新課標(biāo)背景下培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的思考與實(shí)踐

【摘要】實(shí)施促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動(dòng)，教師可通過一題多解、解題方法提煉、多思巧問、總結(jié)基本圖形等策略培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考。培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極的情感態(tài)度和價(jià)值觀，從而促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的有效提升。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);一題多解；基本圖形;發(fā)散性思維

新課程目標(biāo)的確定，立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人價(jià)值。在基礎(chǔ)教育階段，應(yīng)該幫助學(xué)生形成適應(yīng)個(gè)人發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的品格和解決問題的素養(yǎng)與關(guān)鍵能力，立德樹人。

一、發(fā)散性思維培養(yǎng)的必要性

發(fā)散性思維是創(chuàng)新意識(shí)的基礎(chǔ)。發(fā)散性思維（Divergent Thinking），又稱輻射思維、放射思維、擴(kuò)散思維或求異思維，是從不同角度、不同層面、不同維度正反兩方面分析問題。因而視野開闊，思維活躍，會(huì)產(chǎn)生大量新穎的解題思路?？梢酝ㄟ^“一題多解”“一事多寫”“一物多用”等方式培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力。幾何題往往會(huì)出現(xiàn)開放性、非常規(guī)、一題多解等特征，這些特征都跟發(fā)散性思維有密切聯(lián)系，所以對(duì)幾何題的一題多解更容易培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。注意從小培養(yǎng)發(fā)散性思維，才能為創(chuàng)新人才培養(yǎng)打下良好的基礎(chǔ)。

二、發(fā)散性思維培養(yǎng)的有效性

核心素養(yǎng)落實(shí)的陣地在于課堂，實(shí)踐在于師生。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何以平面幾何為主。其中圖形的運(yùn)動(dòng)是難點(diǎn)，圖形的運(yùn)動(dòng)包括平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，特別是翻折、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是難中之難。筆者以一題多解的方式幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，順便復(fù)習(xí)整個(gè)初中幾何體系。一題多解是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的有效途徑，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，也為創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)鋪路。本文將從翻折、旋轉(zhuǎn)的一題多解為例來談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，最后培養(yǎng)出具有創(chuàng)新意識(shí)的人才。

三、一題十解發(fā)散性思維探究

題目：如圖，已知在中，，BC=3，AC=4，點(diǎn)D是線段BC上的一點(diǎn)，把沿直線AD翻折，使AC正好與AB重合，求線段BD的長(zhǎng)。

解析：本題運(yùn)用了初中大部分幾何知識(shí)。這些知識(shí)雖出現(xiàn)在不同年級(jí)、不同章節(jié)，但是是相互聯(lián)系的，又是螺旋式上升的。各種方法的出現(xiàn)符合學(xué)生年齡特征和認(rèn)知規(guī)律。對(duì)素養(yǎng)的培養(yǎng)也是逐漸遞增的，從抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念，到推理能力、模型觀念，甚至創(chuàng)新意識(shí)。

1.六七年級(jí)方法，構(gòu)造圖形結(jié)構(gòu)，總結(jié)基本圖形。目標(biāo)是通過實(shí)踐掌握“圖形的性質(zhì)”。

方法（1）面積法：過D作DE⊥AB，垂足為E，先證明≌或者由角平分線定理可得CD=DE。

再由S△ABC=S△ACD+S△ABD

×3×4＝×4×CD+×5×DE

得CD=，則BD=

解析：在七年級(jí)第一學(xué)期第十一章圖形的運(yùn)動(dòng)中，我們剛學(xué)習(xí)了圖形的翻折和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。很多有效方法還沒學(xué)習(xí)，本方法利用六年級(jí)三角形面積和七年級(jí)全等三角形解答。

2.八年級(jí)方法，構(gòu)造圖形結(jié)構(gòu)，結(jié)合方程函數(shù)坐標(biāo)系。目標(biāo)感悟數(shù)形結(jié)合掌握“圖形與坐標(biāo)”。

方法（2）勾股定理法：設(shè)CD=DE=x，由全等可知AE=CA=4，BE=1，BD=3-x，由勾股定理BD2=DE2+BE2（3-x）2=x2+12，x=，則DE=3-x=

解析：在八年級(jí)第一學(xué)期第十九章幾何證明中學(xué)習(xí)了勾股定理。本方法利用這個(gè)定理解出了這一題，間接證明了勾股定理可以用面積法證明，因?yàn)樯弦环N方法是面積法解出的。

方法（3）數(shù)形結(jié)合函數(shù)法：如圖，建立直角坐標(biāo)系，并延長(zhǎng)AD交y軸于F，由角平分線和AC平行

于y軸得，所以BF=AB=5，A（3，4），F(xiàn)（0，-5）易得直線AF：y=3x-5當(dāng)y=0，則BD=

解析：在八年級(jí)第二學(xué)期第二十章一次函數(shù)的學(xué)習(xí)后，學(xué)生可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)解出本題，也為以后的解析幾何的學(xué)習(xí)埋下種子。

3.九年級(jí)方法，常見基本圖形，適用范圍更廣。目標(biāo)提升抽象能力掌握“圖形的變化”。

方法（4）8字型法：過B作BF∥AC交AD的延長(zhǎng)線F，由角平分線和平行易得，

所以BF=AB=5，由三角形一邊的平行線性質(zhì)定理得，

解析：在九年級(jí)第一學(xué)期第二十四章相似三角形平行線性質(zhì)定理學(xué)習(xí)后，利用定理的比例式解決本題，并順便抽象出“8字形”?！?字形”是初中的常用的基本圖形，必須記住并熟練運(yùn)用。

方法（5）A字型法：過D作DG∥AC交AB于G，由角平分線和平行易得∠GDA=∠GAD，所以DG=AG

由三角形一邊的平行線性質(zhì)定理得，

，，，，

解析：“A字形”也是通過三角形一邊的平行線性質(zhì)定理總結(jié)出的基本圖形。同樣“A字形”也是初中必須掌握的基本圖形。對(duì)基本圖形的熟練才能更快更準(zhǔn)確地解出題目。

方法（6）相似三角形法：設(shè)CD=DE=x，由△BDE∽△BAC得得，BD=3-x=

解析：在九年級(jí)第一學(xué)期第二十四章中學(xué)習(xí)了相似三角形，相似法是對(duì)三角形一邊的平行線定理的進(jìn)一步歸納提煉并總結(jié)。適用的范圍更廣，能解決的題型更多。

方法（7）三角比法：由，得，CD=DE=，則BD=BC-CD=

解析：在九年級(jí)第一學(xué)期第二十五章銳角的三角比中，可以利用三角比的性質(zhì)使格式更簡(jiǎn)單。

4.拓展內(nèi)容法，抽象幾何圖形，解題快速方便。目標(biāo)提高學(xué)生應(yīng)用意識(shí)。

方法（8）角平分線成比例法：由角平分線分線段成比例定理三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。（可以由面積法證明）

解析：本方法利用拓展知識(shí)，角平分線成比例法，是對(duì)面積法的深刻理解，當(dāng)然也可以用上面的“8字形”互相證明。說明很多定理之間相互聯(lián)系，并且相互印證的。

方法（9）割線定理法：以線段AD為直徑畫圓，因?yàn)椤螦CD是直角，所以點(diǎn)C在圓上，記圓與AB的交點(diǎn)為E，AD是直徑，AD平分∠BAC，易得AE=AC=4，BE=1由割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段的積相等。

BD·BC=BE·BA，3BD=1×5，BD=

解析：在九年級(jí)第二學(xué)期拓展二第二章直線和圓中的割線定理。本方法巧妙的利用了割線定理解決，同時(shí)說明了圓的知識(shí)在幾何證明中也非常有用，并且也比較簡(jiǎn)單。

5.高中解題法，從模型觀念到數(shù)據(jù)觀念。目標(biāo)為初中高中知識(shí)的過渡。

方法（10）半角倍角法：通過上面的方法可知

∠BAC的正切是，它的半角∠DAC的正切是。同時(shí)也可以得到∠ABC的正切是，它的半角∠CBE的正切是這樣可知正切是和的兩個(gè)角的和是45°。記住這些結(jié)論以后填空選擇題碰到可以秒解。

，得，

，

解析：在高中一年級(jí)第二學(xué)期第五章三角比中

半角倍角公式如。利用這些

公式可以快速轉(zhuǎn)化半角和倍角的三角比。

四、發(fā)散性思維促進(jìn)創(chuàng)新意識(shí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若將經(jīng)典例題充分挖掘一題多解。注重對(duì)例題等認(rèn)真教學(xué)，不但可以在初三復(fù)習(xí)階段抓好基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，還可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望。一題多解是讓學(xué)生跳出單一思維模式，多種角度、多方位審視分析題目，而不是局限于某個(gè)知識(shí)點(diǎn)、某個(gè)章節(jié)，甚至某個(gè)體系，從而深刻理解某些題型。一題多解是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的常用而有效的方法，遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，遵循了發(fā)散性思維培養(yǎng)的規(guī)律，螺旋上升，逐段遞進(jìn)。一題多解也是課堂教學(xué)的一次重要反饋，在學(xué)習(xí)幾種解法后，用另外幾種解法檢驗(yàn)是否學(xué)會(huì)。在實(shí)際教學(xué)過程中，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，用不同章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)多方向、多緯度的分析問題，充分發(fā)揮自己的想象力、判斷力、思考力。經(jīng)常讓學(xué)生多思考更多方法，一題多解，這樣發(fā)散性思維也會(huì)慢慢培養(yǎng)出來。發(fā)散性思維是創(chuàng)造意識(shí)的前提，只有不斷提升發(fā)散性思維，才能培養(yǎng)出具有創(chuàng)新意識(shí)的人才。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.