業(yè)板、科創(chuàng)板、北交所在內(nèi)的多層次資本市場(chǎng)體系。中國(guó)上市公司協(xié)會(huì)披露的2023年12月統(tǒng)計(jì)月報(bào)數(shù)據(jù)顯示，截至2023年12月31日，境內(nèi)股票市場(chǎng)共有上市公司5346家。其中，滬、深、北證券交易所分別有2263家、2844家和239家。在股份類型上，僅發(fā)行A股的公司有5113家，僅發(fā)行B股的公司有11家，而發(fā)行A+B、A+H等多股份類型的公司有222家。按控股類型劃分，國(guó)有控股公司占26%，非國(guó)有控股公司占74%。行業(yè)分布上，制造業(yè)、信息傳輸、軟件和信息技術(shù)服務(wù)業(yè)以及批發(fā)和零售業(yè)上市公司數(shù)量居前三名。與此同時(shí)，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入大幅提高，有了閑置的資金，投資意愿越來越強(qiáng)烈，股票投資已經(jīng)成為很多人投資理財(cái)?shù)闹匾?。在股票市?chǎng)上，股票價(jià)格以及變化趨勢(shì)是投資者盈虧的關(guān)鍵，預(yù)測(cè)股票價(jià)格變化成為眾多投資者的“必修課”。

預(yù)測(cè)股票價(jià)格的方法有很多。一是基本面分析方法。該分析方法通過對(duì)影響公司內(nèi)在價(jià)值的因素進(jìn)行分析來預(yù)測(cè)其內(nèi)在價(jià)值的變化，進(jìn)而預(yù)測(cè)受價(jià)值驅(qū)動(dòng)的股票價(jià)格未來的變化方向。二是趨勢(shì)分析方法。該方法認(rèn)為股票價(jià)格的變化是有趨勢(shì)的，借助統(tǒng)計(jì)技術(shù)將股票價(jià)格變化生成各種模型，進(jìn)而推斷股票價(jià)格變化的趨勢(shì)。這些模型包括各種自回歸模型、移動(dòng)自回歸模型、差分自回歸模型、GARCH模型等。三是隨機(jī)過程分析方法。該方法認(rèn)為股票市場(chǎng)是個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，股票價(jià)格受到各種因素的影響，既包括宏觀、行業(yè)、公司經(jīng)營(yíng)等經(jīng)濟(jì)因素，也包括非經(jīng)濟(jì)因素，特別是交易者非理性等情緒因素，進(jìn)而認(rèn)為股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。而馬爾可夫模型作為典型的隨機(jī)過程分析方法，同時(shí)具備非因素與“無記憶性”等特點(diǎn)，因而也被運(yùn)用到股票價(jià)格的預(yù)測(cè)中。

本文嘗試采用馬爾可夫模型預(yù)測(cè)股票價(jià)格的變化。以往該方法主要應(yīng)用于個(gè)股股價(jià)預(yù)測(cè)，但在目前的市場(chǎng)環(huán)境下，個(gè)股特別是中小市值的股票價(jià)格經(jīng)常受到人為操縱，采用馬爾可夫模型預(yù)測(cè)的意義不大。本文聚焦滬深300指數(shù)，驗(yàn)證馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)法在短期內(nèi)的預(yù)測(cè)效果，說明該方法的有效性。相較于既有文獻(xiàn)，滬深300指數(shù)由滬深市場(chǎng)上市值規(guī)模最大的前300只股票組成，更具有預(yù)測(cè)意義。

二、馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)法的理論基礎(chǔ)

馬爾可夫（A.A.Markov）是俄國(guó)著名的數(shù)學(xué)家。二十世紀(jì)初，他在研究中發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實(shí)世界中有很多這樣的隨機(jī)現(xiàn)象，其變化過程與事物過去所處的狀態(tài)無關(guān)，僅與事物的近期狀態(tài)有關(guān)。后來的學(xué)者把具有這種特性的隨機(jī)過程命名為馬爾可夫過程。

（一）馬爾可夫鏈內(nèi)涵

1. 轉(zhuǎn)移概率的定義。按照系統(tǒng)的發(fā)展，時(shí)間離散化為[n] =0，1，2，…。對(duì)每個(gè)[n]，系統(tǒng)的狀態(tài)用隨機(jī)變量[Xn]表示。設(shè)[Xn]可以取[k]個(gè)離散值[Xn]=1，2，…，[k]，且從初始狀態(tài)開始，經(jīng)過[n]步轉(zhuǎn)移后，系統(tǒng)處于狀態(tài)[i]的狀態(tài)概率記為：

[ain=PXn=i] （1）

從[Xn]=[i]到[Xn+1]=[j]的轉(zhuǎn)移概率記為：

[pij=P（Xn+1=j/Xn=i）] （2）

2. 馬爾可夫鏈的定義。如果[Xn+1]的取值只取決于[Xn]的取值及轉(zhuǎn)移概率[pij]，而與[Xn-1]，[Xn-2]…的取值無關(guān)，那么這種離散狀態(tài)按照離散時(shí)間的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程稱為馬爾可夫鏈。

3. 馬爾可夫鏈的特性。根據(jù)馬爾可夫鏈的定義，馬爾可夫鏈具有如下性質(zhì)：

（1）馬爾可夫性。馬爾可夫性也稱無后效性，即[Xn+1]的取值只與[Xn]和轉(zhuǎn)移概率有關(guān)，與前期狀態(tài)無關(guān)。

（2）平穩(wěn)分布性。設(shè)馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移矩陣為[p]，則存在[π=（π1，π1…）]滿足方程[π=πp] 且[jπj]=1，稱[π=（π1，π2，…）]為該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。

（3）遍歷性。馬爾可夫鏈的遍歷性是指無論系統(tǒng)現(xiàn)在處于哪個(gè)狀態(tài)，從這個(gè)狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過足夠長(zhǎng)的一段時(shí)間，系統(tǒng)達(dá)到狀態(tài)[j]的概率一定穩(wěn)定在[η（j）]，[j=0，1，…]用數(shù)學(xué)極限公式表示為：[limx→∞pij=η（j）]。

（4）狀態(tài)相通性。馬爾可夫鏈的狀態(tài)相通性是指系統(tǒng)無論從哪個(gè)狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過有限的轉(zhuǎn)移次數(shù)，一定可以達(dá)到相同的狀態(tài)。

4. 馬爾可夫鏈的基本方程。由狀態(tài)轉(zhuǎn)移的馬爾可夫性和全概率公式可以寫出馬爾可夫鏈的基本方程：

[ai（n+1）=j=1kaj（n）pji]，[i=1，2，…，k] （3）

并且[ai（n）]和[pij]應(yīng)滿足：

（1） [i=1kai（n）=1]， [n=0，1，2，…]；

（2） [pij≥0]， [i，j=1，2，…，k]；

（3） [j=1kpij=1]， [i=1，2，…，k] 。

記n步狀態(tài)概率向量為[an=a1n，a2n，…，akn]，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

[P=pij=p11…p1n???pn1…pnn] （4）

則基本方程的向量形式可表述為：

[a（n+1）=a（n）P] （5）

（二）馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)模型的建立

1. 模型假設(shè)。（1）過程的隨機(jī)性。即系統(tǒng)從任意一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一種狀態(tài)的過程是隨機(jī)的。（2）過程的馬爾可夫性。系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率只與當(dāng)前的狀態(tài)有關(guān)，與以前的狀態(tài)無關(guān)。（3）轉(zhuǎn)移概率矩陣保持穩(wěn)定。即認(rèn)為在一個(gè)有限的時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)移概率矩陣保持相對(duì)穩(wěn)定。

2. 模型的建立。實(shí)際分析中，往往需要知道經(jīng)過一段時(shí)間后市場(chǎng)趨勢(shì)分析對(duì)象可能所處的狀態(tài)，這就要求建立一個(gè)能反映變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。馬爾可夫市場(chǎng)趨勢(shì)分析模型是利用概率建立一種隨機(jī)性的時(shí)序模型，并用來進(jìn)行市場(chǎng)趨勢(shì)分析的方法。馬爾可夫鏈的基本原理就是利用系統(tǒng)初始狀態(tài)概率向量和轉(zhuǎn)移概率矩陣來預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來某一時(shí)期所處的狀態(tài)。

設(shè)馬爾可夫鏈的初始分布為：

[aj（0）] =[P（X0=aj）]，[aj∈I]，[j] =1，2，… （6）

其中，[I] =｛[a1]，[a2]…｝為馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間。

初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量為：

[a0=a10，a20，…，ak0] （7）

由馬爾可夫鏈的基本方程的向量形式（5）得：

[a（n）=a（n-1）P=a（n-2）P2=…=a（0）Pn]

（8）

上式即為馬爾可夫預(yù)測(cè)模型，其中P為概率轉(zhuǎn)移矩陣。由模型可知，系統(tǒng)第[k]期的狀態(tài)概率取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)概率和轉(zhuǎn)移概率矩陣的[k]次方。因此，如果已知系統(tǒng)初始狀態(tài)概率向量[a（0）]以及轉(zhuǎn)移概率矩陣[P]，則可以求得系統(tǒng)在任何一個(gè)時(shí)期處于任何一個(gè)狀態(tài)的概率。

（三）馬氏檢驗(yàn)

設(shè)所研究的對(duì)象含有[k]個(gè)狀態(tài)，用[Nij]表示在[X1，X2，…，Xn]中從狀態(tài)[i]經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)[j]的頻數(shù)，并將[Nijn×n]第[j]列之和除以各行各列的總和所得到的值記為邊際概率[p·j]，即[p·j=i=1kNij/i=1kj=1kNij]，統(tǒng)計(jì)量[X2=2i=1kj=1kNij|logpijp.j|] 服從自由度為[（k-1）2]的[x2]分布。選定了置信度[α]，查表得[x2α（（k-1）2）]，若統(tǒng)計(jì)量[X2>x2α（（k-1）2）]，則認(rèn)為[Xt]符合馬爾可夫性，否則認(rèn)為該過程不是馬爾可夫鏈。

三、股票價(jià)格預(yù)測(cè)

本文以滬深300指數(shù)價(jià)格為例，在新浪財(cái)經(jīng)網(wǎng)上搜集整理數(shù)據(jù)，通過馬爾可夫鏈進(jìn)行分析，預(yù)測(cè)價(jià)格走勢(shì)。此次研究收集2024年2月19日—2024年4月19日的43個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，進(jìn)行每日收盤價(jià)格波動(dòng)狀態(tài)預(yù)測(cè)。

（一）基于馬爾可夫鏈的股票每日收盤價(jià)格波動(dòng)狀態(tài)預(yù)測(cè)

1. 對(duì)價(jià)格時(shí)間序列數(shù)據(jù)分類。對(duì)股票每日收盤價(jià)格增長(zhǎng)率進(jìn)行分類處理，可將 43 組數(shù)據(jù)分為［-5%，-1%）、 ［-1%，-0.5%）、［-0.5%，0%）、［0%，0.5%）、［0.5%，1%）、［1%，5%）6 個(gè)狀態(tài)空間，分別為S1、S2、S3、S4、S5、S6 ，如表1所示。

2. 建立股票每日收盤價(jià)格波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。根據(jù)表1得出價(jià)格增長(zhǎng)率狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況，如表2所示。

進(jìn)一步可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣[fij]和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣[pij]，如下所示：

[fij=010013003211141100121023111300201320]

[pij=01/5001/53/5003/72/71/71/71/74/71/71/7001/92/91/902/93/9dM1QYESaF+x8aCcmoXQ9yg==1/61/61/63/6002/801/83/82/80]

3. 馬氏檢驗(yàn)。由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣[pij] 得到邊際概率值，如表3所示。進(jìn)一步計(jì)算統(tǒng)計(jì)量[X2]，結(jié)果如表4所示。給定顯著性水平 α＝0.05，查 [χ2] 分布表可得分位點(diǎn)[χ2α（（m-1）2）=χ2α]，由于[X2]=48.504>37.652， 因此，滬深300指數(shù)價(jià)格時(shí)間序列滿足馬爾可夫性。

4. 預(yù)測(cè)股票價(jià)格區(qū)間。先根據(jù)C-K 方程，求出 2-5 階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，然后通過各階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算出相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量，進(jìn)而預(yù)測(cè)滬深300指數(shù)價(jià)格增長(zhǎng)率變化。

[P（2）=0.1830.0030.1940.3820.1790.0290.1530.3320.1350.1860.0990.0950.0360.1420.2810.1840.1420.2150.1360.1230.1900.3160.1370.0980.0790.2400.1510.0720.1680.2900.1010.2470.1010.1430.1330.275]

[P（3）=0.1070.2620.1180.1370.1340.2420.0800.1650.2110.2000.1430.2010.1380.2320.1720.2320.1220.1040.1100.2280.1500.1680.1400.2040.1300.1460.1970.2820.1390.1060.1210.1320.1930.2550.1560.143]

[P（4）=0.1150.1410.1970.2490.1500.1480.1260.2050.1720.2240.1340.1380.0970.1980.1830.1910.1380.1930.1150.1680.1870.2330.1430.1540.1090.2250.1580.1790.1360.1930.1180.2170.1560.1970.1360.176]

[P（5）=0.1180.2160.1600.1990.1350.1720.1060.1960.1770.2020.1390.1800.1190.1890.1800.2240.1380.1500.1150.2060.1680.2040.1370.1700.1140.1750.1850.2270.1420.1570.1110.1790.1820.2180.1430.167]

2024年4月19日，滬深300指數(shù)價(jià)格增長(zhǎng)率為-0.79%，處于區(qū)間［-1%，0.5%），屬于狀態(tài)S2，初始狀態(tài)向量定義為 [π（0）＝（0 0 1 0 0 0）]。則一步概率轉(zhuǎn)移向量為 [π（1）＝π（0）＝（0 0 0.428 0.286 0.143 0.143）]，由此可以預(yù)測(cè)出下一個(gè)交易日2024 年4 月 22 日（4月20日、21日市場(chǎng)沒有交易）的價(jià)格增長(zhǎng)率處于狀態(tài) S3，預(yù)測(cè)概率為 42.8%，即對(duì)應(yīng)的區(qū)間為［-0.5%，0%），實(shí)際增長(zhǎng)率為-0.30%。

可由兩步轉(zhuǎn)移概率向量 [π（2）＝π（0）P（2）＝（0.153 ]

[0.332 0.135 0.186 0.099 0.095）] 預(yù)測(cè)出2024年4月23日的價(jià)格增長(zhǎng)率所處的狀態(tài)為S2，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間為［-1%，-0.5%），實(shí)際增長(zhǎng)率為-0.70%。

同理，可根據(jù) [π3]、[π4]、[π5]預(yù)測(cè)出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間，如表 5 所示。

（二）股票指數(shù)價(jià)格波動(dòng)預(yù)測(cè)結(jié)果分析

滬深300指數(shù)價(jià)格波動(dòng)預(yù)測(cè)結(jié)果表明，馬爾可夫鏈對(duì)1—2天短期的價(jià)格波動(dòng)率預(yù)測(cè)概率較高。隨著預(yù)測(cè)日期的增加，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際存在差異，并且預(yù)測(cè)概率降低。例如，根據(jù)三步轉(zhuǎn)移概率向量預(yù)測(cè)，滬深300指數(shù)價(jià)格在2024 年 4 月 24 日的價(jià)格增長(zhǎng)率屬于狀態(tài) S3，預(yù)測(cè)區(qū)間為［-0.5%，0%）；實(shí)際增長(zhǎng)率為0.44%，在［0，0.5%）區(qū)間中，屬于S4狀態(tài)。預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際增長(zhǎng)率存在0.44%的相對(duì)誤差，但屬于相鄰的兩個(gè)狀態(tài)，且預(yù)測(cè)概率S3的預(yù)測(cè)概率為21.1%，而真實(shí)增長(zhǎng)率所屬狀態(tài)S4預(yù)測(cè)概率為20.0%，預(yù)測(cè)概率相差僅為1.1%，因此，預(yù)測(cè)結(jié)果有一定參考意義。

預(yù)測(cè)日期在5天的情況下，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際誤差較大，并且預(yù)測(cè)概率較低，且Fq5LNVxw30cuh67P6/l2hDv03hnXux9JUcyGh9V1kiY=有多個(gè)預(yù)測(cè)概率非常接近，預(yù)測(cè)基本無效。

四、結(jié)論與說明

本文選取我國(guó)滬深300指數(shù)2024年2月19日—2024年4月19日的43個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，具有較強(qiáng)的代表性。從模型中可以得到：馬爾可夫鏈對(duì)1—2天短期的價(jià)格波動(dòng)率預(yù)測(cè)準(zhǔn)確概率較高，隨著預(yù)測(cè)日期的增加，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際存在差異，并且預(yù)測(cè)概率降低。

對(duì)于這個(gè)結(jié)論，需要說明如下：第一，根據(jù)尤金·砝碼的有效市場(chǎng)理論，在一個(gè)強(qiáng)式的有效股票市場(chǎng)，其大盤指數(shù)反映所有信息，股票價(jià)格是隨機(jī)波動(dòng)的，無法預(yù)測(cè)；但是，如果市場(chǎng)是弱式有效市場(chǎng)，可以通過分析過去的信息以及現(xiàn)在的信息，即采用傳統(tǒng)技術(shù)分析以及基本分析方法預(yù)測(cè)大盤指數(shù)可能的走勢(shì)；而市場(chǎng)如果是半強(qiáng)式有效市場(chǎng)，那么股票價(jià)格已經(jīng)反映了過去的信息，基于歷史數(shù)據(jù)分析的傳統(tǒng)技術(shù)分析方法無效，只能通過現(xiàn)狀分析來預(yù)測(cè)股票價(jià)格的變化，馬爾可夫鏈就有了“用武之地”。因?yàn)轳R爾可夫鏈具有無后效性，即未來價(jià)格預(yù)測(cè)與過去特別是久遠(yuǎn)歷史信息關(guān)系不大，而與現(xiàn)在以及剛剛過去的部分信息關(guān)系密切，可以通過計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率來預(yù)測(cè)內(nèi)部狀態(tài)的變化，所以，馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)法只是一種概率預(yù)測(cè)方法，得到的預(yù)測(cè)結(jié)果僅僅表示大盤指數(shù)未來處于某種狀態(tài)的概率，而非絕對(duì)會(huì)處于某種狀態(tài)。第二，從預(yù)測(cè)結(jié)果看，我國(guó)股市經(jīng)過多年的演化發(fā)展，效率得以提高，基本成為半強(qiáng)式有效市場(chǎng)。因此，基于技術(shù)分析的方法來預(yù)測(cè)股票價(jià)格是低效的，理性的投資者應(yīng)該更多關(guān)注當(dāng)前公司的基本面，進(jìn)行價(jià)值投資。第三，股市大盤指數(shù)是受市場(chǎng)上的多種因素影響的結(jié)果，如市場(chǎng)多空雙方的力量比較、宏觀經(jīng)濟(jì)政策、行業(yè)景氣度以及投資者的心理因素等，因而沒有任何一種方法可以完全準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出每天的大盤指數(shù)變化，馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)法也不例外。因此，可以把用馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的結(jié)果和其他因素分析綜合起來作為股票投資決策的判斷依據(jù)。

（責(zé)任編輯 王 媛；校對(duì) WY，LY）