守正創(chuàng)新：把準(zhǔn)數(shù)學(xué)高考的育人導(dǎo)向

摘 要：2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷嚴(yán)格依標(biāo)命題，努力守正創(chuàng)新。一方面，秉承以往全國(guó)卷的一貫風(fēng)格，關(guān)注社會(huì)生活，挖掘數(shù)學(xué)史料，守學(xué)科育人的正確目標(biāo)；全面覆蓋基礎(chǔ)知識(shí)，突出考查主干內(nèi)容，著力考查通性通法，守學(xué)生發(fā)展的正確基點(diǎn)；指向本質(zhì)，多思少算，守?cái)?shù)學(xué)思維的正確路徑。另一方面，貫徹黨的二十大精神，服務(wù)選才，創(chuàng)有效甄別的新結(jié)構(gòu)；考查能力，創(chuàng)深化思考的智力游戲、知識(shí)交匯、新型定義等新情境；聚焦素養(yǎng)，創(chuàng)推進(jìn)教改的新契機(jī)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)高考；全國(guó)卷；思維能力；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；守正創(chuàng)新

2024年，教育部教育考試院命制了3套（4份）高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷：全國(guó)甲卷（文、理科）、新課標(biāo)Ⅰ卷、新課標(biāo)Ⅱ卷。這3套試卷既同根共源、一脈相承，又相對(duì)獨(dú)立、各具特色。本文將從整體視角進(jìn)行分析探討，以期讓大家更生動(dòng)地感知數(shù)學(xué)新高考的改革脈搏，更深刻地理解數(shù)學(xué)新高考的命題立意，更準(zhǔn)確地把握高中數(shù)學(xué)的教學(xué)關(guān)鍵。

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷嚴(yán)格依標(biāo)命題，努力守正創(chuàng)新，堅(jiān)決落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，深入考查“四層”“四翼”，突出考查思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，很好地發(fā)揮了人才選拔功能，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)深刻反思，把準(zhǔn)數(shù)學(xué)高考的育人導(dǎo)向。

一、 守正：守正確目標(biāo)，守正確基點(diǎn)，守正確路徑

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷秉承以往全國(guó)卷的一貫風(fēng)格，簡(jiǎn)約大氣、清新自然、內(nèi)涵雋永，體現(xiàn)了守正的特點(diǎn)。

（一） 立德樹(shù)人，守學(xué)科育人的正確目標(biāo)

1. 關(guān)注社會(huì)生活，樹(shù)數(shù)學(xué)實(shí)踐價(jià)值

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷命題堅(jiān)持思想性與科學(xué)性的高度統(tǒng)一，圍繞我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展與學(xué)生個(gè)人發(fā)展，積極探索情境的人文性、趣味性、新穎性、生活性［1］，命制具有教育意義的試題，引導(dǎo)學(xué)生熱愛(ài)社會(huì)、熱愛(ài)生活，樹(shù)立正確的人生觀、價(jià)值觀、世界觀。如：全國(guó)甲卷（理科）第17題創(chuàng)設(shè)了工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量的現(xiàn)實(shí)情境；新課標(biāo)Ⅰ卷第9題創(chuàng)設(shè)了農(nóng)村農(nóng)業(yè)收入的現(xiàn)實(shí)情境；新課標(biāo)Ⅱ卷第4題創(chuàng)設(shè)了水稻畝產(chǎn)量的現(xiàn)實(shí)情境，第18題創(chuàng)設(shè)了體育比賽的現(xiàn)實(shí)情境。

2. 挖掘數(shù)學(xué)史料，蘊(yùn)數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵

數(shù)學(xué)史料是人類文明的智慧結(jié)晶，也是高考命題的鮮活素材。2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷命題巧妙地嵌入數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中的經(jīng)典模型與活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的真、善、美，極大地提升了試題的文化內(nèi)涵與品味。如：新課標(biāo)Ⅰ卷第7題融入了斐波那契數(shù)列的變形，第11題融入了笛卡兒葉形線，第14題融入了“田忌賽馬”模型的變形，第17題融入了鱉臑?zāi)Ｐ偷慕M合；新課標(biāo)Ⅱ卷第16題融入了幻方游戲，第19題融入了帕斯卡定理。

（二） 深化基礎(chǔ)，守學(xué)生發(fā)展的正確基點(diǎn)

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，深化基礎(chǔ)性考查，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的本質(zhì)理解、對(duì)方法的真懂真會(huì)，引導(dǎo)教學(xué)從機(jī)械“刷題”、盲目鉆研套路向素養(yǎng)培養(yǎng)轉(zhuǎn)變，為學(xué)生終身學(xué)習(xí)與發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

1. 全面覆蓋基礎(chǔ)知識(shí)

單從一份全國(guó)卷看，高考數(shù)學(xué)命題可能不能完全做到知識(shí)覆蓋，但是從整體上看3套全國(guó)卷，可以發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間相互補(bǔ)充，做到了對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的全覆蓋，引導(dǎo)教學(xué)不要猜題押題，必須依標(biāo)施教。試題遵循“低起點(diǎn)、緩坡度、高落差”的原則，降低初始題起點(diǎn)、增加基礎(chǔ)題題量，讓學(xué)生較好地適應(yīng)高考氛圍，較快地進(jìn)入考試狀態(tài)，體現(xiàn)命題的人文關(guān)懷。各題考查的知識(shí)點(diǎn)（甲卷未統(tǒng)計(jì)選考題）如表1所示。

2. 突出考查主干內(nèi)容

新課標(biāo)卷、全國(guó)甲卷的考查內(nèi)容分別按照新、舊課程標(biāo)準(zhǔn)的知識(shí)范圍設(shè)定，特別是全國(guó)甲卷的文科試卷，回避了排列組合、空間向量等課程標(biāo)準(zhǔn)知識(shí)范圍外的內(nèi)容，對(duì)支撐學(xué)科知識(shí)體系的主干知識(shí)保持很高的考查比例，使之成為試卷的主體，并達(dá)到必要的深度。［2］2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷除去集合、簡(jiǎn)易邏輯、復(fù)數(shù)、線性規(guī)劃等知識(shí)之外，對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等6大版塊的主干知識(shí)進(jìn)行了重點(diǎn)考查。新課標(biāo)Ⅰ卷中，主干知識(shí)共考查130分，占比86.7%；新課標(biāo)Ⅱ卷中，主干知識(shí)共考查135分，占比90%；新高考甲卷（理科）中，主干知識(shí)共考查120分（未統(tǒng)計(jì)選考題），占比85.7%。主干內(nèi)容重點(diǎn)考，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)以課程目標(biāo)為指引，注重知識(shí)的基礎(chǔ)性和方法的普適性，避免隨意深挖。

3. 著力考查通性通法

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷得到全國(guó)師生以及專家的廣泛好評(píng)，其中一個(gè)重要原因就是，每道試題都將對(duì)通性通法的考查有機(jī)融入數(shù)學(xué)知識(shí)，深入考查基本原理與基本思想方法，淡化特殊技巧，沒(méi)有偏題、怪題、“套路題”、“秒殺題”，有效檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)中蘊(yùn)含的思想方法的理解與掌握程度，真正達(dá)到了考查能力素養(yǎng)的目的。

例1 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第8題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）＞f（x-1）+f（x-2），且當(dāng)x＜3時(shí)，f（x）=x，則下列結(jié)論中一定正確的是（" ）

A. f（10）＞100

B. f（20）＞1000

C. f（10）＜1000

D. f（20）＜10000

本題以斐波那契數(shù)列為背景，將“等”改為“不等”，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新情境，深度考查學(xué)生的推理能力。解答本題，不是機(jī)械套用斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，而是回歸研究遞推數(shù)列的基本方法，逐項(xiàng)分析f（3）＞3，f（4）＞5，f（5）＞8，…，f（10）＞89。本題在考查基本運(yùn)算的同時(shí)，巧妙考查邏輯推理：注意到f（3）沒(méi)有上限，可排除C、D；又因?yàn)锳不一定正確，所以選B。

可以看到，解答本題無(wú)法套用任何現(xiàn)成的模式，也沒(méi)有可直接利用的已知模型。這正體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題突出考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)回歸基礎(chǔ)、減少“刷題”的決心與能力。

例2 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第11題）造型“”可以做成美麗的絲帶，將其看作下頁(yè)圖1中曲線C的一部分。已知C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2，到點(diǎn)F（2，0）

的距離與到定直線x=a（a＜0）的距離之積為4，則（" ）

A. a=-2

B. 點(diǎn)（22，0）在C上

C. C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1

D. 當(dāng)點(diǎn)（x0，y0）在C上時(shí)，y0≤4x0+2

本題以笛卡兒葉形線為背景，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)探究情境，讓學(xué)生經(jīng)歷平面曲線研究的完整過(guò)程，考查學(xué)生對(duì)解析幾何學(xué)科本質(zhì)的理解，考查學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的完整性與系統(tǒng)性。

本題設(shè)計(jì)的四個(gè)選項(xiàng)環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)。首先根據(jù)原點(diǎn)到點(diǎn)F（2，0）的距離與到定直線x=a（a＜0）的距離之積為4求出a=-2，或者直接檢驗(yàn)a=-2正確，由此得到曲線C的方程為（x+2）（x-2）2+y2=4（x＞-2）。該方程與平常所學(xué)的圓錐曲線方程相比顯得復(fù)雜，非常考驗(yàn)學(xué)生的心理素質(zhì)。此時(shí)應(yīng)該對(duì)照目標(biāo)分析C、D選項(xiàng)。本題故意設(shè)置成D選項(xiàng)比C選項(xiàng)容易，考查學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)變能力。曲線方程變形為y2=16（x+2）2-（x-2）2，化等為不等，得到y(tǒng)2≤16（x+2）2，易判斷D正確。又因?yàn)锳、B都正確，所以C不需要再考慮。如果直接研究C選項(xiàng)，首先要發(fā)現(xiàn)曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1），如此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究曲線C在x=2處的導(dǎo)數(shù)是否為0，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而研究導(dǎo)數(shù)即可。當(dāng)然，也可以考慮用特殊值法：當(dāng)x=32時(shí)，y2=6449-14=207196＞1，故C錯(cuò)誤。

可以看到，本題完全沒(méi)有現(xiàn)成套路，就是原原本本考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。而且，本題求解方法多，入口寬，思維要求逐步抬高，突出考查了特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法。本題的巧妙之處更在于破除學(xué)生對(duì)解析幾何問(wèn)題的固有認(rèn)識(shí)，回歸解析幾何的本來(lái)面目，通過(guò)選項(xiàng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，有效控制計(jì)算量，避免繁難運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了對(duì)思維能力的考查，有效選拔拔尖創(chuàng)新人才。

（三） 立足本質(zhì)，守?cái)?shù)學(xué)思維的正確路徑

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷注重考查知識(shí)的本質(zhì)與知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，考查學(xué)生對(duì)概念、原理的深入理解和靈活應(yīng)用；同時(shí)加強(qiáng)思維考查，突出考查思維過(guò)程、思維方法。這引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)“慢下來(lái)”，要注重知識(shí)的自然生成與螺旋建構(gòu)，由此培養(yǎng)學(xué)生從源頭思考問(wèn)題的習(xí)慣、研究問(wèn)題時(shí)求優(yōu)求簡(jiǎn)的能力。

1. 概念、原理指向本質(zhì)

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷強(qiáng)調(diào)對(duì)概念、原理的深入理解和綜合應(yīng)用，考查知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生重視對(duì)學(xué)科理論本質(zhì)屬性和相互關(guān)聯(lián)的深刻理解與掌握。如：全國(guó)甲卷（理科）第5題考查雙曲線的定義，第10題考查空間中的位置關(guān)系原理，第13題考查二項(xiàng)式系數(shù)概念；新課標(biāo)Ⅰ卷第6題考查函數(shù)的單調(diào)性原理，第9題考查正態(tài)分布概念，第12題考查雙曲線的定義，第18題第（2）問(wèn)考查函數(shù)的中心對(duì)稱原理；新課標(biāo)Ⅱ卷第4題考查中位數(shù)、極差、平均數(shù)等概念，第7題考查正棱臺(tái)概念，第16題考查極小值原理。

例3 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第7題）已知正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的體積為523，AB=6，A1B1=2，則A1A與平面ABC所成角的正切值為（" ）

A. 12

B. 1

C. 2

D. 3

本題以正三棱臺(tái)為載體，依托臺(tái)體的體積與空間中直線與平面所成的角考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)。如圖2，通過(guò)臺(tái)體的體積公式求出臺(tái)體的高，進(jìn)而在臺(tái)體的特征梯形中求得A1A與平面ABC所成角的正切值。如圖3，將臺(tái)體補(bǔ)形為錐體，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在三角形中求解，運(yùn)算大大簡(jiǎn)化。

2. 明算理算法，多思少算

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷明顯傳遞“多思少算”的考查理念：很多試題都可以較大程度地避免繁難運(yùn)算，給學(xué)生充分思考的空間，突出考查學(xué)生的思維品質(zhì)；在控制計(jì)算量的同時(shí)，加大思維量，特別注重思維考查的層次性。如新課標(biāo)Ⅰ卷、Ⅱ卷的第15題，兩道題模型一致，都是由兩塊三角板拼接而成的；如果能結(jié)合圖形的特征，添加輔助線，化斜為直，則可以避免大量復(fù)雜的計(jì)算。又如新課標(biāo)Ⅰ卷的第17題，立體幾何解答題，如果能用綜合法，作出二面角的平面角，結(jié)合平面幾何知識(shí)，則可以很便捷地求解。

例4 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第16題）已知A（0，3）和P3，32為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上兩點(diǎn)。

（1） 求C的離心率；

（2） 若過(guò)P的直線l交C于另一點(diǎn)B，且△ABP的面積為9，求l的方程。

本題創(chuàng)新問(wèn)題呈現(xiàn)方式，看似平淡，實(shí)質(zhì)考查思維水平，不同解法下的計(jì)算量大相徑庭，能達(dá)到很好的甄別區(qū)分效果。具體來(lái)看，不同的解題路徑如圖4所示。

路徑1“直譯”條件，思維量最小，運(yùn)算量最大，耗時(shí)最長(zhǎng)；路徑2采用分割法求三角形的面積，與路徑1相比，計(jì)算AD的過(guò)程得到簡(jiǎn)化；路徑3重新構(gòu)圖，抓住S△APB=9，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究點(diǎn)B的軌跡方程，使運(yùn)算大大優(yōu)化；路徑4深度挖掘圖形的幾何特征，根據(jù)S△APO=92，發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)量關(guān)系背后的對(duì)稱性，運(yùn)算量微乎其微。

二、 創(chuàng)新：創(chuàng)新結(jié)構(gòu)，創(chuàng)新情境，創(chuàng)新契機(jī)

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷貫徹黨的二十大精神，積極創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，持續(xù)深化考試內(nèi)容改革，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才選拔，助推素質(zhì)教育發(fā)展，助力教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)。

（一） 服務(wù)選才，創(chuàng)有效甄別的新結(jié)構(gòu)

2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷、Ⅱ卷將原來(lái)的22道題減少為19道，其中多選題、填空題、解答題各減少1道。解答題的總分值由原來(lái)的70分增加為77分，其中第18、19兩題均設(shè)置3個(gè)問(wèn)題，分值都為17分。題量減少意味著學(xué)生的思考時(shí)間增加，可以更專注、更深入地思考，更從容地試錯(cuò)；也說(shuō)明進(jìn)一步強(qiáng)化了對(duì)思維過(guò)程與思維能力的考查，讓優(yōu)秀的學(xué)生能夠充分發(fā)揮、脫穎而出。

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷一如既往地反套路、反押題，打破固有命題模式，靈活、科學(xué)地確定試題的內(nèi)容和順序，很好地測(cè)試考生的臨場(chǎng)應(yīng)變能力與克服困難的意志品質(zhì)。如新課標(biāo)Ⅰ卷解答題將以往壓軸的解析幾何題調(diào)整到第2題的位置，在壓軸題的位置安排了以數(shù)列為載體的新定義問(wèn)題，同時(shí)不單獨(dú)設(shè)

置概率統(tǒng)計(jì)題。再如新課標(biāo)Ⅱ卷解答題將以往作為壓軸題的函數(shù)題調(diào)整到第2題的位置，將概率統(tǒng)計(jì)題安排在倒數(shù)第2題的位置（加強(qiáng)了能力考查力度），在壓軸題的位置設(shè)計(jì)了解析幾何與數(shù)列綜合的新穎試題。又如全國(guó)甲卷（理科）積極創(chuàng)新填空題設(shè)計(jì)，第13題考查二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，第15題考查指對(duì)數(shù)的運(yùn)算，令人耳目一新。

還在試題的呈現(xiàn)方式、設(shè)問(wèn)方式上下足功夫，提升試題的思維量，突出考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。如新課標(biāo)Ⅰ卷第18題第（2）問(wèn)精妙地設(shè)計(jì)為證明曲線的中心對(duì)稱性，考查學(xué)生對(duì)概念的理解以及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和邏輯推理能力；第（3）問(wèn)中呈現(xiàn)的“當(dāng)且僅當(dāng)”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言精彩絕倫，直擊學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，將對(duì)函數(shù)、不等式、方程的整體理解考查得淋漓盡致，盡顯綜合性要求下試題的創(chuàng)新特點(diǎn)。再如新課標(biāo)Ⅱ卷第17題創(chuàng)新性地加入圖形的折疊與向量的語(yǔ)言，使得試題更為飽滿；第18題基于體育比賽的熟悉情境，創(chuàng)新設(shè)計(jì)為比賽分兩個(gè)階段，增加試題的趣味性與難度。

（二） 考查能力，創(chuàng)深化思考的新情境

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷很好地落實(shí)了高考評(píng)價(jià)體系“一核、四層、四翼”的考查內(nèi)容與要求，創(chuàng)新試題情境，選取新穎的呈現(xiàn)形式，在知識(shí)關(guān)聯(lián)處設(shè)計(jì)綜合性試題，拓寬思維的深廣度，突出考查能力。

1. 創(chuàng)設(shè)智力游戲情境，考查推理能力

3套全國(guó)卷都創(chuàng)造性地將智力游戲類問(wèn)題引入填空題壓軸題。這些試題不重點(diǎn)考查具體知識(shí)點(diǎn)，而突出考查理性思維、推理能力，使得套路無(wú)用、模板失效，讓死記硬背的教學(xué)方式不能適應(yīng)高考的新要求。

例5 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第14題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1、3、5、7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2、4、6、8。兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）。四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為""" 。

對(duì)本題，首先要分析出乙的卡片排列順序變化不影響概率，因此先固定乙的卡片排列順序，不妨為2、4、6、8；如此簡(jiǎn)化問(wèn)題，得到甲的卡片排放種數(shù)為4！=24；接著注意到甲的標(biāo)有1的卡片無(wú)論怎么放置，都得0分，因此，要使得甲的總得分不小于2，通過(guò)分類討論，分別考慮甲得2分或3分；甲得2分時(shí)，再討論得分的分別是3、5或3、7或5、7；甲得3分時(shí)，必然是3、5、7各得1分。條分縷析的梳理如圖5所示。

本題為探究性學(xué)習(xí)提供了極好的素材，可以先采用“退”的策略，退到甲、乙雙方只有2張、3張卡片的簡(jiǎn)單情況；再采用“進(jìn)”的策略，研究一般情況下的概率問(wèn)題。事實(shí)上，當(dāng)甲、乙雙方只有3張卡片時(shí)，問(wèn)題就是我國(guó)古代著名的“田忌賽馬”問(wèn)題。整個(gè)研究路徑如圖6所示。

2. 創(chuàng)設(shè)知識(shí)交匯情境，考查綜合能力

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷強(qiáng)化綜合性考查，在知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)試題，考查知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，考查學(xué)生對(duì)學(xué)科理論本質(zhì)屬性和相互關(guān)聯(lián)理解與掌握程度［3］，考查學(xué)生的關(guān)鍵能力。如：新課標(biāo)Ⅰ卷第5題將圓柱與圓錐結(jié)合，綜合考查側(cè)面積、體積的計(jì)算；新課標(biāo)Ⅱ卷第6題綜合考查冪函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)；全國(guó)甲卷（理科）第9題將平面向量和常用邏輯用語(yǔ)結(jié)合，通過(guò)向量垂直、平行的判定考查充要條件。

例6 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第19題）已知雙曲線C：x2-y2=m（m＞0），點(diǎn)P1（5，4）在C上，k為常數(shù)，0＜k＜1。按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn（n=2，3，…）：過(guò)Pn-1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn-1，令Pn為Qn-1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記Pn的坐標(biāo)為（xn，yn）。

（1） 若k=12，求x2、y2；

（2） 證明：數(shù)列{xn-yn}是公比為1+k1-k的等比數(shù)列；

（3） 設(shè)Sn為△PnPn+1Pn+2的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，Sn=Sn+1。

本題選擇雙曲線背景，基于帕斯卡定理創(chuàng)設(shè)與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題情境，立意高、意蘊(yùn)深，考查學(xué)生的閱讀理解能力，要求學(xué)生獲取信息后聯(lián)想所學(xué)的相關(guān)知識(shí)，制訂解決問(wèn)題的策略，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。學(xué)生要在仔細(xì)審題的基礎(chǔ)上畫(huà)出圖形，進(jìn)而結(jié)合圖形分析條件與目標(biāo)的關(guān)聯(lián)，最后選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ńⅫc(diǎn)與點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系，解決問(wèn)題。第（2）、第（3）兩問(wèn)的解題路徑分別如下頁(yè)圖7、圖8所示。

3. 創(chuàng)設(shè)新型定義情境，考查創(chuàng)新能力

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷突出創(chuàng)新導(dǎo)向，設(shè)計(jì)新定義問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，發(fā)揮想象力和思想的張力，在思維過(guò)程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法，自主選擇路徑和策略，真正實(shí)現(xiàn)從“解題”走向“解決問(wèn)題”。

例7 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第19題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj（i＜j）后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分?jǐn)?shù)列。

（1） 寫(xiě)出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是（i，j）-可分?jǐn)?shù)列；

（2） 當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）-可分?jǐn)?shù)列；

（3） 從1，2，…，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j（i＜j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm，證明：Pm＞18。

本題以等差數(shù)列為知識(shí)背景，設(shè)計(jì)新定義“可分?jǐn)?shù)列”?？忌斫飧拍畈⒉焕щy，解決問(wèn)題也不需要關(guān)于數(shù)列的復(fù)雜知識(shí)，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)構(gòu)造“可分?jǐn)?shù)列”的方法，這給所有考生提供了公平比賽的舞臺(tái)。本題的3個(gè)問(wèn)題由特殊到一般，由淺入深，為考生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究提供了腳手架，也讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的一般過(guò)程。本題具體探究路徑如圖9所示。

（三） 聚焦素養(yǎng)，創(chuàng)推進(jìn)教改的新契機(jī)

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷的命題真正實(shí)現(xiàn)了從“知識(shí)立意”向“素養(yǎng)導(dǎo)向”的轉(zhuǎn)變。3套試卷是解讀《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的“生動(dòng)案例”，也是遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的“鮮活典范”，還是尊重教材、使用教材的“示范標(biāo)兵”。試題深化基礎(chǔ)性考查，在概念的深刻理解處、在核心主干重點(diǎn)處、在相關(guān)知識(shí)的連接處精心創(chuàng)設(shè)情境，考查學(xué)生的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值。

例8 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第18題）已知函數(shù)f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3。

（1） 若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值；

（2） 證明：曲線y=f（x）是中心對(duì)稱圖形；

（3） 若f（x）＞-2當(dāng)且僅當(dāng)1＜x＜2，求b的取值范圍。

對(duì)本題追根溯源，函數(shù)f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3是由教材中常見(jiàn)的3個(gè)奇函數(shù)y=ln1+x1-x、y=x、y=x3，通過(guò)引進(jìn)參數(shù)整合成g（x）=ln1+x1-x+ax+bx3（其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），再將圖像向右平移1個(gè)單位并向上平移a個(gè)單位得到的，所以第（2）問(wèn)設(shè)置了中心對(duì)稱性的證明。基于以上變換，第（3）問(wèn)“f（x）＞-2當(dāng)且僅當(dāng)1＜x＜2”在求出a=2后，可以轉(zhuǎn)化為“g（x）＞0當(dāng)且僅當(dāng)0＜x＜1”求解，從而大幅度減少運(yùn)算量。

以評(píng)價(jià)引導(dǎo)教學(xué)，以評(píng)價(jià)倒逼課堂。2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷吹響了中學(xué)數(shù)學(xué)深化教學(xué)改革的號(hào)角。面對(duì)素養(yǎng)導(dǎo)向的育人要求，面對(duì)拔尖創(chuàng)新人才的國(guó)家需求，我們要順應(yīng)時(shí)代呼喚，搶抓機(jī)遇，進(jìn)一步明晰高考評(píng)價(jià)體系的要求，深入研究課程標(biāo)準(zhǔn)，整體把握課程內(nèi)容主線；要認(rèn)真研究學(xué)情，把準(zhǔn)學(xué)生基礎(chǔ)，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)主線突出、邏輯清晰、思維連貫的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流，讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的核心概念，熟練掌握數(shù)學(xué)的通性通法，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法；要開(kāi)展項(xiàng)目化、主題式、探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)研究的路徑與方法，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于質(zhì)疑、善于思考的理性思維與理性精神。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 陳昂，任子朝．高考數(shù)學(xué)試題情境創(chuàng)新研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（13）：7．

［2］ 教育部教育考試院．2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析［EB/OL］.（20240607）［20240701］.https：//www.bjnews.com.cn/detail/1717764190129274.html.

［3］ 翟嘉祺，任子朝，趙軒．高考深化基礎(chǔ)性考查研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（31）：6．