我們需要怎樣的數(shù)學(xué)教育

摘 要：從數(shù)學(xué)教育的角度看，2024年高考數(shù)學(xué)試題對落實(shí)核心素養(yǎng)教育進(jìn)行了較大幅度的探索。數(shù)學(xué)教育要培養(yǎng)具有自我意識和主體自覺的人，也就要拋棄“刷題”“套路”“押題”等應(yīng)試訓(xùn)練那一套。進(jìn)而，數(shù)學(xué)要教知識，更教原理；教推理，更教想象；教學(xué)生“學(xué)會學(xué)習(xí)”。為此，數(shù)學(xué)教育要注意建立高觀點(diǎn)，加強(qiáng)直觀化，從現(xiàn)象出發(fā)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育；高考試題；主體自覺；高觀點(diǎn)；直觀化

核心素養(yǎng)教育的根本宗旨是培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”，落實(shí)到操作層面是培養(yǎng)人的“必備品格和關(guān)鍵能力”。這是我國對教育的頂層設(shè)計(jì)。為了落實(shí)這個(gè)頂層設(shè)計(jì)，新一輪的高考改革醞釀已久。從2019年的《中國高考評價(jià)體系》確立標(biāo)準(zhǔn)，到2021—2023年的“適應(yīng)性考試”和高考試卷釋放出強(qiáng)烈的信號，再到2024年的高考試卷進(jìn)行了較大幅度的探索，引起了廣泛的討論。

2024年6月7日，也就是高考數(shù)學(xué)考試結(jié)束的當(dāng)天，教育部教育考試院就發(fā)布了《2024年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析》（以下簡稱《試題評析》）一文［1］。其中，不僅談了“試題評析”，還談了試題的命制意圖，更多次談及人文關(guān)懷和國家戰(zhàn)略。毫無疑問，這份文件更大的主旨在于闡發(fā)育人和選材的規(guī)劃，它預(yù)示著一種前景。

我們應(yīng)該站在教育的角度看試卷，而不是站在試卷的角度看教育。用洞穴做類比的話，即洞穴人剛剛覺悟時(shí)應(yīng)該“打開洞門看世界”，走出洞穴后則應(yīng)當(dāng)“站在世界看洞穴”。本文主要從數(shù)學(xué)教育的角度看2024年高考數(shù)學(xué)試題——主要是新課標(biāo)Ⅰ卷和Ⅱ卷的試題。

一、 數(shù)學(xué)教育要培養(yǎng)怎樣的人

“必備品格”和“關(guān)鍵能力”以人的自我意識和主體自覺為前提。如果一個(gè)人意識不到自己是獨(dú)立的，不能自主規(guī)劃和控制自己的行為，也就談不上品格和能力。人本主義教育首先承認(rèn)“人”的存在和獨(dú)立。教育“四大要素”（教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段）中，人是最終目的，而不是任何形式的工具。教育必須基于學(xué)生的興趣、偏好、個(gè)性和天賦，否則不僅沒有意義，還會造成效率低下和人才浪費(fèi)。

《試題評析》的第一句話就是“2024年高考數(shù)學(xué)全國卷試題持續(xù)深化考試內(nèi)容改革，考主干、考能力、考素養(yǎng)，重思維、重創(chuàng)新、重應(yīng)用，突出考查思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力”。這里對人的突出要求就是“思維”。同時(shí)，高考其余各科考查也都把思維放在最突出的位置。比如，語文學(xué)科提出的是“鼓勵(lì)青少年……提高思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)創(chuàng)新精神”。而思維只能是“思維者的思維”，外人不能包辦，更不能替代。

《試題評析》接下來又說道：“新課標(biāo)卷創(chuàng)設(shè)全新的試卷結(jié)構(gòu)，減少題量，給學(xué)生充足的思考時(shí)間，加強(qiáng)思維考查，強(qiáng)化素養(yǎng)導(dǎo)向，給不同水平的學(xué)生提供充分展現(xiàn)才華的空間，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才選拔?！薄皩W(xué)生不必過多地關(guān)注做題的進(jìn)度和速度，可以更專注、更深入地思考，更從容地試錯(cuò)?！边@里對人的關(guān)注就更具體，也更突出了?！皬娜菰囧e(cuò)”這樣的說法是此前從沒有過的，它遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了“學(xué)會知識”“掌握技能”以及“領(lǐng)會思想”的層次，而達(dá)到了“養(yǎng)成精神”的高度。

強(qiáng)調(diào)人的自我意識和主體自覺，必然要拋棄把人當(dāng)作工具（不管是什么形式的工具）的教育觀，也就要拋棄“刷題”“套路”“押題”等應(yīng)試訓(xùn)練那一套。反復(fù)“刷題”練成的“做題家”，主要是把老師或書本告訴他們的方法再現(xiàn)出來，鮮有自己的主見和創(chuàng)見，這與全面育人以及創(chuàng)新意識培養(yǎng)背道而馳?！胺刺茁贰薄胺囱侯}”等命題理念在2022年就被提出來了，這不僅是命題技術(shù)的問題，其旨趣可謂宏大。

例1 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第8題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）＞f（x-1）+f（x-2），且當(dāng)x＜3時(shí)，f（x）=x，則下列結(jié)論中一定正確的是（" ）

A. f（10）＞100

B. f（20）＞1000

C. f（10）＞1000

D. f（20）＞10000

這道題考查了抽象函數(shù)。抽象函數(shù)是考查函數(shù)性質(zhì)最深刻和有力的工具，對抽象思維、數(shù)學(xué)建模等有較高的要求。對這道題，熟悉邏輯推理和不等式的學(xué)生無須任何計(jì)算即可排除選項(xiàng)C、D，再在選項(xiàng)A、B中做簡單的推算即可得到正確答案，因此，數(shù)學(xué)素養(yǎng)高的學(xué)生更容易獲得高分。平常的教學(xué)中，師生大多研究具體函數(shù)的性質(zhì)，容易忽略抽象函數(shù)常見性質(zhì)的證明和探索。這道題讓考生無法“回想套路”，只能靠自己的思考來“解決問題”，選拔人才和引導(dǎo)教學(xué)的效果都非常好。

例2 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第8題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，則a2+b2的最小值為（" ）

A. 18

B. 14

C. 12

D. 1

日常的教學(xué)中，教師會訓(xùn)練學(xué)生解一次不等式、二次不等式乃至其余的函數(shù)不等式，如（x-a）（x-b）＞0的類型。這道題把一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)結(jié)合起來構(gòu)造不等式，體現(xiàn)為（x+a）ln（x+b）＞0的類型，別開生面。對此，學(xué)生沒有什么套路可以遵循，而當(dāng)他領(lǐng)會了不等式的含義后，轉(zhuǎn)化為y=x+a和y=ln（x+b）兩個(gè)增函數(shù)有相同的零點(diǎn)，再通過消元把a(bǔ)2+b2轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，就非常容易了。這真正實(shí)現(xiàn)了“多思少算”的目的。學(xué)生可以憑借直覺跳過嚴(yán)密的邏輯推理，迅速把握問題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)條件的轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

學(xué)生應(yīng)該成為有獨(dú)立人格，會思考、能判斷、有智慧、敢批判、能創(chuàng)新的人，國家也正需要這樣的人。不能面對新問題的人也不能面對新世界。數(shù)學(xué)教育該做也能做的就是提供“非標(biāo)準(zhǔn)化”“非套路化”的問題。這是最簡單的一條路徑了。

二、 數(shù)學(xué)應(yīng)該教什么

教什么永遠(yuǎn)比怎么教更重要。教什么決定學(xué)生成為怎樣的人，怎么教決定他們成為那樣的人的速度和程度。

（一） 教知識，更教原理

所有的教學(xué)都離不開知識，但是，知識不單指列在教材上的一個(gè)個(gè)結(jié)論，也不單指列在教輔上的一個(gè)個(gè)題型，那些都是碎片化的。靠碎片化的知識不能培養(yǎng)創(chuàng)造型人才，也不能培養(yǎng)獨(dú)立而健全的人格。愛因斯坦說：“僅僅靠知識和技能并不能使人類獲得快樂而有尊嚴(yán)的生活。雖然通過專業(yè)教育可以使他們成為一部有用的機(jī)器，但是不能造就和諧的人格。”

2024年高考數(shù)學(xué)試題充分考查了基礎(chǔ)的主干知識。正如《試題評析》所說：“深化基礎(chǔ)性考查，強(qiáng)調(diào)對學(xué)科基礎(chǔ)知識、基本方法的深刻理解，不考死記硬背、不出偏題怪題……增加基礎(chǔ)題比例、降低初始題起點(diǎn)，增強(qiáng)試題的靈活性和開放性。”即便是被認(rèn)為難度較大的題目，如新課標(biāo)Ⅰ卷第14題、新課標(biāo)Ⅱ卷第14題、全國甲卷（理科）第16題等，也沒有脫離基礎(chǔ)知識。所不同的是，它們都不是單一知識點(diǎn)的再現(xiàn)，也不是幾個(gè)知識點(diǎn)的簡單組合，而需要理解幾個(gè)知識點(diǎn)之間的邏輯結(jié)構(gòu)，理解方法背后的原理。如：新課標(biāo)Ⅰ卷第5題將圓柱與圓錐結(jié)合，綜合考查側(cè)面積、體積的計(jì)算；新課標(biāo)Ⅰ卷第18題在函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題中考查曲線的對稱性；新課標(biāo)Ⅱ卷第6題綜合考查冪函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)；全國甲卷（理科）第9題將向量和常用邏輯用語結(jié)合，通過向量垂直、平行的判定考查充要條件。

教學(xué)中，除了毫不動搖地緊抓住“雙基”（基礎(chǔ)知識、基本技能），還要讓學(xué)生理解知識的邏輯和原理，形成整體性的認(rèn)知，要改變那種“只懂知識，不懂原理”的學(xué)習(xí)，因?yàn)槟菢拥膶W(xué)習(xí)沒有可遷移性（“想不到”），也是“高分低能”或“一看就懂，一做就錯(cuò)”的主要原因。原理比知識更重要！更何況，知識隨時(shí)可以查到，原理必須自己理解。

比如，新課標(biāo)Ⅰ卷第8題（例1）中的f（x）＞f（x-1）+f（x-2）與斐波那契數(shù)列滿足的an=an-1+an-2有極大的相似性。如果學(xué)生習(xí)得斐波那契數(shù)列的知識，并理解該數(shù)列通項(xiàng)形成的原理，那么只要向后列出幾項(xiàng)，就能大致看出結(jié)果。而如果只知道“斐波那契數(shù)列也叫兔子數(shù)列”以及“它是一個(gè)二階遞推數(shù)列”（卻想不到進(jìn)行遞推），則是于事無補(bǔ)的，甚至無法把這些知識與新情境聯(lián)系起來。

例3 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第18題第2小問）已知函數(shù)f（x）=lnx2-x+ax-b（x-1）3，證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形。

學(xué)生在小學(xué)就學(xué)習(xí)了對稱圖形（直觀感知），初中給出了對稱的定義（直觀定義），高中則通過奇偶函數(shù)給出了另一種定義（抽象定義）。遺憾的是，有些學(xué)生上了高中之后就把“對稱性”局限于“奇偶性”了，看到中心對稱就想到用奇函數(shù)來判斷，看到軸對稱就想到用偶函數(shù)來判斷，這就嚴(yán)重地扭曲了對這類數(shù)學(xué)現(xiàn)象的認(rèn)識。如此，對此題就無從下手了，因?yàn)樗炔皇瞧婧瘮?shù)也不是偶函數(shù)。實(shí)際上，函數(shù)圖像成中心對稱的原理（本質(zhì)定義）是 “存在點(diǎn)（a，b），x1、x2∈R，當(dāng)x1+x2=2a時(shí)，y1+y2=2b恒成立”。有了這樣的認(rèn)識，不論是由定義做邏輯推理，還是先對定義域做直觀考察，都不難解決此題：該函數(shù)的定義域是區(qū)間（0，2），對稱中心的橫坐標(biāo)必然是1，由f（1）=a也可計(jì)算f12+f32，得到對稱中心的縱坐標(biāo)為a。

明白原理，會觀察、會思考，才算具備認(rèn)識世界的能力。原理實(shí)際上是普遍的“道”。有了對“道”的掌握，即便不身處某件事的現(xiàn)場，也可以明白那是件什么事、由何引起又將如何發(fā)展。相反，如果不明白原理，即便記住很多的事實(shí)，也不等于甚至無助于理解世界。正如蘇格拉底所說：“一切的經(jīng)驗(yàn)科學(xué)都是材料的奴隸。”就以例3而論，如果學(xué)生不知道中心對稱的原理（本質(zhì)定義），無論他曾經(jīng)“刷”過多少道關(guān)于奇函數(shù)的題目，也無法解出此題——他無法理解“在沒有圖形的情況下找圖形的對稱中心（軸）”是怎么做到的。

巧合的是，筆者近幾年曾經(jīng)在多個(gè)場合向不同層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者問過這樣的問題：函數(shù)f（x）=x+sinx的對稱中心是什么？結(jié)果是，相當(dāng)多的人（包括中學(xué)生、大學(xué)生、研究生，還有博士生和博導(dǎo)）回答：“（0，0），因?yàn)樗瞧婧瘮?shù)?！睂?shí)際上，這個(gè)函數(shù)的對稱中心有無數(shù)個(gè)［（kπ，kπ），k∈Z］，（0，0）只是其中之一。更嚴(yán)重的問題是，回答“（0，0）”的人的推理過程是“因?yàn)樗瞧婧瘮?shù)”。這是一個(gè)完全離譜的“推理”，它甚至扭曲了原來的問題（偷換問題是思考之大忌），使人不再有正確認(rèn)識那個(gè)問題的機(jī)會。新課標(biāo)Ⅰ卷中，除了第18題以外，第10題也考查了函數(shù)圖像的對稱中心（具體考查的是三次函數(shù)），同樣沒有給圖像，而需要用抽象的定義思考。這樣的題目有利于數(shù)學(xué)教育的正本清源：直擊問題本質(zhì)，沒有繁難的計(jì)算——多思少算。

所有的原理都是抽象的，它超越具體的知識，因而更穩(wěn)定，也更容易遷移到不同的情境中。長遠(yuǎn)來看，“教原理”的效率也是很高的：學(xué)生會忘記具體知識，但是一般不會忘記原理。

（二） 教推理，更教想象

教改到了今日，有句口號早已深入人心，那就是“讓學(xué)生學(xué)會思考”。問題是：應(yīng)該讓他們學(xué)會怎樣的思考？

中華人民共和國成立以來，曾經(jīng)原樣照搬蘇聯(lián)的教材和教學(xué)理論，在很長的時(shí)期內(nèi)把“嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性和應(yīng)用性”作為數(shù)學(xué)的三大特征，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一板一眼、嚴(yán)絲合縫地完成從條件到結(jié)論的推導(dǎo)?？荚囋u分標(biāo)準(zhǔn)對“嚴(yán)謹(jǐn)性”的要求非常嚴(yán)苛，在試題出得簡單時(shí)尤其如此（大概是因?yàn)椤俺橄笮浴焙?“應(yīng)用性”更難量化考查）。

實(shí)際上，嚴(yán)謹(jǐn)性從來不是數(shù)學(xué)的最高要求，就連歐幾里得的《幾何原本》、牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》都不是絕對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。?chuàng)造中的數(shù)學(xué)充滿了直覺、想象、猜測、嘗試，也包容了很多錯(cuò)誤。即便成熟的數(shù)學(xué)，也給直覺和想象留有足夠的空間。筆者認(rèn)為，絕對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)是不存在的，作為學(xué)習(xí)對象的數(shù)學(xué)更不能把嚴(yán)謹(jǐn)置于高高在上的位置；數(shù)學(xué)如果沒有直覺和想象，就沒有了靈性。張奠宙教授提出“適度嚴(yán)謹(jǐn)”的原則，陳省身先生、李邦河院士等提倡“玩數(shù)學(xué)”，康托爾說“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由”，我深以為然。越是沒有過數(shù)學(xué)創(chuàng)造的人，越容易把嚴(yán)謹(jǐn)性奉若神明，這又反過來扼制了自己潛在的創(chuàng)造力。教學(xué)中，不能對學(xué)生提出過分的嚴(yán)謹(jǐn)性要求，否則會傷害或嚇跑他們。

《試題評析》中，除了“允許學(xué)生試錯(cuò)”“鼓勵(lì)嘗試”之類的話語，還說了“增強(qiáng)試題的靈活性和開放性”。這應(yīng)該不僅指試題本身，也指對試題的解答。雖然教育部教育考試院沒有公布試題評分標(biāo)準(zhǔn)，但是從各個(gè)渠道流傳的信息可以看出，試卷評分標(biāo)準(zhǔn)有相當(dāng)大的松動。比如，新課標(biāo)Ⅰ卷第19題的解答過程中，“數(shù)列{an}中的項(xiàng)as，at，ak，al成等差數(shù)列s，t，k，l成等差數(shù)列”并不需要嚴(yán)格的證明，甚至“不妨設(shè){an}為{n}”也是允許的。至于在新課標(biāo)Ⅰ卷第8、14題中使用不完全歸納法，大家也都習(xí)以為常了。

創(chuàng)新思維的特點(diǎn)就是不拘于條條框框而突破常規(guī)，包括突破邏輯、突破習(xí)慣的限制。如此說來，應(yīng)該教學(xué)生怎樣的思維就很清楚了，那就是“既要教推理，又要教想象”。

實(shí)際上，推理是由想象推動的，而不是由邏輯規(guī)則推動的。人們總是先想象一個(gè)可能路徑，再訴諸邏輯。如果邏輯上能夠通過，則推理即告成功；如果不能通過，就去想象另一個(gè)可能路徑。推理最后確實(shí)表現(xiàn)為嚴(yán)密的邏輯規(guī)則，但那只是它的呈現(xiàn)方式。推理最重要也最激動人心的部分是想象，奇特的推理一定來自奇特的想象。也許是這個(gè)原因，愛因斯坦才會說“想象力比知識更重要”。

一般的意義上，想象包括空間想象、時(shí)間想象和因果想象。［2］數(shù)學(xué)意義上，想象可以具體化為幾何想象、代數(shù)想象和邏輯想象。有人將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一“直觀想象”窄化為幾何想象，甚至窄化數(shù)形結(jié)合。這是極不恰當(dāng)?shù)?。下面?024高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷壓軸題為例，說明三種想象是如何協(xié)同作用的——首先要說明：想象是很難說清楚的，因?yàn)槲覀冎荒芸肯胂髞眍I(lǐng)會想象。

例4 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第19題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj（i＜j）后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分?jǐn)?shù)列。

（1） 寫出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是（i，j）可分?jǐn)?shù)列；

（2） 當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）可分?jǐn)?shù)列；

（3） 從1，2，…，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j（i＜j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm，證明：Pm＞18。

本題第（3）問的一個(gè)解答過程如下：

設(shè)1，2，3，4，…，4m-1，4m，4m+1，4m+2中共有bm個(gè)滿足題意的（i，j），則b1=3，b2=7。當(dāng)m≥3時(shí)，對該數(shù)列做如圖1所示的分割，則實(shí)線框和虛線框內(nèi)的數(shù)列都是4m-2項(xiàng)的，各有bm-1個(gè)（i，j）；二者的公共部分有bm-2個(gè)（i，j）；另外，“前后交叉”的（i，j）至少還有兩個(gè)，即（1，4m+2）（掐頭去尾）和（2，4m+1）［類比于（2，13）］。根據(jù)容斥原理，有bm≥2bm-1-bm-2+2。

構(gòu)造數(shù)列{cn}：c1=3，c2=7，cm=2cm-1-cm-2+2（m≥3），則{cm+1-cm}是等差數(shù)列，且公差為2，首項(xiàng)為4，求得cm=m2+m+1，可知Pm=bmC24m+2≥cmC24m+2=2（m2+m+1）（4m+1）（4m+2）＞18。

對數(shù)列進(jìn)行分割來自想象，“前后交叉”的（i，j）來自想象（跳過了省略號部分），“構(gòu)造數(shù)列{cn}”以及“{cn}的通項(xiàng)公式是可求的”來自想象，不等式的放縮來自想象……當(dāng)然，最后把這些“想象”表達(dá)出來的是邏輯。只要用心體會一下，就能知道：這些“邏輯”里一直有“形象”的支撐。其中的“根據(jù)容斥原理”這句話可以說是純粹的邏輯推理，但是在說（寫）這句話的時(shí)候，頭腦里應(yīng)該有一個(gè)圖形（表示兩個(gè)集合相交的Venn圖），也許還有手部動作（手指畫兩個(gè)圈）。這個(gè)圖形是想象出來的，這個(gè)手部動作是本能，甚至可能意識不到——推理中，我們意識不到的東西遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于意識到的。

實(shí)際上，本題第（3）問在網(wǎng)上流傳更多的解法是“列舉法”，但是，只要注意到式子1，2，3，4，…，4m-1，4m，4m+1，4m+2中有省略號，就應(yīng)當(dāng)知道所說的“列舉”一定是靠想象（主要是邏輯想象）才能完成的。

“教推理，更教想象”自然要求“教定理，也教猜想”。作為動詞，猜想和想象有時(shí)很難區(qū)分（也不需要區(qū)分）。人類文明史表明，猜想是走向創(chuàng)新的重要途徑，理論上的、技術(shù)上的創(chuàng)新都是從猜想開始的，有的猜想超前于實(shí)踐上千年。如果學(xué)習(xí)的過程中避開猜想，希望“學(xué)完以后”再去猜想（意思是：那時(shí)就站在世界學(xué)術(shù)的前沿，有資格向前展望了），那是癡人說夢。任何人都沒有“學(xué)完”的時(shí)候。而每個(gè)人在他的任意學(xué)習(xí)階段，都可以視為“站在自己學(xué)術(shù)的前沿”，有向前展望的欲望（好奇心）和能力（探索力），這是學(xué)習(xí)生活讓他神往的根本原因之一。如果以學(xué)生為本（而不是以知識為本、世界為本），就應(yīng)當(dāng)保護(hù)學(xué)生的這種欲望，激發(fā)他們的這種能力。

（三） 教學(xué)生“學(xué)會學(xué)習(xí)”

當(dāng)今的世界充滿了不確定性，舊知識不斷被推翻，新知識不斷涌現(xiàn)。因此，教育的任務(wù)已經(jīng)不是教會人一切知識，學(xué)生畢業(yè)了并不意味著學(xué)完了所有知識，而是意味著要走向更大的世界，去面對更多的新知和未知，面對更大的不確定性。學(xué)生用什么去應(yīng)對他將生活于其中的世界呢？當(dāng)然可以用在學(xué)校里學(xué)到的東西，但這顯然是不夠的，更大的依靠是不斷學(xué)習(xí)和適應(yīng)的能力——如果想有所建樹的話，還要有不斷探究和創(chuàng)新的能力。

毫無疑問，2024年高考數(shù)學(xué)試題在這方面做了振奮人心的探索，“新模式”試卷中的“新信息”試題成為最大亮點(diǎn)。比如新課標(biāo)Ⅰ卷第8、11、14、18、19題等，新課標(biāo)Ⅱ卷第4、8、11、14題等，著意于提供新數(shù)學(xué)信息，讓學(xué)生面對新信息去觀察、體悟、消化，通過明白問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題而認(rèn)識一個(gè)新對象。從更廣泛的意義上說，這已經(jīng)不是在“解答數(shù)學(xué)題”，而是在“研究新問題”。如果再向前看一步，那就是在“研究數(shù)學(xué)世界（中的新現(xiàn)象）”。

例5 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第11題）造型“”可以做成美麗的絲帶，將其看作圖2中曲線C的一部分。已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2，到點(diǎn)F（2，0）的距離與到定直線x=a（a＜0）的距離之積為4，則（" ）

A. a=-2

B. 點(diǎn)（22，0）在C上

C. C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1

D. 當(dāng)點(diǎn)（x0，y0）在C上時(shí)，y0≤4x0+2

這條曲線是教材上沒有的，學(xué)生不可能通過“記憶”來解答這道題。學(xué)生需要面對這個(gè)新信息，去理解“這個(gè)曲線是什么”“問題是什么”“我要做什么”“我該怎么做”等一系列自主、自覺的意識和行為。解答過程中還用到了幾何、函數(shù)、最值、導(dǎo)數(shù)等一系列知識，要完成抽象到具體、具體到抽象的轉(zhuǎn)化，完成數(shù)與形、靜與動、等與不等的轉(zhuǎn)化……而所用的知識和方法都在學(xué)生應(yīng)該掌握的范圍內(nèi)。可見，這道題在引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，并在做的過程中“學(xué)數(shù)學(xué)”，學(xué)到的是數(shù)學(xué)的思考方法以及面對數(shù)學(xué)現(xiàn)象時(shí)的積極態(tài)度，而那條曲線以及關(guān)于曲線的知識只是副產(chǎn)品，可以很快就忘掉。

另外，對新課標(biāo)Ⅰ卷第19題（例4），上文是用遞推數(shù)列解決的。這是比較抽象的方法，要通過想象去認(rèn)識數(shù)列里的無窮結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)前后項(xiàng)的聯(lián)系。但是，在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列后求通項(xiàng)公式，以及接下來進(jìn)行不等式的放縮，是有現(xiàn)成工具可用的，不需要?jiǎng)?chuàng)造性。這讓學(xué)生體會到什么是“數(shù)學(xué)抽象”、什么是“數(shù)學(xué)模型”。學(xué)生學(xué)會這一點(diǎn)，不是通過別人告知名詞并解釋含義，而是通過自己體會過程并感悟方法，甚至不需要知道有關(guān)的名詞。

高考的“新模式”提出“真實(shí)情境”“學(xué)科融合”，旨在讓學(xué)生面對真實(shí)的世界，去探究、去體驗(yàn)，去形成自己的認(rèn)識并由此建立自己與世界的互動關(guān)系。這種積極的“入世”態(tài)度是幸福人生所必需的。一個(gè)人不可能指望在學(xué)校里躲進(jìn)知識的象牙塔，等到畢業(yè)那一刻突然就能順利地走進(jìn)社會。那種與現(xiàn)實(shí)世界嚴(yán)重脫離的教育，造成了眾多“長不大的孩子”，造成了“啃老”“社恐”“巨嬰”“躺平”，還有“被動人格”“螺絲釘人”“工具型人”等一系列問題。雖然說一張數(shù)學(xué)試卷不能解決上述諸種問題，但是它傳遞出的信號以及所代表的思維邏輯有巨大價(jià)值。

三、 數(shù)學(xué)應(yīng)該怎么教

掌握原理、學(xué)會思考，善于想象、敢于猜想，面對世界勇于探究，有積極的人生態(tài)度，獨(dú)立、自主、有責(zé)任、有擔(dān)當(dāng)，這就對應(yīng)地有了文化底蘊(yùn)、科學(xué)精神和社會參與，有了必備品格和關(guān)鍵能力。這是上文對教育教學(xué)的暢想，那么怎么實(shí)現(xiàn)呢？

（一） 建立高觀點(diǎn)

教知識不能拘泥于知識，上文說的“教原理”即其表現(xiàn)之一。從技術(shù)層面上講，要教一個(gè)概念，最好讓學(xué)生對它的上位概念有所耳聞。比如“三角形”的概念，教材給的定義是“三條線段首尾相接形成的圖形”，里面用到了“圖形”這個(gè)詞。“圖形”是“三角形”的上位概念，不用“圖形”將很難定義三角形。類似地，不用“圖形”將很難定義四邊形、多邊形、曲邊形等。但是，學(xué)生不知道什么叫“圖形”，只是對圖形“有所耳聞”，而這就足夠了。

實(shí)際上，很多知識的教學(xué)都離不開它的上位知識（這也從另一方面說明“嚴(yán)謹(jǐn)性”不能無限拔高）。道理很簡單：上位概念更抽象，涵蓋的對象更多，用上位概念思考，效率更高，認(rèn)識也更深刻。比如，用“橢圓”“雙曲線”“拋物線”來思考某些問題，就不如用“曲線”好，因?yàn)椤扒€”能帶來更大的世界，用它思考得出的結(jié)論有更廣的適用范圍。

在此，我們不妨從“教學(xué)”跳到“教育”。對于學(xué)生，可以有不同的稱呼，比如小學(xué)生、中學(xué)生、大學(xué)生、研究生，漢族學(xué)生、藏族學(xué)生、蒙古族學(xué)生、維吾爾族學(xué)生，亞洲學(xué)生、非洲學(xué)生、歐洲學(xué)生、美洲學(xué)生……這些不同年齡段、不同種族、不同地域的學(xué)生，會有不同的教育。但是，當(dāng)統(tǒng)一用“學(xué)生”來稱呼他們，或統(tǒng)一用“人”來稱呼他們時(shí)，我們的教育觀念變了。比如，統(tǒng)一稱呼一年級的學(xué)生為“人”，便會尊重他們的人格和權(quán)利，平等地對待他們。這些孩子可能不懂我們這樣做的“原理”，但是能夠感受到我們的態(tài)度并印刻在潛意識里，以后會在適當(dāng)?shù)膱龊弦韵嗤姆绞奖憩F(xiàn)出來。

有高觀點(diǎn)才能有大格局，這為“無知即是惡”做了注腳?！叭姘l(fā)展的人”應(yīng)該有全面的世界觀，這是育人的應(yīng)有之義。教學(xué)中，讓學(xué)生建立高觀點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)成為教師的自覺行為。比如，教數(shù)列時(shí)，要上升到函數(shù)的觀點(diǎn)；教奇函數(shù)時(shí)，要上升到一般對稱性的觀點(diǎn)；教棱柱和圓柱時(shí)，要上升到一般柱體的觀點(diǎn)……當(dāng)然，這不是要無限拓寬知識范圍，加重學(xué)生負(fù)擔(dān)。事實(shí)上，學(xué)生對上位概念只要“略有耳聞”（獲得直觀印象），這反而會減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)。

例6 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第2題）若zz-1=1+i，則z=（" ）

A. -1-i

B. -1+i

C. 1-i

D. 1+i

高中數(shù)學(xué)課程對虛數(shù)的運(yùn)算要求不高，但是，教學(xué)不能局限于“怎么做加法”“怎么做減法”以及“怎么做乘（除）法”等具體的操作規(guī)則，而要回歸更本質(zhì)的問題：i是什么？教材中對i的定義除了“i2=-1”，還有“i可以參與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算，并保持基本的加乘運(yùn)算律不變”。如此說來，只要不牽扯到開方，在只含有加減乘除以及乘方的情況下，虛數(shù)的運(yùn)算就等同于實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式運(yùn)算，比如（1+i）2與（1+x）2在運(yùn)算上并無區(qū)別。一個(gè)有意思的例子是：1+i+i2+…+i100可以用等比數(shù)列求和公式來計(jì)算嗎？其實(shí)，不論從公式本身（沒有開方運(yùn)算），還是從公式的推導(dǎo)過程（用錯(cuò)位相減法）看，讓i參與運(yùn)算都毫無問題。

用上位知識來統(tǒng)領(lǐng)下位知識，容易盤活下位知識以及有關(guān)的方法和技能，也容易把舊觀念中難以解決的問題消解掉。教師和學(xué)生的關(guān)系不是“一桶水”和“一碗水”的關(guān)系，而是“水”和“這碗水”的關(guān)系。知道更多事實(shí)無助于理解世界，知道事實(shí)背后的原理（抽象意義）才行。

（二） 加強(qiáng)直觀化

到目前為止，教學(xué)中最重要的詞可能是“理解”。怎樣才算“理解”了一個(gè)知識呢？我認(rèn)為是建立起對知識的直覺。只有對直覺化的知識，人才能瞬間做出反應(yīng)，進(jìn)入思維和表達(dá)狀態(tài)。如果不能建立起對知識的直覺，看到知識還需要經(jīng)過邏輯思考才能辨認(rèn)出“它是誰”，那就不可能在思維中自如地操控知識，就連記憶知識都很困難。好多東西我們是通過直觀形象記住的，如通過“鐘形曲線”記住正態(tài)分布，通過Venn圖記住集合的交集、并集、補(bǔ)集，通過逐漸緊縮的區(qū)間記住極限的“ε-δ”定義。

我們繼續(xù)看新課標(biāo)Ⅰ卷第19題（例4）。對此題第（3）問，華南師范大學(xué)吳康教授給出了一個(gè)非常簡潔（也更為抽象）的解答：

若0≤n≤k≤m，A刪第4n+1和4k+2項(xiàng)后，前4n項(xiàng)、中4（k-n）項(xiàng)、后4（m-k）項(xiàng)順序4項(xiàng)一組，便知A是（4n+1，4k+2）可分?jǐn)?shù)列。若0≤k≤n≤m且n-k≥2，A刪第4k+2和4n+1項(xiàng)后，前4k項(xiàng)、后4（m-n）項(xiàng)順序4項(xiàng)一組，中間4（n-k）項(xiàng)按mod（n-k）同余分組，便知A是（4k+2，4n+1）可分?jǐn)?shù)列。因?yàn)锳中4n+1和4k+2型的項(xiàng)各有m+1個(gè)，滿足0≤k≤n≤m且n-k=1的整數(shù)對（n，k）有m個(gè)，所以題設(shè)概率Pm≥（m+1）2-mC24m+2=m2+m+1（2m+1）（4m+1）＞18。

對這個(gè)高觀點(diǎn)下的解答，你也許每一個(gè)概念都認(rèn)識，每一個(gè)公式都知道，細(xì)讀下來也能明白其邏輯合理性，但理解起來就是覺得很費(fèi)力。這就是因?yàn)闆]有建立起對相應(yīng)知識的直覺。

在平時(shí)的教學(xué)中，我們會對別人提供的靈巧解法感到驚嘆，因?yàn)槲覀兌抢锏乃兄R，但愣是想不到那么做。其背后的原因是，我們只是邏輯上懂了那個(gè)知識（包括知識之間的聯(lián)系），而不是直覺地懂了它?？磩e人的論證，如果只是知道它的邏輯合理性，那不是真懂，也會覺得很費(fèi)力；而如果在它的啟發(fā)下完成了直覺化，則不僅是真懂，而且會覺得輕松愉快。

那么，怎樣才能加強(qiáng)知識的直觀化呢？

第一，把知識還原為現(xiàn)象［3］。所有知識都描述了世界中的某個(gè)對象（物體或事件），這個(gè)“對象”本身是具有直觀性的。如果把知識還原回去，聯(lián)系到“對象”上，也就自動具有了直觀化效果。

第二，建立知識結(jié)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)中賦予知識以意義。結(jié)構(gòu)中的知識容易勾起人的想象（特別是邏輯想象），而想象是可以瞬間完成的。但是一般而言，結(jié)構(gòu)是無法用語言描述的，語言只能描述線性的鏈條，不容易描述樹狀結(jié)構(gòu)，更難以描述網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)?；蛘哒f，認(rèn)識結(jié)構(gòu)必須通過直覺（圖式）。個(gè)體總有自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)新知識時(shí)，要么把新知識容納進(jìn)來，要么調(diào)整認(rèn)知結(jié)構(gòu)去適應(yīng)新知識。在建構(gòu)主義看來，前者是同化，后者是順應(yīng)；經(jīng)過同化或順應(yīng)，認(rèn)知達(dá)到了新的平衡，就完成了一次學(xué)習(xí)。

第三，采用熟悉化策略。通過熟悉化達(dá)到直觀化，對一個(gè)知識反復(fù)記憶或練習(xí)，熟悉到“一見即知”，也就相當(dāng)于直觀化了。這樣做比較直接，也比較簡單，就連毫無教育學(xué)、心理學(xué)基礎(chǔ)的人也會，因此在中國流行已久。久已流傳的“熟能生巧”“題海戰(zhàn)術(shù)”，現(xiàn)在盛行的“機(jī)械訓(xùn)練”“模式記憶”，某些學(xué)校奉行的“練到不需要思考”，都暗合于此道——是謂“盜亦有道”。

綜合來看，第二種方法是比較流行的，在情境教學(xué)法中特別常見；第三種方法是應(yīng)當(dāng)反對的，但是它有存在的土壤；第一種方法是新興的現(xiàn)象教學(xué)的觀點(diǎn)，國際反響強(qiáng)烈，發(fā)展勢頭迅猛。

（三） 從現(xiàn)象出發(fā)

對知識進(jìn)行思考，得到的是對知識的認(rèn)識，這只是末端的。對世界進(jìn)行思考，得到的是對世界的認(rèn)識，這才是本原的。但是，我們看不見世界，只能看見世界呈現(xiàn)出來的現(xiàn)象。于是，我們可以從現(xiàn)象出發(fā)，讓學(xué)生通過對現(xiàn)象的感受、分析，生成對它的解釋，這就是現(xiàn)象教學(xué)。現(xiàn)象教學(xué)在國際上又叫跨學(xué)科綜合教學(xué)。新高考提出的“真實(shí)情境”“學(xué)科融合”，其實(shí)都是現(xiàn)象教學(xué)的主張。2024年高考數(shù)學(xué)試題中，美譽(yù)度最高的“新信息題”（如新課標(biāo)Ⅰ卷的“新曲線題”和“數(shù)列拆分題”）實(shí)則是提供了一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，讓學(xué)生去思考它、認(rèn)識它、解決它。

我們繼續(xù)看新課標(biāo)Ⅰ卷第18題（例3）。關(guān)于函數(shù)圖像的中心對稱性，通過知識教學(xué)而學(xué)會奇函數(shù)的人，會解奇函數(shù)的問題，遇到其他函數(shù)就不一定能處理了，遇到不是函數(shù)圖像的曲線就更不知如何應(yīng)對了。現(xiàn)象教學(xué)也教奇函數(shù)，也教圖像的中心對稱性，但不會將圖像的中心對稱性限制在奇函數(shù)上。奇函數(shù)和中心對稱圖形都是數(shù)學(xué)現(xiàn)象，可以交叉互補(bǔ)，但不是同一個(gè)，需要認(rèn)識清楚。下面是現(xiàn)象教學(xué)的一個(gè)簡單設(shè)計(jì)：

問題1：函數(shù)y=x，y=1x，y=x3，y=-2x的圖像有什么共同特征？

容易看出這些圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。

問題2：為什么說它們的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱？是從圖形上看出來的嗎？

這一步是數(shù)學(xué)化或者說數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵。不能從畫出的圖形上看，也不能從代入特殊數(shù)值（如x=±1，x=±2，x=±3）得到的有限個(gè)對稱點(diǎn)上看，必須生成“對任意x，都有f（-x）=-f（x）成立”這樣的觀念。

問題3：函數(shù)y=x5 的圖像是否關(guān)于原點(diǎn)對稱？函數(shù) y=x6，y=x7，y=x8，y=x9，y=x10呢？

這里用一些“不太容易畫出圖像的函數(shù)”來判斷對稱性，是對“數(shù)學(xué)抽象”的加強(qiáng)。這“逼迫”學(xué)生用代數(shù)的形式f（-x）=-f（x）來判斷對稱性，而這個(gè)形式顯然是抽象的。可以說，這些函數(shù)解析式是學(xué)生面臨的新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，也是具體和抽象之間的過渡，是教學(xué)的“腳手架”。此時(shí)，我們重在建立奇函數(shù)的意義，學(xué)會把這個(gè)意義用到陌生的數(shù)學(xué)對象上（掌握判斷方法）。至于奇函數(shù)的名稱，在意義明確后再給出是很順手的事。

問題4：上述函數(shù)可以分為兩類，一類是y=x，y=x3，y=x5，y=x7，y=x9和y=1x，另一類是y=x2，y=x4，y=x6，y=x8，y=x10。前一類圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，后一類圖像不關(guān)于原點(diǎn)對稱，是否有其他的對稱性？

y=x2的圖像關(guān)于y軸對稱，學(xué)生是知道的。由此立刻引發(fā)猜想：后一類的圖像都關(guān)于y軸對稱。這個(gè)猜想正確，由此給出抽象意義f（-x）=f（x）也不難。此時(shí)，可以給出奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念及規(guī)范定義。

問題5：判斷下列函數(shù)的奇偶性。y=x1+x2，y=x3+2x，y=x2（x∈［-2，3］）。

提供實(shí)例（可不限于此），對函數(shù)奇偶性的定義做簡單的變式應(yīng)用。

至此，再做一番總結(jié)，就完成了函數(shù)奇偶性的教學(xué)。下面，是函數(shù)圖像中心對稱性的教學(xué)——時(shí)間上不一定緊接著函數(shù)的奇偶性。

問題6：函數(shù)y=x3+3x2的圖像是否具有某種對稱性？

這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，因此其對稱性要另外判斷。學(xué)生可能會說“它不具有對稱性”，但是無法給出證明。

問題7：這個(gè)函數(shù)的圖像是否關(guān)于點(diǎn)（-1，2）對稱？

讓學(xué)生探究這個(gè)函數(shù)的對稱性是假，讓他們尋找判斷對稱性的方法才是真。在學(xué)生經(jīng)歷一番苦思后，老師提出這個(gè)問題，給學(xué)生一個(gè)切入點(diǎn)。經(jīng)過一個(gè)不算簡單也不算復(fù)雜的過程，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)這樣的判斷方法：當(dāng)x1+x2=-2時(shí)，y1+y2=4，故該函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（-1，2）對稱。

問題8：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）對稱的條件是什么？

一般化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)x1+x2=2a時(shí)，y1+y2=2b恒成立。

問題9：如果函數(shù)y=f（x）、y=g（x）的圖像分別關(guān)于點(diǎn)（a，b）、（a，b′）對稱，那么函數(shù)y=f（x）+g（x）的圖像是否有對稱中心？

學(xué)生根據(jù)思維慣性，會認(rèn)為對稱中心是a，b+b′2，而實(shí)際上不是。嚴(yán)密的證明如下：記F（x）=f（x）+g（x），則當(dāng)x1+x2=2a時(shí)，F(xiàn)（x1）+F（x2）=［f（x1）+f（x2）］+［g（x1）+g（x2）］=2（b+b′），故F（x）圖像的對稱中心是（a，b+b′）。

至此，一般的對稱中心問題已經(jīng)解決，前述f（x）=x+sinx的對稱中心是（kπ，kπ）（k∈Z），以及高考題中f（x）=lnx2-x+ax-b（x-1）3的對稱中心是（1，a），都可輕松解決。不但如此，還為奇函數(shù)找到了一個(gè)上位知識。同時(shí)，偶函數(shù)的上位知識也不難找到［當(dāng)x1+x2=2a時(shí)，f（x1）=f（x2）］。

現(xiàn)象教學(xué)也進(jìn)行知識教學(xué)，但一般不直接給出知識（事實(shí)性知識除外），而給出現(xiàn)象，讓學(xué)生自己生成知識，在生成時(shí)自然就理解了。由此，學(xué)生收獲的主要是認(rèn)識世界方法，其次才是知識。

總之，幫助學(xué)生應(yīng)對考試是教學(xué)的重要任務(wù)之一，不容回避，但是，“刷題”“套路”“押題”“機(jī)械訓(xùn)練”“模式記憶”等方式，遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)本質(zhì)、背離健全人格培養(yǎng)的主旨，是要堅(jiān)決反對的。2024年高考數(shù)學(xué)試題很好地表明了態(tài)度，倒逼了教育教學(xué)改革。另外，試題沒有“二級結(jié)論”明顯的施展余地，保證了考試的公平公正，有助于扭轉(zhuǎn)教學(xué)中“無限加碼”的行為。在涉及數(shù)學(xué)文化時(shí)，也沒有做非數(shù)學(xué)的渲染，保持了專業(yè)性，展示了從容優(yōu)雅的文化自信，這是一種更強(qiáng)的文化自覺和主體自覺——實(shí)際上，知道某種文化不代表具有該文化，依據(jù)某種文化行事才表明具有該文化。

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 孫四周.現(xiàn)象式學(xué)習(xí)［M］.香港：中華文化出版社，2024：99110.