圖像法速解物體被切割后的壓強問題

摘要：固體壓強中的“切割”問題是近年來重慶中考物理試卷的?？键c，同時也是重點和難點，傳統(tǒng)公式推導(dǎo)過程較為復(fù)雜，對學(xué)生的綜合能力要求較高。相比之下，圖像法則只需要畫出大致圖像即可進行判斷，簡單、高效、實用。本文以固體壓強的“橫切”問題為例，從常規(guī)解法入手，引入了簡便的圖像法輔助解題。

關(guān)鍵詞：切割；圖像法；創(chuàng)新快捷思路

對于壓強的“切割”問題，本文統(tǒng)計了2016年至2022年總共7年的重慶中考物理A、B卷試題，發(fā)現(xiàn)2016年、2019年、2021年、2022年的A卷以及2019年、2022年的B卷，分別在試卷難度最高的選擇題、填空題或者計算題考查固體壓強中的“切割”問題。其中“豎切”問題較為簡單，但是試題中更多考查的是較為復(fù)雜的“橫切”問題。由此可見，固體壓強中的“切割”變化問題是初中物理的一個?？键c，也是教學(xué)中的重點和難點，同時還是教師訓(xùn)練和提升學(xué)生邏輯思維能力的有效載體。［1］

1問題概括與舉例

固體壓強中的“切割”變化問題，以形狀規(guī)則的柱形物體或者裝入液體的柱形容器為主，其特點是質(zhì)量分布均勻、實心、柱形（包括正方體、長方體、圓柱體等）。本文主要研究固體壓強的“橫切”問題，對于裝入液體的柱形容器問題，可以用類似的方法解決。

問題舉例如下。

如圖所示，A、B均為質(zhì)量均勻的實心正方體，置于水平地面上，已知ρA＜ρB。若沿著水平方向切去相同的高度Δh，則A、B剩余部分對水平地面的壓強關(guān)系是？

2常規(guī)解法對比評析

2.1公式推導(dǎo)

根據(jù)題目中所給的條件，A、B均為質(zhì)量均勻的實心正方體，所以公式p＝ρgh適用，推導(dǎo)過程如下。

因為ρA＜ρB且hA0＜hB0，

所以ρAghA0＜ρBghB0，即pA0＜pB0；

又因為ρA＜ρB且Δh＝Δh，

故ρAgΔh＜ρBgΔh，即ΔpA＜ΔpB，

所以pA余＝pA0－ΔpA，pB余＝pB0－ΔpB。

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，等式存在“大減大，小減小”，所得的結(jié)果無法判斷。公式法在此處行不通。

2.2引入極限思想

由于公式法行不通，有的同學(xué)會引入極限的思想。推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，每次切去相同的高度，A會被先切完，所以A余下部分的壓強會小一些。［2］

2.3評析

公式法雖然邏輯簡單，但推導(dǎo)難度大，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、邏輯思維能力和綜合思考能力要求較高，而且不一定能夠得到正確的答案。極限法快捷，但要取到極限，比較特殊，且不確定極限能否代表一般情況，所以也不一定正確。兩種常規(guī)思路都存在一定缺陷。

3創(chuàng)新思路——圖像法

圖像法是一種有效的解題方法，它通過結(jié)合數(shù)字函數(shù)畫出對應(yīng)的簡略圖像，實現(xiàn)化難為易，從而輔助解題。

3.1第一步，利用壓強公式，寫出相應(yīng)解析式

假設(shè)原來的壓強為p0，切去的厚度為Δh，根據(jù)p＝ρgh可得

3.2第二步，與數(shù)學(xué)一次函數(shù)y＝kx＋b對應(yīng)后畫出p余-Δh圖像

切割之后余下部分的壓強p余＝－ρgΔh＋p0，可以與數(shù)學(xué)中的一次函數(shù)y＝kx＋b一一對應(yīng)，如表1所示。物體余下部分的壓強p余隨著切去高度Δh的變化而變化，p余隨著Δh的增大而均勻減小。其中，hA0、hB0表示A、B物體還沒有被切割時的高度，pA0、pB0分別表示A、B物體還沒有被切割時的壓強。ρg表示斜率，也就是壓強變化的快慢程度，密度越大，壓強減小得越快，圖像越陡，即B物體余下部分對地面的壓強減小得更快。

于是可以在同一個坐標系內(nèi)畫出A、B物體余下部分的壓強p余隨切去高度Δh變化的圖像（見圖1）。

由圖1很容易就可以發(fā)現(xiàn)：在整個切割過程中，A余下部分的壓強pA余始終在B余下壓強pB余的下方，即pA余＜pB余。

這樣便通過畫圖像的方法解決了此類“切割”問題。此方法簡單、快捷、容易理解，同時也引導(dǎo)學(xué)生對跨學(xué)科知識的遷移運用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

4拓展應(yīng)用

核心母題如圖所示，C、D均為質(zhì)量均勻的實心正方體，將其置于水平地面上，它們對地面的壓強相等。請回答下列問題（均選填下列選項前的序號）。

A. pC＞pD

B. pC＝pD

C. pC＜pD

D. 無法確定

①若沿水平方向分別切去相同厚度，則剩余部分對水平地面的壓強關(guān)系是（）。

②若沿水平方向分別切去相同體積，則剩余部分對水平地面的壓強關(guān)系是（）。

③若沿水平方向分別切去相同質(zhì)量，則剩余部分對水平地面的壓強關(guān)系是（）。

變式1：若C、D對地面的壓力相等（或質(zhì)量相同）。

④若沿水平方向分別切去相同厚度，則剩余部分對水平地面的壓強關(guān)系是（）。

⑤若沿水平方向分別切去相同體積，則剩余部分對水平地面的壓強關(guān)系是（）。

⑥若沿水平方向分別切去相同質(zhì)量，則剩余部分對水平地面的壓強關(guān)系是（）。

4.1對問題①進行分析

由pC0＝pD0，可知ρCghC0＝ρDghD0，且hC0＜hD0，故ρC＞ρD。

結(jié)合p余＝－ρgΔh＋p0，C、D初始壓強相等。因為ρCg＞ρDg，所以C余下部分的壓強減小得更快，C對應(yīng)的圖像坡度更陡。且hC0＜hD0，C會先被切完。可得題①中C、D余下部分壓強變化圖像如圖2所示，由此可得，整個“橫切”過程中，pC余＜pD余。

4.2對問題②進行分析

首先分析得出表達式p余＝－ρgSΔV＋p0，p余與ΔV是一次函數(shù)關(guān)系，p0相同；因為ρCgSC＞ρDgSD，故C余下部分的壓強變化更快，圖像更陡；且C的體積小，C先被切完；可以畫出對應(yīng)的函數(shù)圖像如圖3所示，可以很快捷地得出C、D剩余部分對水平地面的壓強關(guān)系是pC＜pD。

4.3對問題③進行分析

首先分析得出表達式p余＝－gSΔm＋p0，p余與Δm是一次函數(shù)關(guān)系，p0相同；因為gSC＞gSD，C余下部分的壓強變化更快，圖像更陡；根據(jù)G＝F＝p0S且SC＜SD，可得mC0＜mD0，C先被切完；可以畫出對應(yīng)的函數(shù)圖像如圖4所示，可以很快捷地得出C、D剩余部分對水平地面的壓強關(guān)系是pC＜pD。

4.4對變式1中問題④進行分析

如果采用常規(guī)公式法，推導(dǎo)過程如下。

根據(jù)p＝FS，由FC0＝FD0且SC＜SD，

可知pC0＞pD0。

又因為hC0＜hD0，

可得ρC＞ρD，

故ρCgΔh＞ρDgΔh。

根據(jù)p余＝p0－Δp＝p0－ρgΔh，

可知pC余＝pC0－ρCgΔh與pD余＝pD0－ρDgΔh，

故存在“大減大，小減小”，兩者無法比較。

而采用圖像法，首先得出對應(yīng)的表達式p余＝－ρgΔh＋p0，p余與Δh是一次函數(shù)關(guān)系。根據(jù)前面的分析，已推出pC0＞pD0。根據(jù)ρC＞ρD，可得ρCg＞ρDg，所以C余下部分的壓強變化更快，圖像更陡。且hC0＜hD0，C先被切完，可以畫出對應(yīng)的函數(shù)圖像如圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在Δh＜hx時，pC余＞pD余；在Δh＝hx時，pC余＝pD余；在Δh＞hx時，pC余＜pD余。這也可以解釋為什么常規(guī)公式法無法直接比較，更不能盲目使用極限法的原因。

4.5對變式1中⑤⑥進行分析

根據(jù)相同的思路，可以得到⑤⑥對應(yīng)的圖像如圖6、圖7所示，壓強大小的判斷就很簡單了。

5總結(jié)

在解題過程中，學(xué)生能否寫出具體的函數(shù)解析式并不是關(guān)鍵。學(xué)生只需要大致得出p余與對應(yīng)變量的關(guān)系圖像，就能對各選項做出判斷。該方法降低了對學(xué)生的思維能力要求，普遍適用于大多數(shù)學(xué)生，值得推廣。

參考文獻

［1］劉建.提升邏輯思辨能力培養(yǎng)物理核心素養(yǎng)——以“壓強變化”主題復(fù)習(xí)為例［J］.物理通報，2022（7）：72-75，100.

［2］眭萍萍.巧用物理圖像 延伸思維觸角——以“固體壓強切割問題”為例［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2022，51（18）：57-58.