高等數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

［摘 要］創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，大學(xué)生是中華民族崛起的希望，大學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是增強(qiáng)我國(guó)綜合競(jìng)爭(zhēng)力的核心所在。高等數(shù)學(xué)是一門(mén)十分重要的基礎(chǔ)課程，受眾廣、影響較大。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中注重學(xué)生創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是至關(guān)重要的。文章探討了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要性，進(jìn)而探索在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的方法，提出了五個(gè)有效培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的途徑：引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)定義或定理；啟發(fā)學(xué)生一題多解；指導(dǎo)學(xué)生用高等數(shù)學(xué)的方法解決本專(zhuān)業(yè)的問(wèn)題；鼓勵(lì)學(xué)生自己編寫(xiě)程序或繪制圖形；科研促進(jìn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)。

［關(guān)鍵詞］高等數(shù)學(xué)；創(chuàng)新能力；教學(xué)改革

［中圖分類(lèi)號(hào)］G645 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A ［文章編號(hào)］2095-3437（2024）15-0009-05

一、培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新能力的重要性

創(chuàng)新能力是在技術(shù)和各種實(shí)踐活動(dòng)領(lǐng)域中不斷提供具有經(jīng)濟(jì)價(jià)值、社會(huì)價(jià)值、生態(tài)價(jià)值的新思想、新理論、新方法和新發(fā)明的能力[1-2]。創(chuàng)新能力是民族進(jìn)步的靈魂、經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)的核心；當(dāng)今社會(huì)的競(jìng)爭(zhēng)，與其說(shuō)是人才的競(jìng)爭(zhēng)，不如說(shuō)是人的創(chuàng)造力的競(jìng)爭(zhēng)。

大學(xué)生是一個(gè)民族的希望和未來(lái)，是開(kāi)展“大眾創(chuàng)業(yè)、萬(wàn)眾創(chuàng)新”的關(guān)鍵群體；大學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要階段，如何系統(tǒng)地、可持續(xù)地提升大學(xué)生的創(chuàng)新能力，是擺在每一名高校教育工作者面前的重要課題[3-4]。

大一學(xué)生本應(yīng)該是最具有創(chuàng)造力的一個(gè)群體，但事實(shí)上，少數(shù)大一學(xué)生上大學(xué)后認(rèn)為目標(biāo)已經(jīng)達(dá)到，開(kāi)始想要“躺平”和偷懶；部分學(xué)生養(yǎng)成了刷題的習(xí)慣，為了做題而做題，沒(méi)有進(jìn)行深入的思考；還有部分學(xué)生只關(guān)心課程能修幾個(gè)學(xué)分、怎么樣才能快速提高課程成績(jī)等。因此，在大一入學(xué)階段激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的創(chuàng)新思考能力迫在眉睫[5]。

高等數(shù)學(xué)是本科生入學(xué)的第一門(mén)公共基礎(chǔ)課，它為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義。高等數(shù)學(xué)是幾乎所有專(zhuān)業(yè)大一新生的必修課程，影響范圍非常廣，影響力非常強(qiáng)，是大一新生剛?cè)雽W(xué)就要接觸的重要課程，因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力尤為重要。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的方法

（一）引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)定義或定理

高等數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)課程，很多模塊的知識(shí)點(diǎn)理論框架非常嚴(yán)謹(jǐn)。傳統(tǒng)的教學(xué)法是“灌輸式”的教師單一輸出，教師從定義開(kāi)始，一口氣講到定理的證明，再講解法，再結(jié)合例子做計(jì)算或者證明[6]。這種“填鴨式”的教學(xué)非常0DxKKhVqVodLlUsYAJPw3RagBz+cbrqWyfm1vvLLWpE=不利于學(xué)生主動(dòng)思考，就算學(xué)生被動(dòng)記住了若干定義或定理，也沒(méi)有深入理解知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈和形成知識(shí)體系。學(xué)生往往不敢想象自己能推導(dǎo)出看似深不可測(cè)的定義或定理，但是如果能在教師的引導(dǎo)下經(jīng)過(guò)嘗試后推導(dǎo)出定義或定理，其自信心會(huì)大大增強(qiáng)，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣也會(huì)被激發(fā)。雖然只是小小的一次嘗試，但是這非常有助于對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)主流教材中，學(xué)生的學(xué)習(xí)一般是從極限的定義開(kāi)始的。這對(duì)還停留在高中學(xué)習(xí)習(xí)慣階段的大一新生來(lái)說(shuō)是一個(gè)非常大的挑戰(zhàn)，因?yàn)橹八麄兒苌俳佑|如此抽象的定義。極限的定義有25種（包括數(shù)列極限和函數(shù)極限），定義較多，而且由于課時(shí)的限制，教師無(wú)法對(duì)所有定義都展開(kāi)細(xì)講。這就導(dǎo)致部分學(xué)生因?yàn)椴荒芎芎玫卣莆者@些知識(shí)點(diǎn)而降低了對(duì)學(xué)習(xí)的熱情，甚至懷疑自己的學(xué)習(xí)能力。以下以極限定義的講授方法為例（見(jiàn)圖1），介紹如何引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)定義或定理。

在教學(xué)中，教師要先精講數(shù)列極限[limn→∞xn=a]的定義和性質(zhì)，因?yàn)檫@是學(xué)生接觸的第一個(gè)定義，而且是后面所有極限定義的基礎(chǔ)。緊接著講函數(shù)極限定義的第一種[limx→+∞f（x）=A]，因?yàn)檫@種函數(shù)極限定義和數(shù)列極限定義是最接近的。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)列極限定義的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得出函數(shù)極限[limx→+∞f（x）=A]的定義。這雖然是簡(jiǎn)單的一個(gè)推導(dǎo)，但已經(jīng)從數(shù)列極限成功過(guò)渡到了函數(shù)極限，學(xué)會(huì)推導(dǎo)是學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的第一步。

隨后，教師可以讓學(xué)生自己嘗試寫(xiě)出函數(shù)極限[limx→-∞f（x）=A]和[limx→∞f（x）=A]的定義，由于已學(xué)習(xí)過(guò)定義推導(dǎo)，因此學(xué)生是可以自己寫(xiě)出以上定義的。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)自己思考得出的知識(shí)印象很深刻，而且也不再那么枯燥乏味。

教師在講完自變量趨于無(wú)窮大時(shí)的函數(shù)極限后，開(kāi)始講述難點(diǎn)：自變量趨于有限值時(shí)的函數(shù)極限。這個(gè)內(nèi)容需要學(xué)生具有一定的創(chuàng)新思維。教師要啟發(fā)學(xué)生把前面定義[limx→+∞f（x）=A]中的[x]變更為刻畫(huà)[x]和[x0]接近程度的指標(biāo)[δ]，從而完成最難的函數(shù)極限定義[limx→x0f（x）=A]。這個(gè)教學(xué)內(nèi)容就是在前面推導(dǎo)能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的啟發(fā)和培養(yǎng)。

完成函數(shù)極限[limx→x0f（x）=A]的定義后，教師就可以較為輕松地引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出兩個(gè)單側(cè)極限[limx→x0+f（x）=A]和[limx→x0-f（x）=A]了。這樣就完成了推廣[→]創(chuàng)新[→]推廣的完整思維訓(xùn)練。這種引導(dǎo)式的講授方法更容易讓學(xué)生參與課堂教學(xué)，而且學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握會(huì)更加牢固。

（二）啟發(fā)學(xué)生一題多解

高等數(shù)學(xué)是一門(mén)非常重要的基礎(chǔ)課程，它給很多專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維模式，同時(shí)也是全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一招生考試中的必考科目。很多優(yōu)秀學(xué)生大一剛?cè)雽W(xué)就開(kāi)始為考研打基礎(chǔ)，在掌握了課堂基礎(chǔ)知識(shí)之后，自己探索綜合性更強(qiáng)、難度更大的題目。眾所周知，數(shù)學(xué)是做出來(lái)的，做題對(duì)學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容尤為重要。

在訓(xùn)練學(xué)生做題時(shí)，也可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新能力的啟發(fā)和培養(yǎng)，那就是鼓勵(lì)有能力的學(xué)生進(jìn)行一題多解的嘗試和訓(xùn)練。高等數(shù)學(xué)中很多題目都可以有多種解法。訓(xùn)練學(xué)生一題多解，既可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，讓學(xué)生嘗試多角度解決問(wèn)題；也可以讓學(xué)生打破章節(jié)的界限，把知識(shí)點(diǎn)梳理得更加系統(tǒng)；還可以培養(yǎng)學(xué)生勇于嘗試、不怕失敗的精神；更重要的是可以鼓勵(lì)學(xué)生邁出創(chuàng)新的第一步，而不是只會(huì)照搬公式。

本文以一個(gè)三重積分的題目為例來(lái)說(shuō)明一題多解的巧妙使用。

例：計(jì)算[I=Ω（x2+y2）dxdydz]，其中Ω是錐面[x2+y2=z2]與平面[z=a（a>0）] 所圍的立體。

解法一：球坐標(biāo)變換

[I=Ω（x2+y2）dxdydz=][02πdθ0π4d?0acos?r4sin3?dr ][=2π0π4sin3?·]

[15a5cos5?-0d?=π10a5]。

解法二：柱坐標(biāo)變換

[I=Ω（x2+y2）dxdydz][ =02πdθ0ardrrar2dz=][2π0ar3（a-r）dr ][=2πa?a44-a55][ =π10a5。]

類(lèi)似的例子可以找到很多，鍛煉學(xué)生進(jìn)行一題多解，是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力、創(chuàng)新能力的重要途徑。

（三）指導(dǎo)學(xué)生用高等數(shù)學(xué)的方法解決本專(zhuān)業(yè)的問(wèn)題

高等數(shù)學(xué)普遍開(kāi)設(shè)于大學(xué)一年級(jí)，是幾乎所有專(zhuān)業(yè)的必修課程。教師在授課過(guò)程中，如果能夠針對(duì)學(xué)生的不同專(zhuān)業(yè)，將高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)與專(zhuān)業(yè)有關(guān)的前沿科技成果結(jié)合，會(huì)有很多方面的益處[7-8]。首先能夠讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)作用和支撐作用，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到高等數(shù)學(xué)這門(mén)課是真正有用的課程；其次可以讓學(xué)有余力的學(xué)生有進(jìn)一步擴(kuò)展學(xué)習(xí)的空間；更重要的是可以在解決本專(zhuān)業(yè)問(wèn)題的過(guò)程中鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新能力。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程與不同專(zhuān)業(yè)的交叉融合也是近年教學(xué)改革和研究的熱點(diǎn)。針對(duì)不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，任課教師要發(fā)揮自己的科研特長(zhǎng)，了解學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)的前沿問(wèn)題，找到其與高等數(shù)學(xué)的契合點(diǎn)。在教學(xué)過(guò)程中，給學(xué)生布置任務(wù)，將任務(wù)轉(zhuǎn)化為學(xué)生能夠理解的數(shù)學(xué)模型或簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。學(xué)生可以自由組合，以小組的方式來(lái)完成任務(wù)，任務(wù)完成的過(guò)程中會(huì)涉及背景的調(diào)研、文獻(xiàn)資料的查閱、相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)方法的融入等，每一個(gè)環(huán)節(jié)都是對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力、團(tuán)隊(duì)合作能力、解決問(wèn)題能力的鍛煉。下面是體現(xiàn)學(xué)生解決問(wèn)題過(guò)程的一個(gè)很好的例子。

問(wèn)題的提出：結(jié)合福島核電站排污事件，思考傳統(tǒng)的核廢料處理的安全性。傳統(tǒng)核廢料的處理方法是將裝有核廢料的金屬圓桶投入選定海底，專(zhuān)家表示金屬圓筒是密閉的，核廢料不會(huì)發(fā)生泄漏，但是圓桶是否會(huì)因與海底碰撞而發(fā)生破裂？經(jīng)過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)圓桶下沉的速度超過(guò)每秒12.2米時(shí)，圓桶會(huì)因碰撞而破裂。由此得出需解決的問(wèn)題——圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度到底是多少？會(huì)因?yàn)榕鲎捕屏褑幔?/p>

問(wèn)題的解決過(guò)程：設(shè)圓桶的重量為W，海水的浮力為B，圓桶的體積為V，則圓桶下沉?xí)r的阻力D=[k?v]， 其中k為阻力常數(shù)，[v]是下沉的速度。由牛頓第二定律可以建立一個(gè)二階微分方程的初值問(wèn)題，即

[md2ydt2=W-B-k?dydt， y（0）=0， dydtt=0=0。]

判斷方程類(lèi)別，可視為[y=f（x，y）]或者[y=f（y，y）]，依照兩種模型分別求解問(wèn)題的解為

[v（t）=W-Bk1-e-kmt] 或者[ym=-1kv-W-Bk2?]

[lnW-B-kvW-B]。

這兩個(gè)解都含有未知參數(shù)，比如解1中含有未知的時(shí)間參數(shù)，解2中含有未知的速度參數(shù)。因此，如需尋找數(shù)值解答，可通過(guò)牛頓迭代法求出其數(shù)值解[v≈13.64 m/s]。因?yàn)?3.64>12.2，圓桶下沉的速度超過(guò)了每秒12.2米，所以圓桶會(huì)因碰撞而破裂。

問(wèn)題的結(jié)論：核廢料裝入金屬圓桶沉入海底的處理方法不安全，不可取。

（四）鼓勵(lì)學(xué)生自己編寫(xiě)程序或繪制圖形

在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合法是一個(gè)非常重要的教學(xué)方法。高等數(shù)學(xué)幾乎所有章節(jié)都可以結(jié)合圖形展開(kāi)教學(xué)，這樣可以讓學(xué)生更好地理解問(wèn)題，從而解決問(wèn)題。尤其是在“定積分的應(yīng)用”“空間解析幾何”“方向?qū)?shù)和梯度”“重積分”“線面積分”這些章節(jié)中，會(huì)用到大量的圖形。

教師可以鼓勵(lì)學(xué)生自己編寫(xiě)程序或者學(xué)習(xí)使用一些繪圖軟件、數(shù)學(xué)計(jì)算軟件等來(lái)繪制圖形。在這個(gè)過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生的好奇心、探究欲，培養(yǎng)其創(chuàng)造能力。看著通過(guò)自己的努力繪制出來(lái)的圖形，學(xué)生會(huì)非常有成就感，學(xué)習(xí)的熱情也會(huì)被大大地激發(fā)。學(xué)生的優(yōu)秀作品可以作為教師上課展示的素材，這樣還可以豐富教師的圖形庫(kù)；同時(shí)，在課堂展示學(xué)生的優(yōu)秀作品，可以激發(fā)學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和再創(chuàng)造意識(shí)?？梢哉f(shuō)，鼓勵(lì)學(xué)生自己畫(huà)圖，能夠達(dá)到一舉多得的效果。

（五）科研促進(jìn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)

實(shí)施大學(xué)生科研訓(xùn)練計(jì)劃是構(gòu)建與研究型大學(xué)相適應(yīng)的本科人才培養(yǎng)體系的關(guān)鍵措施?？蒲杏?xùn)練計(jì)劃與專(zhuān)業(yè)課程教學(xué)有機(jī)結(jié)合是促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)提高，推動(dòng)研究型大學(xué)本科教學(xué)改革的有效途徑。教師可以將自己的部分科研問(wèn)題引入高等數(shù)學(xué)課堂，并結(jié)合數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新實(shí)踐課程，以及各類(lèi)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和協(xié)作精神，達(dá)到使教師科研項(xiàng)目與課程教學(xué)內(nèi)容互融共促的目的。

教師可以通過(guò)調(diào)研挖掘各專(zhuān)業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的需求，研制出一系列具有專(zhuān)業(yè)特色的應(yīng)用型教學(xué)案例，將科學(xué)問(wèn)題與工程問(wèn)題引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，將科研方法與數(shù)學(xué)建模思想融入課程教學(xué)。例如，由國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)C919工作原理引出二階微分方程的解的結(jié)構(gòu)，由斐波那契數(shù)列詮釋單調(diào)有界原理。這種科研項(xiàng)目促進(jìn)教學(xué)的實(shí)踐，可以有效補(bǔ)充高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容，極大地增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

再比如講解梯度和方向?qū)?shù)時(shí)，可以介紹梯度在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行依賴(lài)于梯度下降法和反向傳播算法。梯度下降法是最基本的求最小值的優(yōu)化算法，反向傳播算法使得人工智能被廣泛應(yīng)用。這兩類(lèi)算法組合構(gòu)成了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使深度網(wǎng)絡(luò)能夠從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)，賦予它們分類(lèi)圖像、識(shí)別語(yǔ)音、翻譯語(yǔ)言、理解無(wú)人駕駛路況以及完成大量其他任務(wù)的能力。梯度下降法是一種可以使得誤差逆向傳播，將全局誤差收斂到極小值從而訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練方法，采用計(jì)算梯度的方式來(lái)一步步逼近誤差極小值。

總之，在教學(xué)中，教師應(yīng)該注重信息技術(shù)與工程數(shù)學(xué)的深度融合，進(jìn)一步從教師團(tuán)隊(duì)的科研工作中凝練適合高等數(shù)學(xué)課堂的典型問(wèn)題，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽或科技小論文競(jìng)賽的方式培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和協(xié)作精神，做到“教師科研項(xiàng)目—課程思政案例—?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)競(jìng)賽—科技論文競(jìng)賽”的互融共促，有效提升教師的教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

三、結(jié)語(yǔ)

大學(xué)生是一個(gè)民族的希望，大學(xué)生的創(chuàng)新能力是一個(gè)民族崛起的寄托，培養(yǎng)當(dāng)代大學(xué)生的創(chuàng)新能力，在當(dāng)今這個(gè)競(jìng)爭(zhēng)激烈、變化多端的世界里，顯得尤為重要。

高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不只是學(xué)習(xí)一個(gè)個(gè)定理，而是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維去解決實(shí)際問(wèn)題的能力。學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)案例，學(xué)會(huì)如何建模，如何求解，如何舍棄次要因素、找到主要因素。由于高等數(shù)學(xué)課程的受眾較廣，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力更加迫切和關(guān)鍵。

筆者結(jié)合多年的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，深入探討了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的方法，提出了五個(gè)有效培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的途徑：引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)定義或定理；啟發(fā)學(xué)生一題多解；指導(dǎo)學(xué)生用高等數(shù)學(xué)的方法解決本專(zhuān)業(yè)的問(wèn)題；鼓勵(lì)學(xué)生自己編寫(xiě)程序或繪制圖形；科研促進(jìn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。筆者對(duì)這五個(gè)方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，并列舉了具體的案例。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

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［責(zé)任編輯：蘇祎穎］