散射體旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)模態(tài)下拓?fù)渎暩咝阅懿ㄊ尚螜C(jī)理

摘要：實(shí)現(xiàn)具有特定形式的無旁瓣高指向性聲波波束的發(fā)射以及發(fā)射器件抵抗錯(cuò)誤因素的能力過低一直是波束成形領(lǐng)域的棘手問題，通過旋轉(zhuǎn)散射體在聲學(xué)拓?fù)浣^緣體的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系下提出了散射體旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)模態(tài)下拓?fù)渎晫W(xué)高性能波束成形機(jī)理。受到旋轉(zhuǎn)散射體對(duì)模態(tài)耦合的調(diào)控，能夠?qū)崿F(xiàn)無旁瓣寬頻段下對(duì)波束波峰寬度以及波束能量衰減速率的近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)調(diào)控。通過在此結(jié)構(gòu)內(nèi)部引入錯(cuò)誤因素，發(fā)現(xiàn)此拓?fù)渎晫W(xué)高性能波束成形器具有高容錯(cuò)特性，多個(gè)錯(cuò)誤因素對(duì)波束成形的近場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)結(jié)果基本不產(chǎn)生影響，這在很大程度上降低了加工制造的難度，同時(shí)極大地提高了器件的使用壽命。分別對(duì)拓?fù)渎晫W(xué)波束成形以及錯(cuò)誤因素介入下波束成形進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果實(shí)現(xiàn)了4100～4630Hz寬頻帶下無旁瓣的寬波峰波束，并且在器件中部分散射體缺失的情況下充分驗(yàn)證了波束成形器的高容錯(cuò)性。該研究提出的全新波束成形方法可為聲學(xué)通信、微納制造、生物醫(yī)學(xué)和其他微形及多功能聲學(xué)設(shè)備的工程應(yīng)用提供參考。

關(guān)鍵詞：波束成形；拓?fù)渎晫W(xué)；高容錯(cuò)；模態(tài)耦合；無旁瓣

中圖分類號(hào)：TB532" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202409019 文章編號(hào)：0253-987X（2024）09-0191-14

Topological Acoustic High Performance Beamforming Mechanism Under Scatterer Rotation-Induced Mode

MA Chengzhi1，2， WU Jiuhui1，2， SONG Qian1，2， YU Luoqin1，2

（1. School of Mechanical Engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China; 2. State Key

Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

Abstract：The emission of high directional acoustic beams without sidelobes， along with the low resistance of transmitting devices to error factors， has been a challenging issue in beamforming. In this paper， a mechanism of topological acoustic beamforming with high performance under rotation-induced mode of the scatterer is proposed under the bulk-boundary correspondence relationship of the acoustic topological insulator by rotating the scatterer. The modulation of the modal coupling by the rotating scatterer enables the beam to have varying width crest and beam energy attenuation rates across a wide band without sidelobes in both near field and far field. By introducing error factors into the structure， it is found that the topological acoustic high performance beamforming device has high fault tolerance， and multiple error factors do not affect the near and far field results of beamforming， which greatly reduces the difficulty of manufacturing and greatly improves the service life of the device. The topological acoustic beamforming and the beamforming under the involvement of error factors are experimentally verified. The experimental results demonstrate the achievement of wide peak beams without sidelobes across a wide band of 4100—4360Hz and confirm the high fault tolerance of the beamformers when some scatters are missing in the device. This study proposes a new beamforming method that has can provide a reference for the engineering applications of acoustic communication， micro and nano manufacturing， biomedicine， and other micro-shaped and multi-functional acoustic devices and inspires other classical wave fields such as light and electromagnetic waves.

Keywords：beamforming; topological acoustics; high fault tolerance; modal coupling; without sidelobe

波束成形（BF）最早源于天線技術(shù)與數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的結(jié)合，目的是用于定向信號(hào)傳輸或接收。它源于自適應(yīng)天線的一個(gè)概念，即接收端的信號(hào)處理，可以通過對(duì)多天線陣元接收到的各路信號(hào)進(jìn)行加權(quán)合成，形成所需的理想信號(hào)。從天線方向視角來看，這樣做相當(dāng)于形成了規(guī)定指向上的波束。例如，將原來全方位的接收方向圖轉(zhuǎn)換成了有零點(diǎn)、有最大指向的波瓣方向圖。同樣原理也適用于發(fā)射端，對(duì)天線陣元饋電進(jìn)行幅值和相位調(diào)整，可形成所需形狀的方向圖。電磁波領(lǐng)域?qū)Σㄊ{(diào)控的蓬勃發(fā)展［1-4］也極大地促進(jìn)了聲波領(lǐng)域中對(duì)波束調(diào)控的發(fā)展［5-15］。

上述傳統(tǒng)的波束成形方法過于復(fù)雜，生成的波束存在不可避免的旁瓣干擾，且器件在加工制造過程中由加工制造誤差所引起的缺陷，以及隨著使用時(shí)間推移器件內(nèi)部結(jié)構(gòu)的破壞及缺失均會(huì)對(duì)生成的波束造成很大的影響，器件不具備便捷、高精度以及高容錯(cuò)性［16-17］的特點(diǎn)，同時(shí)也限制了器件的小型化、微型化發(fā)展，對(duì)這些問題仍需進(jìn)行研究。

隨著凝聚態(tài)物理領(lǐng)域的快速發(fā)展［18］，其中的拓?fù)溥吔鐟B(tài)，能夠?qū)崿F(xiàn)拓?fù)浔Ｗo(hù)的穩(wěn)定能量傳輸，同時(shí)拓?fù)湫蚓哂袑?duì)抗局域擾動(dòng)的穩(wěn)定性［19］，部分缺陷對(duì)傳輸不產(chǎn)生影響，具有較強(qiáng)的容錯(cuò)性，顯示出新穎的特性［16，20-24］，這無疑為設(shè)計(jì)具有高性能的器件打開了新的思路。有關(guān)電子系統(tǒng)方面的研究極大地促進(jìn)了聲學(xué)系統(tǒng)中拓?fù)浣^緣體的研究［25-35］，由于人造晶體的對(duì)稱性有助于靈活控制，聲學(xué)量子谷霍爾效應(yīng)［36］受到越來越多的關(guān)注［26，37-39］，拓?fù)浣缑鎽B(tài)可以存在于具有不同谷霍爾相的聲子晶體交界面處，可以用來構(gòu)建受拓?fù)湫虮Ｗo(hù)的高性能聲傳輸。

同時(shí)，鑒于具有不同旋轉(zhuǎn)角度的散射體所形成的聲子晶體會(huì)誘導(dǎo)不同的特征模態(tài)［26］，基于此模態(tài)可以實(shí)現(xiàn)不同的傳輸特性。因此，進(jìn)一步基于聲子晶體空間點(diǎn)陣一致性下穩(wěn)定的布拉格散射模態(tài)，詳細(xì)分析其與散射體旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)模態(tài)之間的耦合關(guān)系，可以用來實(shí)現(xiàn)特定形式波束的誘發(fā)，在近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)獲得所需形式的波束。

在這項(xiàng)工作中，本文首次提出了全新的拓?fù)渎晫W(xué)高性能波束成形機(jī)理，通過對(duì)具有晶格點(diǎn)陣一致性的聲子晶體內(nèi)部的散射體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在聲學(xué)量子谷霍爾拓?fù)浣^緣體的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了寬頻帶下不存在旁瓣干擾且在近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)具有不同形式的波束。具體而言，通過在具有不同拓?fù)鋺B(tài)構(gòu)成的聲傳輸通道兩側(cè)進(jìn)一步反向旋轉(zhuǎn)兩側(cè)不同層數(shù)下的散射體，根據(jù)不同旋轉(zhuǎn)角下散射體誘導(dǎo)的模態(tài)變化，詳細(xì)分析其與穩(wěn)定的布拉格散射模態(tài)之間的耦合關(guān)系，探究它們之間的相互作用規(guī)律對(duì)頻帶的影響，使得整體呈現(xiàn)出能夠用來誘發(fā)寬頻段下特定形式波束的模態(tài)，通過構(gòu)建的拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器實(shí)現(xiàn)了具有不同波峰寬度的近場(chǎng)波束以及遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)射精度的調(diào)控；在保證聲子晶體所具有的拓?fù)鋺B(tài)不變的前提下，將其進(jìn)一步旋轉(zhuǎn)可以發(fā)現(xiàn)，具有寬波峰形式的拓?fù)渎晫W(xué)波束的頻帶寬度在布拉格散射界面態(tài)的主要作用下具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，同時(shí)基于聲子晶體的禁帶特性，具有拓?fù)鋺B(tài)的散射體通過進(jìn)一步旋轉(zhuǎn)改變了波束能量向傳播方向兩側(cè)的衰減速率。通過在拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器的不同區(qū)域中隨機(jī)引入缺陷（錯(cuò)誤因素），發(fā)現(xiàn)其具有較強(qiáng)的容錯(cuò)性，錯(cuò)誤因素對(duì)其幾乎不產(chǎn)生影響，這極大地降低了加工制造的難度，提高了器件的使用壽命。最后，對(duì)上述研究結(jié)果進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，驗(yàn)證了拓?fù)渎晫W(xué)高性能波束成形及拓?fù)渎晫W(xué)高性能波束成形器的高容錯(cuò)性。本文研究結(jié)果不僅將有助于聲學(xué)微控制、聲學(xué)通信、微納制造、生物醫(yī)學(xué)和其他微小型多功能聲學(xué)設(shè)備的工程應(yīng)用，而且可為光波、電磁波等其他經(jīng)典波領(lǐng)域提供更多的參考。

1 三角晶格聲子晶體的色散關(guān)系

三角晶格聲子晶體及其色散關(guān)系如圖1所示，其中基本單元情況如圖1（a）所示，晶格常數(shù)a=40mm，單元中每個(gè)散射體類似于正三角形結(jié)構(gòu)，散射體中小圓半徑r1=7mm，散射體中三角形頂角到中心的距離h=16mm，o為基本單元中心。背景介質(zhì)為空氣，質(zhì)量密度ρ0=1.29kg/m3，聲速c0=343m/s；通過3D打印技術(shù)加工制作了材料為光敏樹脂的散射單元，質(zhì)量密度ρu=1210kg/m3，聲速cu=1570m/s。由于光敏樹脂與空氣之間的聲阻抗差異很大，兩者之間的邊界可視為硬聲場(chǎng)邊界條件，滿足

n·ΔP=0 （1）

式中：n為邊界的單位法向量；P為聲壓。聲波在聲子晶體中的傳播由以下方程控制

Δ·1ρ（r）ΔP（r，t）=1B（r）2P（r，t）2t （2）

式中：ρ（r）是密度，r是位置向量；B（r）=ρ（r）c（r）2是體積模，c（r）是聲速?？紤]到聲子晶體的周期性，ρ（r）和c（r）受到以下條件的約束

ρ（r+Rn）=ρ（r）

c（r+Rn）=c（r） （3）

式中：Rn=n1a1+n2a2是方向晶格向量，a1=（a，0），a2=（a/2，3a/2），n1、n2是任意整數(shù)。

根據(jù)Bloch定理，周期聲學(xué)系統(tǒng)的響應(yīng)［40］可以表示為

P（r，t）=uk（r）ekr－ωt （4）

式中：uk（r）為響應(yīng)的振幅矢量；k為波矢量；ω為角頻率。將式（4）代入式（2）可得

Δ·1ρ（r）Δ（uk（r）ekr）+ω2B（r）uk（r）=0 （5）

采用有限元方法（FEM），式（5）可表示為如下矩陣形式

（K（k）－ω（k）2M）U=0 （6）

式中：U=U1，U2，…，UnT是uk（r）的離散形式；K是剛度矩陣；M是質(zhì)量矩陣。此外，在基本單元兩側(cè)應(yīng)用Floquet周期邊界條件［41-42］，滿足

P（r+Rn，t）=eikRnP（r，t） （7）

如圖1（a）所示的第一布里淵區(qū)中，沿著M—K—?！狹路徑掃描k，可以得到如圖1（b）所示不同旋轉(zhuǎn)角度下聲子晶體的色散關(guān)系，進(jìn)一步給出了動(dòng)量空間K附近的三維色散關(guān)系如圖1（c）所示。當(dāng)θ=nπ/3， n為整數(shù)時(shí)，K（K′）處的點(diǎn)群具有C3v對(duì)稱性，在K （K′）點(diǎn)形成狄拉克錐。例如，當(dāng)θ=0°時(shí)，可以觀察到狄拉克錐，如圖1（b）、圖1（c）中黑色實(shí)線以及黑色曲面所示。當(dāng)θ=15°時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的鏡像對(duì)稱性被打破，K（K′）點(diǎn)的對(duì)稱性降低到C3，狄拉克錐處的簡(jiǎn)并態(tài)分裂為K1和K2并存在帶隙，如圖1（b） 、圖1（c）中紅色虛線以及紅色曲面所示。

2 拓?fù)湎辔环崔D(zhuǎn)與超胞的色散關(guān)系

旋轉(zhuǎn)散射體可以實(shí)現(xiàn)聲學(xué)系統(tǒng)的拓?fù)湎辔环崔D(zhuǎn)如圖2所示。K1和K2對(duì)應(yīng)的頻率隨旋轉(zhuǎn)角的變化情況如圖2（a）所示，圖2（b）給出了θ=±15°時(shí)K1和K2處（圖2（a）中黑色圓點(diǎn)處）渦漩模態(tài)的分布情況，位于藍(lán)線上的圓點(diǎn)1和4均對(duì)應(yīng)于p-渦漩狀態(tài)，位于橙色線上的圓點(diǎn)2和3均對(duì)應(yīng)于q+渦漩狀態(tài)，其中p-和q+分別代表p和q周圍不同渦漩狀態(tài)，如紅色箭頭所示在p和q周圍分別具有順時(shí)針和逆時(shí)針的能量流。當(dāng)θ改變它的符號(hào)時(shí)，帶隙大小保持不變，拓?fù)湎辔话l(fā)生反轉(zhuǎn)［36］，由下面的拓?fù)洳蛔兞勘硎尽?/p>

評(píng)估了θ=±15°聲子晶體的拓?fù)洳蛔兞?，不同旋轉(zhuǎn)角的聲子晶體的拓?fù)湫再|(zhì)可以用帶的谷Chern數(shù)CK/K′來表征。CK/K′是通過對(duì)Berry曲率Ω（k）=iΔk×〈n（k）Δkn（k）〉進(jìn)行積分計(jì)算的，其中|n（k）〉是帶的歸一化Bloch波函數(shù)，可以由式（6）和Δk=（kx，ky）得到。因此，可以通過對(duì)K （K′）周圍的Berry曲率［43］積分得到谷Chern數(shù)

CK/K′=12π∫Ω（k）dk2 （8）

當(dāng)θ=－15°時(shí)，第一條帶的谷K （K′）對(duì)應(yīng)的CK/K′為-1/2（1/2），θ=15°時(shí)為1/2（-1/2）。選擇θ=15°和θ=－15°的聲子晶體來構(gòu)造拓?fù)浣缑鎽B(tài)， 交界面兩側(cè)谷Chern數(shù)差的絕對(duì)值ΔCiK/K′=1，根據(jù)bulk-boundary對(duì)應(yīng)關(guān)系［36］，這表明在交界面處存在一個(gè)手性邊緣模式。為了確認(rèn)bulk-boundary對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步研究了由不同拓?fù)鋺B(tài)的聲子晶體組成的超胞如圖3所示，構(gòu)造了具有Ⅰ-Ⅲ和Ⅲ-Ⅰ兩種不同類型交界面的超胞結(jié)構(gòu)，將其命名為情況1超胞結(jié)構(gòu)，如圖3（a）所示，其中Ⅰ區(qū)域是由旋轉(zhuǎn)角θ=15°的散射體基本單元構(gòu)成，Ⅲ區(qū)域是由旋轉(zhuǎn)角θ=－15°的散射體基本單元構(gòu)成，超胞沿x方向兩側(cè)設(shè)置為Floquet周期邊界條件，y兩側(cè)為連續(xù)型邊界條件，由于該超胞在動(dòng)量空間具有周期性，令波矢kx=mx（π/a），mx為變量，通過改變mx探究不同波矢kx下對(duì)應(yīng)的特征頻率，進(jìn)而得到其能帶結(jié)構(gòu)如圖3（b）所示。圖3（c）展示了K谷附近mx= 0.6處Ⅰ-Ⅲ和Ⅲ-Ⅰ界面的拓?fù)浣缑鎽B(tài)，其壓力場(chǎng)分布對(duì)稱于交界面（黑色虛線），模態(tài)上方的顏色分別對(duì)應(yīng)能帶圖3（b）中相應(yīng)顏色的拓?fù)浣缑鎺?。由于藍(lán)線和紅線對(duì)應(yīng)的界面類型具有時(shí)間反轉(zhuǎn)對(duì)稱性，故而從K谷和K′谷投影出的一對(duì)界面模態(tài)存在正向和反向傳輸，更進(jìn)一步通過圖3（c）中紅色聲能流箭頭及能帶圖3（b）中拓?fù)浣缑鎺У男甭士梢钥闯?，兩種界面態(tài)類型在整個(gè)禁帶頻段范圍內(nèi)均存在正向及反向傳輸模態(tài)，因此在聲源激發(fā)下能夠支持受拓?fù)浔Ｗo(hù)的雙向聲能流密度傳輸。

3 散射體旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)模態(tài)下的拓?fù)渎晫W(xué)波束成形

為了進(jìn)一步研究散射體旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)模態(tài)下旋轉(zhuǎn)角對(duì)拓?fù)渎晫W(xué)波束成形的影響，鑒于該聲子晶體基本單元中散射體的旋轉(zhuǎn)角對(duì)于模態(tài)的影響具有60°的周期性，以θ=0°為中心分為［-30°， 0°）和（0°， 30°］兩部分，對(duì)這兩部分進(jìn)行細(xì)分，將30°進(jìn)一步細(xì)分為14等份，每一份間隔角A=30°/14。通過上述谷Chern數(shù)CK/K′計(jì)算可得，當(dāng)θ為［-30°， 0°）時(shí)，第一條帶的谷K （K′）對(duì)應(yīng)的谷Chern數(shù)CK/K′均為-1/2（1/2），當(dāng)θ為（0°， 30°］時(shí)均為1/2（-1/2）。

3.1 寬頻帶下的拓?fù)渎晫W(xué)波束波峰寬度調(diào)控

進(jìn)一步為了實(shí)現(xiàn)寬波峰形式的波束，在情況1超胞結(jié)構(gòu)（Ⅰ區(qū)域?qū)?yīng)散射體旋轉(zhuǎn)角θ=nA，Ⅲ區(qū)域?qū)?yīng)散射體旋轉(zhuǎn)角θ=－nA，n=7）的基礎(chǔ)上，反向旋轉(zhuǎn)具有不同拓?fù)鋺B(tài)的聲子晶體交界面兩側(cè)的散射體，分別對(duì)不同層下的散射體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，將其恢復(fù)到未旋轉(zhuǎn)的情況，聲子晶體的層數(shù)分布情況如圖3（a）中紅色虛線框內(nèi)所示。分別研究了4種情況下的超胞如圖4（a）所示，其中橙色部分Ⅰ以及藍(lán)色部分Ⅲ分別代表旋轉(zhuǎn)散射體角為θ=nA具有拓?fù)鋺B(tài)CK= 1/2，以及旋轉(zhuǎn)散射體角為θ=－nA具有拓?fù)鋺B(tài)CK=-1/2的聲子晶體部分；灰色部分為未旋轉(zhuǎn)，即θ=0°時(shí)的散射體區(qū)域Ⅱ；情況1為最初研究的超胞結(jié)構(gòu)，情況2下的超胞結(jié)構(gòu)在兩種不同拓?fù)鋺B(tài)的區(qū)域Ⅰ和Ⅲ之間共具有4層的區(qū)域Ⅱ，情況3下共具有8層的區(qū)域Ⅱ，情況4下共具有12層的區(qū)域Ⅱ。情況3超胞及其能帶結(jié)構(gòu)如圖4（d）所示，其中藍(lán)色和紅色實(shí)線對(duì)應(yīng)穩(wěn)定的拓?fù)浣缑鎺?，黑色?shí)線對(duì)應(yīng)體邊界帶，綠色點(diǎn)劃線對(duì)應(yīng)兩個(gè)重疊在一起的混合邊界帶，這里主要是因?yàn)樵摮Y(jié)構(gòu)由Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ和Ⅲ-Ⅱ-Ⅰ兩種組合形式，每種形式下均具有它們各自的模態(tài)分布，如圖5（d）中情況3的Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ結(jié)構(gòu)下對(duì)應(yīng)藍(lán)虛線框+紅虛線框+藍(lán)虛線框內(nèi)模態(tài)的組合，Ⅲ-Ⅱ-Ⅰ結(jié)構(gòu)下對(duì)應(yīng)紅虛線框+藍(lán)虛線框+紅虛線框內(nèi)模態(tài)的組合，值得注意的是這里線框的顏色及其內(nèi)部模態(tài)分別與拓?fù)浣缑鎺?duì)應(yīng)的顏色和模態(tài)一致，可見混合邊界帶對(duì)應(yīng)的模態(tài)均是由兩種拓?fù)浣缑鎽B(tài)組合而成。

對(duì)4種情況下超胞的能帶結(jié)構(gòu)總體情況進(jìn)行了歸納總結(jié)，如圖5（a）所示。進(jìn)一步詳細(xì)描述了圖5（a）中灰色虛線框內(nèi)的部分，如圖5（b）所示，可以看出，4種情況下的拓?fù)浣缑鎺缀跬耆睾媳３植蛔?，其與完全由未旋轉(zhuǎn)散射體區(qū)域Ⅱ組成的超胞所對(duì)應(yīng)的由布拉格散射誘導(dǎo)下穩(wěn)定的邊界帶（能帶圖4（b）中紅色和藍(lán)色虛線）完全重合，同時(shí)圖5（b）中能帶結(jié)構(gòu)mx=0.6處藍(lán)色實(shí)線對(duì)應(yīng)的拓?fù)浣缑鎽B(tài)如圖5（c）所示，也與圖4（b）中左半部分由布拉格散射誘導(dǎo)下穩(wěn)定的邊界模態(tài)一致。故而，在保證晶格點(diǎn)陣一致性不變的前提下，穩(wěn)定的拓?fù)浣缑鎺Щ静粫?huì)受到內(nèi)部散射體旋轉(zhuǎn)的影響，具有極強(qiáng)的穩(wěn)定性。情況2、3和4下對(duì)應(yīng)的混合邊界帶（紫色、綠色以及土黃色點(diǎn)劃線）隨著區(qū)域Ⅰ和Ⅲ之間區(qū)域Ⅱ散射體層數(shù)的增加逐漸向拓?fù)浣缑鎺П平鐖D5（b）中灰色虛線箭頭所示，主要是因?yàn)殡S著層數(shù)的增加，兩種模態(tài)組合中中間虛線框所對(duì)應(yīng)的和拓?fù)浣缑鎽B(tài)一致的模態(tài)區(qū)域相較整個(gè)超胞來說，占比逐漸增加，如圖5（d）所示，這就使得其對(duì)應(yīng)的混合邊界帶逐漸趨向于布拉格散射誘導(dǎo)下穩(wěn)定的拓?fù)浣缑鎺?。圖5（b）中對(duì)應(yīng)的黑色部分為體帶部分，由于其模態(tài)主要作用于具有同種拓?fù)鋺B(tài)的散射體區(qū)域內(nèi)部如圖5（d）中黑色實(shí)線對(duì)應(yīng)的模態(tài)所示，故而其具有相對(duì)較強(qiáng)的穩(wěn)定性，不易受到區(qū)域Ⅱ散射體層數(shù)的影響，不同情況下的體帶部分基本完全重合。

為了充分說明具有不同拓?fù)鋺B(tài)的聲子晶體在引入?yún)^(qū)域Ⅱ后仍然是產(chǎn)生拓?fù)浣缑鎺У某浞謼l件，額外設(shè)置了一組超胞如圖4（c）所示，該結(jié)構(gòu)除了中間部分為區(qū)域Ⅰ散射體外，其他情況與情況3超胞一致。此時(shí)區(qū)域Ⅱ兩側(cè)均為同一種拓?fù)鋺B(tài)，該超胞的能帶結(jié)構(gòu)中不存在遍及整個(gè)禁帶區(qū)域的拓?fù)浣缑鎺?，不存在穩(wěn)定的拓?fù)浣缑鎽B(tài)。故而，在不同拓?fù)鋺B(tài)的保護(hù)下，可以得到穩(wěn)定的拓?fù)浣缑鎽B(tài)，用以構(gòu)建寬頻帶下寬波峰形式的拓?fù)渎晫W(xué)波束。

不同層數(shù)區(qū)域Ⅱ下拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器的近場(chǎng)波束成形如圖6所示。進(jìn)一步針對(duì)上述研究的4種情況，分別構(gòu)建了拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器如圖6（a）～圖6（d）結(jié)構(gòu)示意圖所示，圖6中的橙色區(qū)域和藍(lán)色區(qū)域分別代表具有不同拓?fù)鋺B(tài)的聲子晶體區(qū)域Ⅰ和Ⅲ，中間的灰色區(qū)域代表未旋轉(zhuǎn)散射體的區(qū)域Ⅱ，圖6（a）～圖6（d）中的紅色圓點(diǎn)和藍(lán)色圓點(diǎn)分別為內(nèi)部測(cè)量點(diǎn)和近場(chǎng)外部測(cè)量點(diǎn)的位置分布情況，紅色五角星為聲源的位置。在4種情況下聲源分別發(fā)射位于拓?fù)浣缑鎺?nèi)4450Hz的聲波，聲壓的分布情況如圖6（e）～圖6（h）所示，拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器的右端面（出射面）在情況1下呈現(xiàn)出點(diǎn)聲源的發(fā)射形式，在情況2、3和4下呈現(xiàn)出類似于平面波，具有一定寬度的寬波峰形式的拓?fù)渎晫W(xué)波束，且具有極強(qiáng)的穩(wěn)定性。同樣，在4450Hz聲波的激勵(lì)下，對(duì)4種不同情況下波束成形器的聲能流密度分布情況進(jìn)行了仿真模擬，如圖6（e）～6（h）中的小圖所示，可見聲能流密度的分布主要集中于未旋轉(zhuǎn)的散射體區(qū)域Ⅱ部分，在不同層數(shù)區(qū)域Ⅱ下具有不同的波峰寬度。通過內(nèi)部測(cè)量點(diǎn)以及外部測(cè)量點(diǎn)分別以各自測(cè)量點(diǎn)測(cè)得的最大聲能流密度為基準(zhǔn)得到了不同情況下的歸一化聲能流密度，如圖6（i）、圖6（j）所示?？梢钥闯觯?種情況下的內(nèi)部和近場(chǎng)外部測(cè)量點(diǎn)測(cè)得的波峰寬度和未旋轉(zhuǎn)散射體區(qū)域Ⅱ的層數(shù)相關(guān)，拓?fù)渎晫W(xué)波束的波峰寬度可以通過改變區(qū)域Ⅱ的層數(shù)進(jìn)行調(diào)控；4種情況下拓?fù)渎晫W(xué)波束的衰減速率均保持一致，這主要是因?yàn)榫哂型負(fù)鋺B(tài)的部分均具有一致的旋轉(zhuǎn)角，散射體之間的距離在x方向上保持一致，在聲子晶體禁帶特性的作用下聲壓在y方向上的擴(kuò)散效果基本保持不變。最后，對(duì)比了情況3下內(nèi)部測(cè)量點(diǎn)測(cè)得的歸一化聲能流密度情況與近場(chǎng)外部測(cè)量點(diǎn)測(cè)得的歸一化聲能流密度情況，如圖6（k）所示。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩種情況下的歸一化聲能流密度結(jié)果雖然存在微小的偏差，但是在整體上基本重合，由此可見由內(nèi)部拓?fù)浔Ｗo(hù)下穩(wěn)定聲能流密度分布形式誘發(fā)的外部近場(chǎng)拓?fù)渎晫W(xué)波束具有很好的穩(wěn)定性，這為拓?fù)渎晫W(xué)波束成形奠定了良好的基礎(chǔ)。

不同層數(shù)區(qū)域Ⅱ下的遠(yuǎn)場(chǎng)波束成形如圖7所示。在拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器周圍應(yīng)用外場(chǎng)計(jì)算，通過r → ∞遠(yuǎn)場(chǎng)積分近似計(jì)算了4種不同情況下遠(yuǎn)場(chǎng)聲能流密度輻射情況，如圖7（a）所示，在每種情況下單獨(dú)進(jìn)行歸一化處理，可以看到輻射方向均為0°且均無旁瓣的干擾，進(jìn)一步放大主瓣，可以看到隨著區(qū)域Ⅱ中層數(shù)的增加，主瓣逐漸變薄，波束寬度α逐漸下降，如圖7（b）所示，所發(fā)射的聲束在遠(yuǎn)場(chǎng)的精確程度越來越高。此外，對(duì)應(yīng)波束寬度α 通常分布在一條直線L0上，通過數(shù)值擬合得到L0的表達(dá)式α=-0.375N+10.567，其中N代表了區(qū)域Ⅱ部分的層數(shù)。N=8時(shí)紅點(diǎn)對(duì)應(yīng)的波束寬度α=7.512，與L0上對(duì)應(yīng)的波束寬度α=7.567非常接近，可以通過L0對(duì)不同區(qū)域Ⅱ?qū)訑?shù)下的遠(yuǎn)場(chǎng)波束成形的波束寬度進(jìn)行估計(jì)。圖7（c）為情況3結(jié)構(gòu)在4450Hz聲源下聲壓以及聲能流密度的分布情況，可以看出隨著傳播距離的增加，聲束逐漸向兩邊擴(kuò)散，但是仍然具有極高的發(fā)射精度。

3.2 拓?fù)渎晫W(xué)波束能量衰減速率調(diào)控

在前面研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對(duì)拓?fù)渎晫W(xué)波束向傳播方向兩側(cè)衰減的速率進(jìn)行研究，實(shí)現(xiàn)對(duì)波束的精細(xì)調(diào)控。前文獲得了能夠用來構(gòu)建寬頻帶下具有寬波峰形式的拓?fù)渎晫W(xué)波束的超胞，首先探究具有拓?fù)鋺B(tài)的散射體的進(jìn)一步旋轉(zhuǎn)對(duì)寬波峰形式波束頻帶寬度的影響，如圖8所示。在保證各自拓?fù)鋺B(tài)不變的前提下，在情況3超胞的基礎(chǔ)上進(jìn)一步旋轉(zhuǎn)區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅲ部分的散射體，區(qū)域Ⅰ中的散射體旋轉(zhuǎn)角在（0°， 30°］之間變換，區(qū)域Ⅲ中的散射體旋轉(zhuǎn)角在［-30°， 0°）內(nèi)變換，這里分別連續(xù)取n=5～14，對(duì)如圖4（c）能帶圖中的灰色方格子區(qū)域所示獲得的寬波峰波束頻帶寬度Δf進(jìn)行了總結(jié)，結(jié)果如圖8（a）中帶有正方形的紅色實(shí)線所示，同時(shí)也對(duì)圖3（a）情況1下不具有區(qū)域Ⅱ的超胞中區(qū)域Ⅰ和Ⅲ的散射體進(jìn)一步旋轉(zhuǎn)，頻帶寬度Δf結(jié)果如圖8（a）中帶有三角形的黑色實(shí)線所示，可以見得Ⅰ和Ⅲ之間具有區(qū)域Ⅱ的超胞，其頻帶寬度在受到更多布拉格散射模態(tài)分布的影響時(shí)，相較情況1下的頻帶寬度隨著旋轉(zhuǎn)角的進(jìn)一步增加具有較好的穩(wěn)定性，帶寬Δf增加的速率遠(yuǎn)小于情況1下的，但仍然呈現(xiàn)略微上升的趨勢(shì)，情況3下的帶寬隨著n的增加先逐漸增加，當(dāng)n增大到一定程度后，帶寬逐漸趨于穩(wěn)定，不再隨著散射體旋轉(zhuǎn)角的增加而增大，最終穩(wěn)定在538Hz。選取具有代表性的旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)一步詳細(xì)分析了n為5、7、9、11、13情況下圖4（c）中能帶結(jié)構(gòu)于mx=0.6紅色垂直實(shí)線處混合邊界帶（綠色點(diǎn)劃線）對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征模態(tài)的聲能流密度和聲壓分布情況，如圖8（b）所示。兩個(gè)特征模態(tài)分別呈現(xiàn)出藍(lán)線+紅線+藍(lán)線和紅線+藍(lán)線+紅線對(duì)應(yīng)模態(tài)的組合，如圖8（b）中特征模態(tài)圖左上角所示，圖8（b）中的綠色和土黃色虛線框中的部分分別為旋轉(zhuǎn)過具有拓?fù)鋺B(tài)的散射體區(qū)域Ⅰ或Ⅲ以及散射體區(qū)域Ⅱ，對(duì)應(yīng)特征頻率的藍(lán)色和紅色分別代表特征模態(tài)作用于Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ以及Ⅲ-Ⅱ-Ⅰ的散射體組合，灰色箭頭代表隨著旋轉(zhuǎn)角的增大，聲能流密度在對(duì)應(yīng)部分的衰減趨勢(shì)。通過觀察不同旋轉(zhuǎn)角下的特征模態(tài)可以看出，隨著n的增加綠色虛線框中的散射體與散射體之間沿著x方向的間隙越來越小，在聲子晶體禁帶特性的作用下，使得拓?fù)浣缑鎽B(tài)對(duì)應(yīng)的聲壓模態(tài)在綠色虛線框和土黃色虛線框的交界處沿著y方向的擴(kuò)散越來越弱，例如圖8（b）中n=5情況下綠色虛線框中仍然具有覆蓋面很大的拓?fù)浣缑鎽B(tài)聲壓模態(tài)分布，隨著n的增大對(duì)應(yīng)綠色虛線框內(nèi)的模態(tài)逐漸衰減，拓?fù)浣缑鎽B(tài)（布拉格散射誘導(dǎo)的穩(wěn)定模態(tài)）在超胞結(jié)構(gòu)中模態(tài)的占比越來越少，因此其特征頻率逐漸遠(yuǎn)離拓?fù)浣缑鎺ьl率，帶寬逐漸增大。進(jìn)一步，當(dāng)n為11、13時(shí)可以看出，綠色虛線框中基本上不存在拓?fù)浣缑鎽B(tài)聲壓模態(tài)的分布，當(dāng)進(jìn)一步旋轉(zhuǎn)具有拓?fù)鋺B(tài)的散射體時(shí)也正是旋轉(zhuǎn)的該部分散射體，由于該部分受到聲子晶體阻礙的影響聲壓模態(tài)分布已經(jīng)很少了，進(jìn)一步的旋轉(zhuǎn)不會(huì)對(duì)模態(tài)分布在聲子晶體區(qū)域Ⅱ的部分帶來影響，這也解釋了為什么頻帶寬度Δf隨著n的增大逐漸趨于穩(wěn)定。

在情況3下拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器的基礎(chǔ)上，n分別取5、7、9、11、13，其他條件保持不變，對(duì)不同旋轉(zhuǎn)角下近場(chǎng)、遠(yuǎn)場(chǎng)拓?fù)渎晫W(xué)波束成形進(jìn)行研究，如圖9所示。通過內(nèi)部測(cè)量點(diǎn)對(duì)其歸一化聲能流密度進(jìn)行測(cè)量可以看到，聲能流密度均具有良好的穩(wěn)定性，不同旋轉(zhuǎn)角下波峰的寬度均保持不變，并且隨著旋轉(zhuǎn)角的進(jìn)一步增大聲能流密度的衰減速率越來越快。通過對(duì)不同情況下圖6（c）淡藍(lán)色虛線框所示區(qū)域的聲能流密度的分布情況進(jìn)行提取，如圖9（b）所示，隨著旋轉(zhuǎn)角的增大，聲能流密度相對(duì)強(qiáng)的部分（亮黃色）逐漸減少，聲能流密度相對(duì)弱的部分（橘黃色）逐漸增多；更進(jìn)一步分析了該區(qū)域的聲壓分布情況，隨著旋轉(zhuǎn)角的增大，由于散射體在x方向之間的距離越來越小，聲波在y方向的擴(kuò)散越來越弱，藍(lán)色和紅色部分顏色逐漸變淡，內(nèi)部聲場(chǎng)和近場(chǎng)外部聲場(chǎng)之間的衰減趨勢(shì)具有很好的一致性。這充分說明了通過進(jìn)一步旋轉(zhuǎn)具有不同拓?fù)鋺B(tài)區(qū)域Ⅰ和Ⅲ的散射體，可以調(diào)節(jié)聲波在聲子晶體中的擴(kuò)散強(qiáng)度，從而進(jìn)一步對(duì)近場(chǎng)拓?fù)渎晫W(xué)波束向傳播方向兩側(cè)衰減的速率進(jìn)行調(diào)控。

研究了不同能量衰減速率下遠(yuǎn)場(chǎng)聲能流密度輻射情況如圖9（c）所示，可以看到輻射方向同樣均為0°且均無旁瓣的干擾，隨著n增大，波束寬度α逐漸增大，所發(fā)射的聲束在遠(yuǎn)場(chǎng)的精確程度略微降低，但仍然具有極高的發(fā)射精度。此外，對(duì)應(yīng)波束寬度α通常分布在一條直線L1上（如圖9（d）所示），通過數(shù)值擬合得到L1的表達(dá)式α=0.16594n+6.166。n=7時(shí)紅點(diǎn)對(duì)應(yīng)的波束寬度α=7.39638，與L1上對(duì)應(yīng)的波束寬度α=7.32818非常接近，可以通過L1對(duì)不同能量衰減速率下的遠(yuǎn)場(chǎng)波束成形的波束寬度進(jìn)行估計(jì)。

4 高性能拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器的高容錯(cuò)性測(cè)試

鑒于拓?fù)湫蚓哂袑?duì)抗局域擾動(dòng)的穩(wěn)定性［19］，通過在拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器中進(jìn)一步引入缺陷，探究錯(cuò)誤因素介入下高性能拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器的近場(chǎng)及遠(yuǎn)場(chǎng)特性，如圖10所示。在情況3下波束成形器在圖6（c）的基礎(chǔ)上，首先在區(qū)域Ⅱ部分隨機(jī)去掉3個(gè)散射體，其他條件保持不變，如圖10（a）情況3.1所示。聲源于紅色五角星處發(fā)射4450Hz的聲波，近場(chǎng)聲壓以及聲能流密度分布情況如圖10（d）所示；在情況3的基礎(chǔ)上在具有拓?fù)鋺B(tài)的散射體區(qū)域Ⅰ和Ⅲ部分隨機(jī)去掉6個(gè)散射體，其他條件保持不變，如圖10（b）情況3.2所示；聲壓以及聲能流密度分布情況如圖10（e）所示；最后綜合情況3.1和情況3.2在區(qū)域Ⅱ部分以及區(qū)域Ⅰ和Ⅲ部分隨即去掉3個(gè)和6個(gè)散射體，其他條件保持不變，如圖10（c）情況3.3所示；聲壓以及聲能流密度分布情況如圖10（f）所示，可以看出，波束成形在這幾種情況下均不受影響，具有極強(qiáng)的穩(wěn)定性。通過測(cè)量點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行測(cè)量，錯(cuò)誤因素對(duì)其近場(chǎng)波束成形的效果不產(chǎn)生影響，測(cè)量結(jié)果均與情況3下不具有錯(cuò)誤因素的波束成形結(jié)果保持一致，如圖10（g）、圖10（h）所示，值得注意的是，通過內(nèi)部測(cè)量點(diǎn)測(cè)得的波峰部分出現(xiàn)了微小的波動(dòng)，這主要是缺陷的存在，略微對(duì)其周圍的聲波產(chǎn)生了微小的影響，但是測(cè)試結(jié)果的整體趨勢(shì)完全吻合，通過外部測(cè)量點(diǎn)測(cè)得的結(jié)果基本上完全一致，這充分體現(xiàn)了高性能拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器的高容錯(cuò)性。

對(duì)錯(cuò)誤因素介入下的遠(yuǎn)場(chǎng)聲能流密度輻射情況進(jìn)行了研究，如圖10（i）所示，可以看到輻射方向在區(qū)域Ⅱ部分均具有任意3個(gè)散射體缺失的情況3.1和情況3.3中發(fā)生了微小的偏移，分別處于358.998 5°和358.985 2°，這主要是由于散射體的缺失對(duì)內(nèi)部聲壓分布形式造成了微小的干擾，當(dāng)聲波出射時(shí)，由內(nèi)部微小干擾造成的影響隨著傳輸距離的增加逐漸被放大，從而形成了上述的波束形式。區(qū)域Ⅰ和Ⅲ部分具有任意6個(gè)散射體缺失的情況3.2的輻射方向沒有受到干擾，仍然保持在0°，這主要是受到拓?fù)湫蚓哂械挚咕钟驍_動(dòng)的穩(wěn)定性，同時(shí)聲波在傳播過程中聲壓分布的形式不位于該區(qū)域，不會(huì)受到該部分的影響。由如圖10（i）可以看到，情況3和情況3.2的波束寬度α 基本一致，情況3.1和情況3.3的波束寬度α 基本一致，但是區(qū)域Ⅱ中散射體的缺失會(huì)對(duì)波束寬度造成略微的影響，會(huì)使得遠(yuǎn)場(chǎng)波束寬度略微增加，所發(fā)射的聲束在遠(yuǎn)場(chǎng)的精確程度略微降低，但是仍然具有極高的發(fā)射精度。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)拓?fù)渎晫W(xué)高性能波束成形進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，如圖11所示。按照情況3下的高性能拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器進(jìn)行了加工制作，如圖11（b）所示，包含 348個(gè)散射體。散射體采用光敏樹脂通過3D打印制造，并在平臺(tái)上以周期性三角形晶格陣列排布，散射體的旋轉(zhuǎn)分布情況按照 Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ 所示的分布模式放置在兩個(gè)平行亞克力板之間，散射體的高度為8mm，在這種情況下，二維近似是合理的，因?yàn)閷?duì)于所考慮的波長(zhǎng)均大于散射體的高度，聲波能夠均勻地在二維平面內(nèi)傳播。整體結(jié)構(gòu)的四周布置了黑色吸音海綿，以減少外界噪聲以及聲音泄漏對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)試造成的不利影響。將器件放置于圖11（a）所示的測(cè)試環(huán)境下，聲源通過揚(yáng)聲器發(fā)射，經(jīng)過波束成形器后通過聲傳感器Bamp;K Type 4958A將獲得的信號(hào)經(jīng)過IEPE信號(hào)調(diào)理器和MOTU 16A聲卡處理后輸入計(jì)算機(jī)進(jìn)行測(cè)量。在波束成形器的出射方向于外部測(cè)量點(diǎn)如圖6（c）中藍(lán)點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置，通過兩個(gè)聲傳感器測(cè)量其歸一化絕對(duì)聲壓。

首先驗(yàn)證拓?fù)渎晫W(xué)波束成形的寬頻帶特性，聲源發(fā)射3500～5500Hz的聲波，兩傳感器于圖11（b）中所示位置處以傳感器2測(cè)得的值為基準(zhǔn)進(jìn)行歸一化，得到傳感器1的歸一化絕對(duì)聲壓，測(cè)試結(jié)果如圖11（d）中帶有正三角形的黑色實(shí)線所示，與帶有圓的藍(lán)色實(shí)線在公共禁帶區(qū)域（灰色斜線區(qū)域）的仿真模擬結(jié)果較為一致， 基本上分布在歸一化絕對(duì)聲壓1.0附近。這里對(duì)公共禁帶區(qū)域中的仿真模擬結(jié)果歸一化聲壓進(jìn)行詳細(xì)說明，由于在情況3下，該波束成形器能夠在近場(chǎng)寬頻帶范圍內(nèi)形成寬波峰波束，這就使得圖11（b）中位于寬波峰作用范圍內(nèi)的兩個(gè)傳感器所測(cè)得的絕對(duì)聲壓情況基本一致，因此在公共禁帶區(qū)域內(nèi)其歸一化絕對(duì)聲壓為1。

驗(yàn)證拓?fù)渎晫W(xué)波束成形，聲源發(fā)射寬頻帶內(nèi)4450Hz的聲波，固定傳感器2位于中心位置，沿著外部測(cè)量點(diǎn)逐一移動(dòng)傳感器1測(cè)量其沿著y方向以傳感器2測(cè)量值為基準(zhǔn)的歸一化絕對(duì)聲壓，結(jié)果如圖11（e）帶有正三角的黑色實(shí)線所示，在不可避免的加工制造誤差、安裝誤差和測(cè)量誤差的影響下，藍(lán)色虛線所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真模擬結(jié)果雖然不能夠?qū)崿F(xiàn)高度重合，但是其整體趨勢(shì)基本上一致，一方面能夠?qū)崿F(xiàn)具有寬波峰的波束，另一方面其能量衰減速率的趨勢(shì)也與仿真模擬結(jié)果的趨勢(shì)基本一致。

下面對(duì)高性能拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器較強(qiáng)抵抗錯(cuò)誤因素的能力進(jìn)行驗(yàn)證，在上述情況3對(duì)應(yīng)加工樣件的基礎(chǔ)上去掉紅色虛線圈對(duì)應(yīng)的散射體，其他條件不變，形成情況3.3下對(duì)應(yīng)的樣件；同樣通過上述實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證拓?fù)渎晫W(xué)波束成形的寬頻帶特性及其拓?fù)渎晫W(xué)波束成形，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果如圖11（d）、圖11（e）中帶有倒三角的紅色實(shí)線所示?？梢钥闯觯瑢?shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相較無缺陷情況下雖然不是完全重合，但整體趨勢(shì)基本上完全一致，這充分驗(yàn)證了高性能拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器的高容錯(cuò)性。

6 結(jié) 論

本文提出了拓?fù)渎晫W(xué)高性能波束成形機(jī)理，實(shí)現(xiàn)了受拓?fù)浔Ｗo(hù)的無旁瓣寬頻帶波束成形，詳細(xì)研究了此拓?fù)渎晫W(xué)波束成形器對(duì)波束波峰寬度以及波束能量衰減速率的調(diào)控，分析了其在近場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)的波束特性。通過在拓?fù)渎暡ㄊ尚纹髦幸脲e(cuò)誤因素，發(fā)現(xiàn)其基本不受影響，器件具有高容錯(cuò)性。最后進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該研究提出的全新波束成形方法，將為聲學(xué)通信、生物醫(yī)學(xué)、微納制造、和其他微形及多功能聲學(xué)設(shè)備的工程應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)，而且將為光波、電磁波等其他經(jīng)典波領(lǐng)域提供更多的參考。

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（編輯 武紅江）