數(shù)學(xué)建模教學(xué)的調(diào)查研究與實(shí)踐

【摘 要】模型意識(shí)在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中被確立為小學(xué)階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，然而調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生的建模意識(shí)與能力不容樂觀。小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)運(yùn)用“三模一評(píng)”的教學(xué)框架，結(jié)合學(xué)評(píng)調(diào)控，幫助學(xué)生有效樹立建模意識(shí)，提升建模能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模教學(xué) 模型意識(shí) 教學(xué)框架

數(shù)學(xué)模型已被廣泛地運(yùn)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。建模是具體的現(xiàn)實(shí)生活通往數(shù)學(xué)世界的橋梁，可以幫助人們?cè)诩姺睆?fù)雜的表象中，用數(shù)學(xué)的眼光看透事物的本質(zhì)，從而找到解決問題的途徑，它是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出：“小學(xué)階段，核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)?！蹦敲?，目前學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)和建模水平是一種什么狀況呢？在近年蘇州市義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中，以網(wǎng)上購物這一日?；顒?dòng)為問題情境，題干包含了圖表、廣告等非連續(xù)性文本信息，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)進(jìn)行考查，監(jiān)測(cè)結(jié)果顯示僅有 1.8%的學(xué)生得滿分，情況非常不理想，特別表現(xiàn)為學(xué)生缺乏使用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行說理的能力和意識(shí)。

學(xué)生的建模能力的培養(yǎng)離不開教師。為此，筆者設(shè)計(jì)了“小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)教師調(diào)查問卷”，旨在通過本次調(diào)查能夠了解目前張家港市城北小學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)現(xiàn)狀。發(fā)放對(duì)象為學(xué)校全體數(shù)學(xué)教師，問卷回收率100%。其中有一個(gè)問題：您了解什么是數(shù)學(xué)建模嗎？

從對(duì)這個(gè)問題的調(diào)查數(shù)據(jù)來看，全體教師對(duì)于數(shù)學(xué)建模是不太了解的，有的甚至沒有聽說過，在后續(xù)的交流訪談中，發(fā)現(xiàn)這部分教師主要是年齡偏大的教師。27.78%的教師對(duì)于建模一點(diǎn)都不了解，72.22%的教師對(duì)于建模概念是非常模糊的。進(jìn)一步調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，很多教師是從教師培訓(xùn)和其他渠道聽說數(shù)學(xué)建模概念的，但并沒有留下深刻的印象，參加聽課活動(dòng)了解到的教師只占5.56%，這反映出在日常的教學(xué)中，不但是學(xué)校教師建模意識(shí)薄弱，整個(gè)區(qū)域的教師對(duì)于建模教學(xué)的研究也是屈指可數(shù)的，這樣的情況著實(shí)令人擔(dān)憂。在隨即組織的教學(xué)質(zhì)量分析與教師訪談中，也發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣不濃，思維混亂，在解決問題時(shí)缺乏有效的方法與策略，不會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的能力更是非常薄弱……可見，教師建模意識(shí)薄弱、建模教學(xué)水平低下，阻礙了學(xué)生建模能力提升。努力探索出一套教師可操作的建模教學(xué)模式，幫助學(xué)生掌握一些切實(shí)可行的建模的方法是提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平的關(guān)鍵。

本研究試圖找到一種遵循學(xué)生心智活動(dòng)規(guī)律、符合學(xué)生需求的教學(xué)主張，以建立數(shù)學(xué)模型、提升學(xué)生解決問題的能力為教學(xué)目標(biāo)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通過案例分析、課堂研討、教學(xué)檢測(cè)等手段深入課堂，分析問題，探究其深層次原因，結(jié)合一系列的實(shí)踐活動(dòng)，最終確立了以課堂為陣地、以教學(xué)為抓手、以解決問題為載體，形成了“三模一評(píng)”的教學(xué)框架，即“定?！！媚！?，結(jié)合學(xué)評(píng)調(diào)控，提升小學(xué)數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)學(xué)生建模的水平，發(fā)展其組織、創(chuàng)新教學(xué)活動(dòng)的專業(yè)素養(yǎng)，努力培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。

一、定模：深挖模型思想

眼界決定境界。模型是一個(gè)知識(shí)體系的核心，它的建立影響到學(xué)生學(xué)習(xí)的整個(gè)過程以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。一個(gè)教師能否深度挖掘數(shù)學(xué)模型思想，往往決定著他的教學(xué)深刻性和數(shù)學(xué)課堂的品質(zhì)。因此，教學(xué)前，教師要精心研究教材，甚至要了解整個(gè)知識(shí)體系的來龍去脈，認(rèn)真琢磨每一個(gè)具體的教學(xué)內(nèi)容中隱藏的數(shù)學(xué)模型，確定教學(xué)核心。站在制高點(diǎn)，俯瞰本節(jié)課的教學(xué)，明確本節(jié)課需要滲透哪些模型思想、怎么幫助學(xué)生建模、建立的模型和建模的過程對(duì)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)具有怎樣的影響。以蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)幾分之一”教學(xué)為例，這是學(xué)生第一次接觸分?jǐn)?shù)，雖然教材沒有出示分?jǐn)?shù)的概念，但作為教師首先要做到心中有數(shù)。分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是什么？把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)。這個(gè)單位“1”可以是一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或由許多物體組成的一個(gè)整體。在教學(xué)時(shí)，教師始終要圍繞這一核心進(jìn)行教學(xué)，為后續(xù)的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)注入強(qiáng)勁的、可持續(xù)發(fā)展的生命力。

二、建模：觸摸模型本質(zhì)

用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，要求從錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系中找出其內(nèi)在規(guī)律，然后用數(shù)字、圖表、符號(hào)和公式將它表示出來，再經(jīng)過數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的處理，得出供人們分析、決策、預(yù)報(bào)或者控制定量的結(jié)果，這種將實(shí)際問題進(jìn)行簡化歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題并求解的過程就是數(shù)學(xué)建模。簡單而言，建模的過程實(shí)際就是“數(shù)學(xué)化”的過程。具體可以從以下幾個(gè)方面著手：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，聚焦問題

數(shù)學(xué)模型的建立要以具體問題為載體。一個(gè)好的問題不但能激發(fā)學(xué)生探索的興趣，而且可以幫助其領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義，透徹體會(huì)數(shù)學(xué)思想和方法。教師可創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平相符合的情境，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行抽象和整理，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、聚焦問題，并以此為“導(dǎo)火索”，引發(fā)思維的碰撞。如教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)圖形”時(shí)，教學(xué)伊始，教師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的玩積木場(chǎng)景。在此基礎(chǔ)上，教師提出了問題“怎樣才能將積木整理得整齊一些？”，激發(fā)學(xué)生去思考，引導(dǎo)學(xué)生把具有相同特征的物體歸在一起，帶領(lǐng)學(xué)生想一想并說一說“為什么把它們歸為一類”，以此幫助學(xué)生探索、歸納、抽象、概括出立體圖形的特征，建立立體圖形的模型，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的過渡。

（二）透析表象，凸顯本質(zhì)

本質(zhì)是事物的內(nèi)部聯(lián)系，決定事物的性質(zhì)與發(fā)展，而表象是本質(zhì)的外在表現(xiàn)。從這個(gè)方面來說，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)尋找本質(zhì)的過程。教師需要給學(xué)生提供豐富的、感性的材料，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷去偽存真、去繁取精、由表及里、由此及彼的探索研究過程，通過尋找各種元素間的共同特點(diǎn)或相互關(guān)系，探尋事物的本質(zhì)?？梢宰寣W(xué)生在“猜測(cè)與驗(yàn)證”中建立模型，也可以在“分析與歸納”中建立，還可以在“抽象與概括”中實(shí)現(xiàn)。

如教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“長方形的面積”時(shí)，教師首先出示一個(gè)長方形，請(qǐng)學(xué)生指一指它的面積。動(dòng)畫演示：（1）寬不變，長變長了;（2）長不變，寬變長;（3）長和寬都縮短。教師請(qǐng)學(xué)生逐個(gè)說說面積是怎么變的，引導(dǎo)學(xué)生思考：長方形的面積與什么有關(guān)？接著，教師出示一個(gè)長5厘米、寬3厘米的長方形，讓學(xué)生以小組合作的方式測(cè)出這個(gè)長方形的面積。學(xué)生用擺放邊長是1厘米的小正方形的方式測(cè)出長方形的面積為15平方厘米。在此基礎(chǔ)上教師引導(dǎo)學(xué)生猜想：長方形的面積與長和寬有什么關(guān)系？學(xué)生小組合作進(jìn)行驗(yàn)證，用邊長是1厘米的小正方形，擺出不同的長方形，記錄好它們的長、寬、面積，并進(jìn)行匯報(bào)。最后，教師請(qǐng)學(xué)生歸納總結(jié)長方形的面積計(jì)算公式。

在這個(gè)教學(xué)過程中，教師從學(xué)生對(duì)面積的已有認(rèn)知出發(fā)，通過長方形的變化讓學(xué)生初步直觀地感受到長方形面積與長和寬的關(guān)系，再從個(gè)別的例子出發(fā)進(jìn)行猜想，并進(jìn)行驗(yàn)證。豐富的體驗(yàn)為歸納總結(jié)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，最終促使學(xué)生建立了長方形面積計(jì)算的模型。

透析表象，凸顯本質(zhì)的過程需要注意以下三個(gè)方面：

1.運(yùn)用多種方式，構(gòu)建概念，構(gòu)造關(guān)系或結(jié)構(gòu)

每個(gè)人都具有不同的智能和智能結(jié)構(gòu)。因此，每個(gè)人的學(xué)習(xí)方式也會(huì)有所差異，獲得的認(rèn)知也是深淺不一、側(cè)重點(diǎn)有所不同的。教師需要構(gòu)建一個(gè)主動(dòng)的學(xué)習(xí)過程，認(rèn)真聽講、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流等都應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。特別是合作交流，師生間、生生間的交流，有助于促進(jìn)不同的個(gè)體取長補(bǔ)短、由淺入深、由片面走向全面，從而構(gòu)建每個(gè)學(xué)生都能理解的數(shù)學(xué)模型。

2.檢驗(yàn)、反思模型的正確性與合理性

一方面教師要在解決問題的過程中重新審視建模的每一個(gè)環(huán)節(jié)，包括思考的角度與方法、推理的過程、計(jì)算的對(duì)錯(cuò)、有無疏忽等；另一方面教師要用逆向思維把結(jié)果代入原題，進(jìn)行檢驗(yàn)。模型基本建構(gòu)完成后，教師需要返回現(xiàn)實(shí)問題中，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ团c現(xiàn)實(shí)問題的契合度，用實(shí)際現(xiàn)象、實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m應(yīng)性，確定數(shù)學(xué)模型的有效性。

3.重視數(shù)學(xué)模型表達(dá)的規(guī)范性、多樣性

數(shù)學(xué)模型表達(dá)的形式是多樣的，可以是口頭語言的形式，也可以是書面的形式，如文字、公式、符號(hào)、畫圖等，但無論怎樣表達(dá)都要體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的核心與本質(zhì)，做到數(shù)學(xué)模型的多樣性與規(guī)范性的統(tǒng)一。表達(dá)是學(xué)生思維的外顯，重視模型表達(dá)即重視學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)模型的理解。表達(dá)能力的培養(yǎng)不是一朝一夕就能完成的，而是一個(gè)長期的過程。教師平時(shí)要有意識(shí)地示范，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達(dá)，及時(shí)點(diǎn)撥、指導(dǎo)學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生積極表達(dá)，給予學(xué)生表達(dá)的機(jī)會(huì)與時(shí)間。

三、用模：提升學(xué)生素養(yǎng)

不同的數(shù)學(xué)知識(shí)、不同的數(shù)學(xué)問題常?？梢詺w納為同一種數(shù)學(xué)模型。平時(shí)教學(xué)，教師要多給學(xué)生創(chuàng)造這種“一模解多題”的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生溝通不同數(shù)學(xué)知識(shí)、不同數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系和相同點(diǎn)，鞏固和深化數(shù)學(xué)模型。鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問題，促進(jìn)學(xué)生抽象能力和分析能力的提升，使其感受到建模的價(jià)值與意義，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與建模的主動(dòng)性；同時(shí)使用變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)條件變化帶來的關(guān)系與結(jié)構(gòu)的變化，激發(fā)學(xué)生用模的靈活性。如在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”時(shí)，在學(xué)生解決完不同情境但屬于同一類的問題后，教師抽象出線段圖模型。見圖1。

接著，讓學(xué)生根據(jù)線段圖創(chuàng)編一個(gè)能用本課所學(xué)的知識(shí)解答的問題，并列式解答。學(xué)生一個(gè)個(gè)躍躍欲試。有的學(xué)生編了這樣一道題目：白兔和灰兔一共有50只，白兔占了總數(shù)的，灰兔有多少只？有的學(xué)生則編的是看書的情況……在一個(gè)個(gè)生動(dòng)的情境中，學(xué)生對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型有了更深的認(rèn)識(shí)，明白了面對(duì)這一類題，可以先用一個(gè)數(shù)的幾分之幾，求出部分量，再用總量減去部分量算出另一個(gè)部分量；也可以先求出問題所對(duì)應(yīng)的分率，轉(zhuǎn)化成之前所學(xué)的求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，溝通本節(jié)課與之前知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系。在課的最后，教師讓已知條件進(jìn)行變化，出現(xiàn)了單位“1”未知的情況（圖2）。

學(xué)生通過列方程，發(fā)現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系與前面的題目是一致的。學(xué)生經(jīng)歷了模型從具體到抽象又從抽象到具體的過程，變式的出現(xiàn)，讓學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)模型的感知更為清晰，有效地幫助學(xué)生樹立了建模意識(shí)、用模意識(shí)，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升。

四、學(xué)評(píng)：實(shí)現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)

評(píng)價(jià)的主要目的是全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)和教師改進(jìn)教學(xué)。教師要觀察在動(dòng)態(tài)的建模過程和靜態(tài)的模型表達(dá)中學(xué)生的表現(xiàn)，結(jié)合學(xué)生用模的成績進(jìn)行數(shù)據(jù)化分析，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象、推理、建模等學(xué)生關(guān)鍵能力水平的發(fā)展進(jìn)行評(píng)價(jià)。通過橫向和縱向比較，反思教學(xué)、調(diào)整教學(xué)，努力實(shí)現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)化。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生建立模型思想、樹立建模意識(shí)、提升建模能力有著重要的教育與教學(xué)價(jià)值，作為教師，只有了解模型思想的內(nèi)涵，弄清建模的方法、一般過程和特點(diǎn)，才能做到有的放矢。