高中物理兩類力學(xué)模型“多題一解”淺析

摘 要：對(duì)高中物理中的兩類經(jīng)典力學(xué)模型進(jìn)行了分析，包括圓錐擺模型和斜面摩擦力做功模型。這兩個(gè)模型形式多樣、涉及范圍廣泛，并具有多樣的隱含條件。在新課程教學(xué)中，需要注意總結(jié)歸納，采用一種方法解決多種變式問題，總結(jié)多題一解的規(guī)律，整理主要知識(shí)脈絡(luò)，以簡(jiǎn)化復(fù)雜問題，提高課堂教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞：圓錐擺模型；斜面摩擦力做功；多題一解；考點(diǎn)分析

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2024）9-0077-6

高中力學(xué)模型種類繁多，考點(diǎn)廣泛，具有綜合性。學(xué)生在初學(xué)階段，如果不能熟練掌握一些基礎(chǔ)物理模型，總結(jié)解決變式問題的方法，學(xué)習(xí)效率就會(huì)較低，無法舉一反三。以高中物理中兩個(gè)具有相似特征的力學(xué)模型為例，通過對(duì)一類題目的考點(diǎn)分析和解題方法的總結(jié)，歸納出解決這類問題的通用方法，實(shí)現(xiàn)多題一解。多題一解不僅能夠方便地梳理出力學(xué)模型的特點(diǎn)和相關(guān)應(yīng)用，還能通過對(duì)比分析類似試題，提高學(xué)生綜合分析試題考點(diǎn)和考查方向的能力，避免純粹應(yīng)試的學(xué)習(xí)策略，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。多題一解處理力學(xué)模型的方法還可以遷移到其他學(xué)習(xí)領(lǐng)域，進(jìn)一步探索物理模型的學(xué)習(xí)方法。

１ 圓錐擺模型

圓錐擺模型如圖１所示，一根不計(jì)質(zhì)量的長(zhǎng)度為Ｌ的細(xì)線，一端系有一個(gè)質(zhì)量為ｍ的小球，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。細(xì)線與豎直方向的夾角（擺角）為θ，懸掛點(diǎn)Ｏ與圓心的距離為擺高ｈ。由于擺線掠過的軌跡形成圓錐體，因此稱之為圓錐擺模型［１］。在該模型中，小球只受到兩個(gè)作用力，即豎直向下的重力和沿繩方向的拉力。這兩個(gè)力的合力指向圓心，提供小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。在新課程教學(xué)中，要順利找到這類模型的切入點(diǎn)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確進(jìn)行受力分析，找到圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源。

１．１ 求解基本物理量

要掌握?qǐng)A錐擺模型，就需要從求解圓周運(yùn)動(dòng)的基本物理量開始。線速度、角速度、運(yùn)動(dòng)周期和向心加速度是圓周運(yùn)動(dòng)的基本物理量，也是該模型的重點(diǎn)考查內(nèi)容。結(jié)合受力分析的擴(kuò)展，這些量變得更加具有挑戰(zhàn)性。對(duì)于初學(xué)者來說，圓錐擺模型是一道綜合性問題，涉及受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，解答過程較為復(fù)雜。然而，如果能夠推導(dǎo)出模型中基本物理量的求解公式，并在解答問題時(shí)將問題分類處理，運(yùn)用推導(dǎo)式進(jìn)行判斷，就能大大簡(jiǎn)化解答過程，并提高答題準(zhǔn)確率。根據(jù)受力分析，小球所受的合外力提供向心力，即

例１ 一根長(zhǎng)為Ｌ的細(xì)線，上端固定在天花板上的Ｐ點(diǎn)，下端系質(zhì)量為ｍ的小球。將小球拉離豎直位置，并賦予一個(gè)與懸線垂直的初速度，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。懸線與豎直方向的夾角為θ，懸線旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐面，這就是常見的圓錐擺模型，如圖２所示。關(guān)于圓錐擺，下面說法正確的是（ ）

Ａ．圓錐擺的周期Ｔ與小球質(zhì)量無關(guān)

Ｂ．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由繩子拉力和小球重力的合力提供

Ｃ．圓錐擺的周期T=2π

Ｄ．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心加速度為gsinθ

分析 考查圓錐擺模型的基本物理量公式、受力分析和向心力來源。通過向心加速度和周期推導(dǎo)式得出答案為Ａ、Ｂ和Ｃ。此題較為簡(jiǎn)單，目的在于建立圓錐擺運(yùn)動(dòng)模型，熟悉模型中基本物理量推導(dǎo)式的使用。

１．２ 圓錐擺的動(dòng)態(tài)分析

變式１ 如圖３所示，細(xì)線下端系有一個(gè)金屬小球Ｐ，細(xì)線上端固定在一個(gè)金屬塊Ｑ上。金屬塊Ｑ放置于帶小孔（小孔光滑）的固定水平桌面上，小球在某水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)將小球移到一個(gè)更高的水平面上（圖中Ｐ＇ 位置）繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。兩次金屬塊Ｑ都靜止在桌面上同一點(diǎn)。與原來相比，以下判斷正確的是（ ）

Ａ．細(xì)線所受的拉力變小

Ｂ．小球Ｐ做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度變大

Ｃ．金屬塊Ｑ受到的支持力變大

Ｄ．金屬塊Ｑ受到的靜摩擦力變大

分析 圖中Ｐ和Ｐ'是圓錐擺模型中的兩個(gè)位置。兩位置擺角不同，相較于Ｐ點(diǎn)，Ｐ'點(diǎn)對(duì)應(yīng)圓周運(yùn)動(dòng)的高度更高，擺角θ更大。題干中的隱含條件為兩次金屬塊Ｑ靜止于同一位置，擺線長(zhǎng)Ｌ保持不變。根據(jù)r=Lsinθ，可知Ｐ'點(diǎn)對(duì)應(yīng)水平圓周運(yùn)動(dòng)的半徑更大［２］。根據(jù)基本物理量拉力和角速度的推導(dǎo)式，擺角θ越大，角速度越大，擺線拉力也越大。將研究對(duì)象轉(zhuǎn)換為金屬塊Ｑ，根據(jù)平衡條件可得，金屬塊Ｑ受到的靜摩擦力與細(xì)線拉力相等，桌面施加的支持力等于金屬塊Q的重力。因此，正確答案為Ｂ、Ｄ。

圓錐擺動(dòng)態(tài)分析小結(jié)：

（１）當(dāng)擺線與豎直方向的擺角θ增大時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω、向心加速度ａ、細(xì)線張力ＦＴ均增大，圓周運(yùn)動(dòng)的周期Ｔ和線速度ｖ均減小。反之，一個(gè)角速度較大的圓錐擺，其擺線與豎直方向的夾角θ也越大。

（２）當(dāng)擺線長(zhǎng)Ｌ和夾角θ均變化，而擺高ｈ＝Ｌｃｏｓθ不變時(shí)，由ω=，T=2π，得出角速度ω和周期Ｔ保持不變。

１．３ 兩種變式圓錐擺

變式２ 如圖４所示，兩根長(zhǎng)度不同的細(xì)線的上端固定在天花板上的同一點(diǎn)，下端分別系一相同的小球，這兩個(gè)小球在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。穩(wěn)定時(shí)，ＯＡ和ＯＢ與豎直線的夾角分別為６０°和３０°。關(guān)于這兩個(gè)小球的受力和運(yùn)動(dòng)情況，下列說法中正確的是（ ）

Ａ．兩球運(yùn)動(dòng)的周期之比為 TA：TB=1：1

Ｂ．兩球線速度的大小之比為vA：vB=3：1

Ｃ．細(xì)線拉力的大小之比為FA：FB=3：1

Ｄ．向心加速度的大小之比為aA：aB=3：1

分析 本題討論不同圓錐擺的受力和基本物理量之間的關(guān)系。根據(jù)動(dòng)態(tài)分析可知，兩個(gè)圓錐擺的擺高ｈ相同，角速度ω、周期Ｔ也相同。兩個(gè)圓錐擺Ａ和Ｂ的擺角分別為６０°和３０°。根據(jù)基本物理量拉力公式 F=，可得出細(xì)線拉力大小之比為：1。兩小球運(yùn)動(dòng)的角速度和周期相同，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)關(guān)系式a=ωv，v=ωr=ωhtanθ，可以得到線速度和向心加速度大小之比。因此，正確答案為Ａ、Ｂ和Ｄ。

變式３ 如圖５所示，兩個(gè)相同的小球Ａ、Ｂ用不同長(zhǎng)度的細(xì)線拴在同一點(diǎn)Ｏ，在不同的水平面內(nèi)做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，兩繩與豎直方向的夾角相同，則小球Ａ、Ｂ的（ ）

Ａ．周期相等

Ｂ．角速度相等

Ｃ．線速度大小相等

Ｄ．向心加速度大小相等

分析 變式３中兩個(gè)圓錐擺有相同的擺角θ，不同的擺長(zhǎng)Ｌ，則擺高ｈ＝Ｌｃｏｓθ不同。根據(jù)基本物理量公式，兩個(gè)圓錐擺的角速度、線速度、周期均不同。由受力分析得ａ＝ｇｔａｎθ，可知擺角相同時(shí)向心加速度相等，故正確答案為Ｄ。

兩種變式圓錐擺小結(jié)：

（１）擺高相同、擺長(zhǎng)不同的圓錐擺的周期和角速度相同，類似于同軸轉(zhuǎn)動(dòng)。線速度和向心加速度不同，兩者大小之比由基本物理量間的關(guān)系判斷。

（２）擺角相同、擺長(zhǎng)不同的圓錐擺的擺高、角速度、線速度和周期一定不同。向心加速度與擺角有關(guān)，擺角相同，向心加速度一定相同。

１．４ 圓錐擺臨界問題

例２ 如圖６所示，一個(gè)固定的光滑圓錐體靜置在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，一條質(zhì)量不計(jì)、長(zhǎng)為Ｌ的細(xì)繩，一端固定于錐體的頂點(diǎn)Ｏ處，另一端系著一個(gè)質(zhì)量為ｍ、可視作質(zhì)點(diǎn)的小球，細(xì)線與軸線間的夾角θ為３７°。現(xiàn)使小球以角速度ω繞軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

１．５ 連接體圓錐擺

將兩個(gè)圓錐擺連接成一個(gè)整體，就組成了連接體圓錐擺。對(duì)于連接體圓錐擺模型，整體分析和隔離分析是解題關(guān)鍵。該模型是一個(gè)綜合性力學(xué)問題，主要討論組合圓錐擺的基本物理量關(guān)系、擺角關(guān)系和幾何關(guān)系，難度系數(shù)大。

例３ 如圖９所示的小角度圓錐擺模型，甲、乙兩個(gè)質(zhì)量相同的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）用輕質(zhì)細(xì)線１連接，并用輕質(zhì)細(xì)線２懸掛在天花板上的Ｏ點(diǎn)。細(xì)線１、２的長(zhǎng)度相等，兩球在兩個(gè)不同高度的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。細(xì)線與豎直方向的夾角分別為θ、 β （單位均為弧度），且θ、 β非常小，可以取tanθ=sinθ=θ，tanβ=sinβ=β。求：θ與β的比值。

分析 對(duì)于連接體圓錐擺，兩小球在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相同，類似于兩球做同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，可類比等高圓錐擺。

設(shè)細(xì)線１、２的拉力分別為ＦＴ１、ＦＴ２，兩細(xì)線的長(zhǎng)度均為Ｌ。隔離乙球，得

FT1cosθ=mg

FT1sinθ=mω2（Lsinθ+Lsinβ）

將甲、乙兩球看作一個(gè)整體，得

FT2cosθ=2mg

FT2sinθ=mω2（Lsinθ+Lsinβ）+mω2Lsinβ

運(yùn)算時(shí)，結(jié)合數(shù)學(xué)近似，可得到兩個(gè)圓錐擺的擺角關(guān)系。

圓錐擺模型小結(jié)：

（１）該模型?？蓟疚锢砹抗?，熟練掌握推導(dǎo)公式是關(guān)鍵。

（２）在此基礎(chǔ)上進(jìn)行基本物理量動(dòng)態(tài)分析，可以根據(jù)問題進(jìn)行試題歸類，運(yùn)用變式模型的特點(diǎn)和相關(guān)的結(jié)論，就能較輕松地掌握此類題型，做到多題一解。

２ 斜面摩擦力做功

圖１０是一個(gè)傾角為θ、長(zhǎng)為Ｌ的斜面，斜面底端長(zhǎng)度ｘ＝Ｌｃｏｓθ。質(zhì)量為ｍ的滑塊從頂端滑到底端的過程中，討論摩擦力的做功情況，稱為斜面摩擦力做功問題［３］。由滑動(dòng)摩擦力f=μFN=μmgcosθ=μmgx，從斜面頂端到底端過程中，滑塊克服摩擦力做的功，等同于滑塊從斜面底端Ａ'點(diǎn)到Ｂ點(diǎn)克服摩擦力所做的功，這種等效替代的方法叫作等效法。

例４ 如圖１１所示，兩個(gè)相同質(zhì)量的物體，分別從斜面ＡＣ和ＢＣ的最高點(diǎn)由靜止開始下滑，物體在兩個(gè)斜面上的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，它們下滑至斜面底端Ｃ處的動(dòng)能分別為Ｅｋ１和Ｅｋ２，在整個(gè)下滑過程中，物塊克服摩擦力所做的功分別為Ｗｆ１和Ｗｆ２，則（ ）

Ａ．Ｅｋ１＞Ｅｋ２，Ｗｆ１＜Ｗｆ ２

Ｂ．Ｅｋ１＝Ｅｋ２，Ｗｆ１＝Ｗｆ ２

Ｃ．Ｅｋ１＜Ｅｋ２，Ｗｆ１＞Ｗｆ ２

Ｄ．Ｅｋ１＞Ｅｋ２，Ｗｆ１＝Ｗｆ ２

分析 設(shè)斜面的傾角為θ，滑動(dòng)摩擦力做功Wf = μmgcosθL= μmgx，ＡＣ和ＢＣ是兩個(gè)同底斜面，其水平距離相同，滑動(dòng)摩擦力做功相同，即Ｗ１＝Ｗ２。由動(dòng)能定理mgh-μmgcosθ=Eｋ-0可知，在ＡＣ斜面下滑的高度大，滑到底端時(shí)的動(dòng)能也大，故正確答案為Ｄ。

變式５ 如圖１２所示，質(zhì)量為ｍ的物塊由靜止從斜面Ａ點(diǎn)開始滑動(dòng)，停在水平面上的Ｂ點(diǎn)（斜面與水平面通過一小段與它們相切的圓弧連接），量得Ａ、Ｂ兩點(diǎn)間的水平距離和Ｂ、Ｃ兩點(diǎn)間距離均為ｓ，物塊與兩個(gè)接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ。如果用與軌道平行的力Ｆ把物塊從Ｃ點(diǎn)拉回Ａ點(diǎn)，則力Ｆ做的功至少為（ ）

Ａ． μmgs Ｂ．２μmgs

Ｃ．３μmgs Ｄ．４μmgs

分析 物塊從Ａ處由靜止滑下，停在水平面上的Ｂ點(diǎn)。設(shè)ＡＢ間的高度差為ｈ，則mgh-μmgs=0-0。用力把物塊從Ｃ點(diǎn)拉回Ａ點(diǎn)時(shí)，既要克服摩擦力做功，又要克服重力做功，由動(dòng)能定理WF - μmg（s+s）-mgh=0-0，得WF =3μmgs。

小結(jié)：

（１）用等效法計(jì)算斜面摩擦力做功時(shí)，只需要找到水平面滑動(dòng)摩擦力、水平方向移動(dòng)的距離，其乘積能有效替代斜面摩擦力做功。

（２）求解具體力學(xué)問題時(shí)，要結(jié)合動(dòng)能定理，加入其他力做功列式。變式題目涉及多個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，要分段進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，并聯(lián)立多個(gè)過程的式子求解。

（３）與圓錐擺模型相似，解題時(shí)都要充分利用模型中隱含的直角三角形，并由幾何關(guān)系化簡(jiǎn)，得到運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

使用等效法時(shí)，往往會(huì)面臨兩類特殊斜面——等高斜面和同底斜面，分別如圖１３（ａ）（ｂ）所示。

（１）物塊由等高斜面從頂端靜止下滑到底端，重力做功相同，但由于斜面在水平方向的投影距離不同，三個(gè)斜面上摩擦力做功關(guān)系為Ｗ１＞Ｗ２＞Ｗ３。在沒有其他力做功的情況下，物塊滑到底端時(shí)的動(dòng)能關(guān)系為Ek1<Ek2<Ek3。某等高斜面的傾角為θ，由L=計(jì)算斜面長(zhǎng)度。

（２）物塊由同底斜面從頂端靜止下滑到底端時(shí)，由于斜面的水平投影相同，摩擦力做功相同。斜面１的高度最大，重力做功最多，物塊滑到底端時(shí)的動(dòng)能滿足Ek1>Ek2>Ek3。某同底斜面的傾角為θ，由L=可計(jì)算斜面長(zhǎng)度。

例５ 豎直平面內(nèi)的兩段細(xì)直桿連接形成軌道Ⅰ和Ⅱ，兩個(gè)軌道有相同長(zhǎng)度，如圖１４所示。用一個(gè)大小相等的力將穿過軌道最低點(diǎn)B的小球，由靜止分別沿軌道Ⅰ和Ⅱ推動(dòng)到最高點(diǎn)Ａ，用時(shí)分別為ｔ１和ｔ２，動(dòng)能增量分別為ΔEk1和ΔEk2。假定小球兩次經(jīng)過軌道轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)的速度大小不變，球與兩個(gè)軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)相等［４］。以下關(guān)系中，正確的是（ ）

Ａ．ΔEk1>ΔEk2；ｔ１＞ｔ２ Ｂ．ΔEk1=ΔEk2；ｔ１＞ｔ２

Ｃ．ΔEk1>ΔEk2；ｔ１<ｔ２ Ｄ．ΔEk1=ΔEk2；ｔ１<ｔ２

分析 Ⅰ、Ⅱ軌道均由兩段斜面組成，軌道總長(zhǎng)相同且沿水平方向的投影相等。設(shè)底面投影為ｄ，由等效法可得Wf = μmgd，即摩擦力做功相等。同時(shí)，由WG=mgh可知，上升高度相等，重力做功也相等。根據(jù)動(dòng)能定理WF -Wf -WG=ΔEk，沿兩個(gè)斜面滑到頂點(diǎn)的動(dòng)能相等。由受力分析得，運(yùn)動(dòng)Ⅰ初期加速度小，后期加速度大。兩小球的末速度相同，總位移相同，由ｖ－ｔ圖像可知，第一個(gè)小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間更長(zhǎng)，正確答案為Ｂ。

斜面摩擦力做功小結(jié)：

（１）重力做功等于重力與豎直方向下落距離的乘積，斜面摩擦力做功等效為水平面的摩擦力大小與水平運(yùn)動(dòng)距離的乘積。這種等效處理使重力做功和摩擦力做功變得簡(jiǎn)單易學(xué)，實(shí)現(xiàn)多題一解［５］。

（２）將斜面劃分為兩類特殊情況，可有效歸類各種變式題目。從這兩類斜面獲得的幾何關(guān)系，可為各種斜面的邊角關(guān)系處理提供思路。

（３）對(duì)于由幾個(gè)基本運(yùn)動(dòng)組合而成的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)問題，建議將其等效分解為若干段的子過程，每段盡量用同種運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解，再通過運(yùn)動(dòng)的連接點(diǎn)將各階段串聯(lián)起來。這樣可以高效地分解試題，有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升課堂教學(xué)效率。

３ 結(jié) 論

以高中物理力學(xué)中兩個(gè)具有相似特征的模型為例，通過對(duì)兩類模型的特點(diǎn)分析和解題方法梳理，歸納總結(jié)求解一類題目的相似方法，做到多題一解，為后續(xù)物理模型的學(xué)習(xí)提供參考。在新課教學(xué)時(shí)，建議對(duì)這兩類力學(xué)模型的變式題目進(jìn)行考點(diǎn)分析。以設(shè)置問題為引領(lǐng)，逐步探索問題的考查方向和規(guī)律，從而將復(fù)雜多變的綜合性力學(xué)問題一步步破解，化繁就簡(jiǎn)，提高教學(xué)效率。

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（欄目編輯 賈偉堯）