拾“階”而上，讓思維向更高、更深處邁進

【摘 要】思維發(fā)展的過程就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的過程，兒童發(fā)展的早期階段，數(shù)學(xué)教學(xué)尤其要關(guān)注兒童高階思維的發(fā)展。文章就一些常見的練習(xí)設(shè)計，從“單一到歸納”“淺顯到深刻”“模仿到創(chuàng)造”三個角度，幫助學(xué)生拾“階”而上，向思維更高處、更深處不斷漫溯，從而發(fā)展學(xué)生的邏輯性思維、批判性思維和創(chuàng)新性思維。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 思維進階 數(shù)學(xué)練習(xí)

一、由單一到歸納，增強思維的邏輯性

（一）問題呈現(xiàn)

在“平行四邊形的面積”一課教學(xué)中，教師利用“轉(zhuǎn)化”思想，通過剪、拼、移將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，從而引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積計算公式。將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，往往引導(dǎo)學(xué)生觀察對比發(fā)現(xiàn)：面積不變，周長變小。本單元練習(xí)和整理與復(fù)習(xí)，同樣也涉及“不同情境下，平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，面積和周長發(fā)生什么變化”這樣的問題，從學(xué)生的練習(xí)反饋看，部分學(xué)生還是不能獨立準(zhǔn)確地觀察分析，發(fā)現(xiàn)前后圖形的變與不變。如果只停留在某一題，學(xué)生的思維也永遠只能就題論題而沒有高度。因此，教學(xué)時，教師可將這些練習(xí)題進行整合，在觀察、比較、辨析中增強學(xué)生思維的邏輯性。

（二）教學(xué)案例

【題目1】

師：同學(xué)們，我們在探究平行四邊形面積計算公式的時候，利用“轉(zhuǎn)化”的思想，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，從而解決了問題。想一想，我們當(dāng)時是怎樣做的？

生：沿著平行四邊形的高剪開，剪下一個三角形，然后平移到右邊，拼成一個長方形。我們發(fā)現(xiàn)，長方形的長和平行四邊形的底相等，長方形的寬和平行四邊形的高相等，所以二者面積相等；至于周長，兩條底邊沒變，原平行四邊形的斜邊變成了長方形的寬（原平行四邊形的高），高比斜邊短，所以周長變小。（圖1）

【題目2】

師：那這一題呢？老師這里有20本練習(xí)本，它們摞成了一個長方體?，F(xiàn)在將這摞練習(xí)本均勻地斜放，這時朝前這個面變成了一個近似的平行四邊形。同學(xué)們仔細觀察，面積變了嗎？周長呢？（圖2）

師（引導(dǎo)）：斜放后，高度變了嗎？

生：高度沒變，都是20本練習(xí)本摞在一起的高度。

生：平行四邊形的底和長方形的長相等，都是練習(xí)本的同一條邊的長度。而平行四邊形的高就是長方形的寬，所以面積不變；周長和上一題差不多，兩條底邊沒變，但是長方形的兩條寬邊變成了兩條斜邊，所以周長變大了。

【題目3】

師：再來看一看，將一個長方形框架，拉成一個平行四邊形，這次面積變化了嗎？周長呢？（圖3）（學(xué)生自由討論）

教師拿出教具演示，學(xué)生觀察到：在將長方形拉成平行四邊形的過程中，長（平行四邊形的底）沒有發(fā)生變化，但是高在不斷變小，所以面積也在不斷變小，直至最后變?yōu)榱?。也就是說，拉成的平行四邊形越扁平，它的高就越短，面積也就越小。

生：我認(rèn)為周長是四條邊的和，雖然圖形扁了，但四條邊的長度始終沒有變化，所以周長不變，面積變小。

【對比歸納】

師：我們來看看剛才的3道題，都是在長方形與平行四邊形這兩個圖形之間進行轉(zhuǎn)化，為什么有時面積不變、周長變化，而有時卻是周長不變、面積變了呢？

生：因為它們的變化方式不一樣。

第一題，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，是圖形的分割、平移，整個過程面積不變；轉(zhuǎn)化后原平行四邊形的斜邊變成了長方形的寬（原平行四邊形的高），高比斜邊短，周長變小。

第二題，長方形變成近似的平行四邊形后，平行四邊形的底正好等于長方形的長，高正好等于長方形的寬，所以面積不變；周長變大，原長方形的寬（平行四邊形的高）變成了斜邊，斜邊比高長。

第三題，長方形框架拉成平行四邊形后，底不變，但是高在不斷減小，所以面積變?。坏珶o論怎樣拉，四條邊的長度始終不變，所以周長不變。

（三）反思總結(jié)

小學(xué)生面對繁雜的數(shù)學(xué)知識，往往不懂得歸納總結(jié)，所掌握的知識多是凌亂的，不能很好地用“邏輯化”的思維解答數(shù)學(xué)問題。因此，在習(xí)題處理上，一方面，教師要遵循教材的編寫意圖，體現(xiàn)出習(xí)題應(yīng)有的作用和價值；另一方面，教師要善于根據(jù)學(xué)生的實際情況和教學(xué)的現(xiàn)實需要，對習(xí)題進行歸類和辨析，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維邏輯更加清晰，讓學(xué)生學(xué)會通過一道題去解決這一類題目。在本案例中，學(xué)生在不同情境下，通過剪一剪、畫一畫、拉一拉、比一比等實踐活動，探索和感受平行四邊形面積、周長的變化過程，感受其中的規(guī)律及本質(zhì)。這不僅加深了學(xué)生對此類問題的印象，總結(jié)出了解決方法，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進學(xué)生的思維進階。

二、由淺顯到深刻，發(fā)展思維的批判性

（一）問題呈現(xiàn)

例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊第一單元“簡易方程”時，很多學(xué)生搞不清方程的本質(zhì)，還停留在算術(shù)思維階段，不會列方程。方程實際上就是講兩個故事，然后用等號連接。具體來說，兩個故事的主人公是同一個量，每個故事都可以用已知數(shù)和未知數(shù)來表達這個量，然后用等號連接起來。教師在帶領(lǐng)學(xué)生處理方程問題時，要注重培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，在解決問題的各個環(huán)節(jié)中追問、反問，引導(dǎo)學(xué)生用批判性的眼光看待問題。

（二）教學(xué)案例

【題目4】

將一批圖書分給五年級一班的學(xué)生，如果每人分3本，則還缺15本；如果每人分2本，則剩余25本。這個班有多少個學(xué)生？

師：題干中給了我們哪些條件，要解決什么問題？請同學(xué)們想一想，題目中什么是不變的？誰是故事主人公？

生：書的總數(shù)量和學(xué)生的人數(shù)是不變的。我認(rèn)為主人公是書的數(shù)量，題目求的是學(xué)生人數(shù)，可設(shè)為未知數(shù)，那么書的數(shù)量可以借助學(xué)生人數(shù)來表示。這樣可以講“每人分3本書”和“每人分2本書”這兩個故事，方程就列出來了。

列方程、解方程后，學(xué)生在檢驗環(huán)節(jié)時出現(xiàn)兩種情況：第一種，代入原方程中，看看左右兩邊是否相等；第二種，代入原題中看看是否符合題中的條件。那么哪種驗證方法正確呢？這時教師要引導(dǎo)學(xué)生：代入原方程只能檢驗算法的內(nèi)部性問題，比如結(jié)果是否算錯，但在實際問題中，我們要將結(jié)果代入原題中看看是否符合題意。

師：請同學(xué)們思考，還有沒有其他列方程的思路呢？主人公一定是圖書總數(shù)量嗎？

學(xué)生動筆思考，嘗試建立其他等量關(guān)系，教師巡視發(fā)現(xiàn)，大體出現(xiàn)3種情況：

用兩個式子表示每人分3本的圖書數(shù)量：3x=2x+25+15;

用兩個式子表示每人分2本的圖書數(shù)量：3x-25-15=2x;

用兩個式子表示班級總?cè)藬?shù)：x=（25+15）÷（3-2）。

這一環(huán)節(jié)教師要引導(dǎo)學(xué)生對比發(fā)現(xiàn)：最后一種方法，方程左邊只有一個x，很容易出錯。這種方法本質(zhì)上就是算術(shù)方法，未知數(shù)離故事的主人公最近，即未知數(shù)本身作為相等關(guān)系的量，這樣的方程最復(fù)雜，也失去了列方程解答的意義。

（三）反思總結(jié)

本案例中，教師通過不斷地追問學(xué)生來促進學(xué)生進行深入思考，從而強化學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識。不僅僅是在方程的學(xué)習(xí)中，任何一道題的解決，教師都應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生帶著批判性的眼光去分析，通過培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，使學(xué)生更加全面、客觀和有邏輯地處理問題。具體來講，做題時要做到四問：

問題一：條件與問題是否清晰？

審題錯誤對于小學(xué)生來說十分常見。學(xué)生對條件和問題的理解錯誤，一方面是由于學(xué)生自身的語言理解能力有所欠缺，另一方面是由于問題情境的敘述本身比較復(fù)雜。如果學(xué)生初次列出算式后，再回過頭來讀一讀題目，重新理順一下數(shù)量關(guān)系，有可能發(fā)現(xiàn)錯誤并糾正。

問題二：依據(jù)什么數(shù)量關(guān)系得出算式？

這一類問題解決的是學(xué)生沒有根據(jù)、想當(dāng)然地列式的問題。特別是對于數(shù)量關(guān)系并不明朗的題目，有些學(xué)生會不假思索地列出算式。這時候教師就要引導(dǎo)學(xué)生進行反思：“根據(jù)什么數(shù)量關(guān)系得出的算法？”“此算法的依據(jù)是什么？”

問題三：結(jié)果是否能夠檢驗？

這一類問題主要是解決結(jié)果的合理性問題。有些檢驗是邏輯性檢驗，解決的是算法內(nèi)部性問題，如結(jié)果是否算錯。有些檢驗是事實性檢驗，可以將結(jié)果帶入原題進行檢驗，看看結(jié)果是否符合題意。

問題四：有沒有其他更好的思路？

這一類問題主要解決算法多樣性及優(yōu)選的問題。有些題目可以有多種思路和算法，在多種思路之間，有的具有可比性，有的不具有可比性。具有可比性的思路就需要進行優(yōu)選，優(yōu)選思路實質(zhì)上就是優(yōu)化學(xué)生的思維。學(xué)生用某種算法解決問題后，如果覺得這種算法比較復(fù)雜，就更加需要質(zhì)疑：“有沒有更好的思路？”

三、由模仿到創(chuàng)造，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性

（一）問題呈現(xiàn)

一般來說，對于每一單元的教學(xué)教師都有現(xiàn)成的、固定的、相匹配的教學(xué)方法。雖然這樣的教學(xué)方法對于教學(xué)質(zhì)量有一定保障，但是這樣的教學(xué)方式一定程度上也限制了對學(xué)生的創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)，減少了學(xué)生自主解決問題的機會。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)過基本的平面圖形后（除圓外），教師可以將課后練習(xí)進行改編，將關(guān)注的重點更多地放在學(xué)生的思考過程上，打破學(xué)生的思維定式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（二）教學(xué)案例

【題目5】

蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊第42頁“想想做做”第2題。

下面是計算圖形周長的算式：

（1）（5+2）×2=14（厘米）

（2）3×4=12（厘米）

請你想一想這兩個圖形可能是什么形狀，試著畫一畫，盡可能多地畫出符合要求的圖形。

師：同學(xué)們，這是我們?nèi)昙壴?jīng)做過的練習(xí)，如果老師現(xiàn)在將題目反過來問，從我們目前已學(xué)知識出發(fā)，請你充分發(fā)揮想象，這兩個圖形可能是什么形狀？自己畫一畫。

以算式“3×4=12”為例。

題目要求呈現(xiàn)后，大部分學(xué)生存在思維定式，只能暫時畫出邊長是3厘米的正方形（圖4中的①圖），這時教師可以啟發(fā)學(xué)生：

一定是正方形嗎？還可以是什么圖形？學(xué)生想到還可以是四條邊為3厘米的平行四邊形。（圖4中的②圖）

一定是四邊形嗎？想一想，算式“3×4=12”還可以怎樣理解？學(xué)生想到還可以看成是“3個4”，那么邊長是4厘米的等邊三角形也可以。（圖4中的③圖）

一定是規(guī)則圖形嗎？回憶我們以前的實踐課“周長是多少”，還可以是什么圖形？學(xué)生想到還可以是不規(guī)則圖形，比如“階梯型”。（圖4中的④圖）

生：那“凹凸型”也一定可以，通過平移都能轉(zhuǎn)化成正方形！這樣的話，可以畫出無數(shù)個平面圖形了。

（三）反思總結(jié)

在日常的練習(xí)教學(xué)中，教師不僅要營造良好的學(xué)習(xí)氣氛，給學(xué)生提供一個大膽提出新看法的平臺，更重要的是，教師要對教學(xué)內(nèi)容進行認(rèn)真的思考，找到能夠讓學(xué)生接受的一題多變的題目，從而激發(fā)學(xué)生解題的靈感，促進學(xué)生思維的發(fā)展。如果教材中很難找到這樣類型的題目，那么教師就需要集思廣益，在開始教學(xué)之前進行題目的再創(chuàng)造。本案例中，教師利用逆向思維給出計算周長的算式，由于思維定式，學(xué)生起初只能想到“邊長是3厘米的正方形”，這時教師通過逐層遞進的追問來啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生：一定是正方形嗎？一定是四邊形嗎？一定是規(guī)則圖形嗎？從不同角度、方法和知識模塊入手，通過思考和解題的過程，讓學(xué)生體會到不同思路之間的融會貫通。一題多變的教學(xué)方式能引導(dǎo)學(xué)生從多角度看待問題，拓展學(xué)生的思維，強化學(xué)生的推理意識和創(chuàng)新意識，從而促進思維進階。

總之，思維進階是一個由淺入深、由表及里的發(fā)展過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地對教材習(xí)題進行整合與改編，不斷引導(dǎo)學(xué)生將一個個具體的數(shù)學(xué)方法升華為一般性策略，使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)超越具體的知識和技能，深入到思維層面，促進學(xué)生在解決問題的過程中更好地發(fā)展思維的邏輯性、批判性和創(chuàng)新性，實現(xiàn)思維進階。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.