運(yùn)用矢量圖求解高中物理共點(diǎn)力平衡問題

在高中物理中，共點(diǎn)力平衡問題是一個(gè)重要的內(nèi)容．學(xué)生需要理解力的平衡條件，以及如何通過受力分析來解決這類問題．矢量圖作為一種直觀而有效的工具，可以幫助學(xué)生更清晰地理解力的合成與分解，從而更好地解決共點(diǎn)力平衡問題，下面分類討論．

１ 一恒一向定（一力不變，一力方向不變）

當(dāng)一個(gè)力大小和方向均不發(fā)生變化，一個(gè)力方向不變、大小未知，另一個(gè)力大小和方向均未知的情況下，可以運(yùn)用矢量三角形，完成求解過程．求解步驟：１）明確研究對(duì)象;２）進(jìn)行受力分析;３）將三個(gè)力的首尾進(jìn)行連接，形成閉合矢量三角形;４）分析變化的力和不變的力，進(jìn)行受力分析．

例１ 在沒有起重機(jī)的情況下，工人要將油桶搬運(yùn)上汽車，常常用如圖１所示的方法．已知油桶重力大小為G，斜面的傾角為θ．當(dāng)工人對(duì)油桶施加方向不同的推力F 時(shí)，油桶始終處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．假設(shè)斜面與油桶的接觸面光滑．在推力F 由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過程中，以下關(guān)于油桶受力的說法正確的是（ ）．

A．若力F 沿水平方向，F(xiàn) 的大小為Gsinθ

B．若力F 沿水平方向，斜面對(duì)油桶的支持力大小為Gcosθ

C．F 由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過程中，斜面對(duì)油桶的支持力逐漸變大

D．F 由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過程中，推力F 的最小值為Gsinθ

解析

油桶的受力分析如圖２所示，當(dāng)力F 沿水平方向時(shí)，由于油箱為勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此受力平衡，則水平方向和豎直方向上有F ＝FNsinθ，F(xiàn)Ncosθ＝G，解得F＝Gtanθ，F(xiàn)N＝ G/cosθ，故A、B錯(cuò)誤．在力F 由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過程中，支持力逐漸變小，且推力最小時(shí)，與支持力FN 垂直，即沿斜面方向，此時(shí)為Fmin＝Gsinθ．故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確．故選D．

２ 一恒兩向變（一力不變，兩力方向都變）

當(dāng)一個(gè)力大小和方向均不發(fā)生變化，其余兩個(gè)力大小和方向均未知時(shí)，僅依靠矢量三角形，不能完成求解過程，還需結(jié)合幾何三角形．求解步驟：１）明確研究對(duì)象;２）進(jìn)行受力分析;３）將三個(gè)力首尾連接，形成閉合矢量三角形;４）找出相似三角形;５）找到力的矢量三角形和相似三角形的比例關(guān)系;６）通過分析幾何三角形邊長的變化情況，結(jié)合比例關(guān)系式，確定力的變化情況．

例２ 半徑為R 的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面B 的距離為h，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A 點(diǎn)，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖３所示，現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球由A 到B的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至N 和繩對(duì)小球的拉力FT 的大小變化的情況是（ ）．

A．FN 不變，F(xiàn)T 變小

B．FN 不變，F(xiàn)T 先變大后變小

C．FN 變小，F(xiàn)T 先變小后變大

D．FN 變大，F(xiàn)T 變小

解析

以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析小球受力情況，其受到重力G、細(xì)線的拉力FT 和半球面的支持力FN 三個(gè)力的共同作用，受力分析如圖４所示．

當(dāng)緩慢拉繩移動(dòng)小球時(shí)，重力的大小和方向均不發(fā)生變化，另外兩個(gè)力的方向一直在變化，大小未知，但此時(shí)小球一直處于平衡狀態(tài)，有FN 和FT 的合力F＝G．由△A′C′O′∽△ACO，可得FN＝（AO/CO）G，F(xiàn)T＝（CA/CO）G．在緩慢移動(dòng)過程中，AO、CO 的長度不變，CA的長度變短，因此小球所受的支持力大小不發(fā)生變化，所受的拉力FT 變?。鸢笧锳．

３ 一恒兩向夾角定（一力不變，另兩力夾角不變）

當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)力大小和方向均不發(fā)生變化，其余兩個(gè)力的方向夾角不變，但大小和方向均未知的情況時(shí)，僅依靠矢量三角形，不能完成求解過程，還需結(jié)合圓的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析．求解步驟：１）明確研究對(duì)象;２）進(jìn)行受力分析;３）將三個(gè)力的首尾連接，形成閉合矢量三角形;４）構(gòu)造矢量三角形的外接圓，此時(shí)三個(gè)力對(duì)應(yīng)三個(gè)弦長;５）結(jié)合題意，分析弦長的變化情況，確定力的變化情況．

例３ ON 為一段細(xì)繩，其一端被固定在O 點(diǎn)，另一端用手拉?。K子的中間M 點(diǎn)處，懸掛著一個(gè)重物，將該細(xì)繩分成了OM 和MN 兩段．初始狀態(tài)下，OM 處于豎直方向，且此時(shí)MN 完全被拉直，兩段繩子之間的夾角為α（α＞π/２）．某時(shí)刻，將該重物緩慢提起，在提起的過程中夾角不發(fā)生變化，則當(dāng)OM 從豎直變化至水平的過程中（ ）．

A．細(xì)繩MN 上的拉力的變化情況是一直增大

B．細(xì)繩MN 上的拉力的變化情況是先增大后減小

C．細(xì)繩OM 上的拉力的變化情況是一直增大

D．細(xì)繩OM 上的拉力的變化情況是一直減小

解析

對(duì)重物受力分析，如圖６所示．由于保持夾角α（α＞π/２）不變，即保持α 的補(bǔ)角θ 不變，且θ為銳角，作矢量三角形外接圓，讓重力線段的兩端點(diǎn)和繩子MN 拉力的右端點(diǎn)在圓上，由于θ 角是以重力為弦的圓周角．在力的矢量三角形MPQ 中，QM 等于重力大小且方向始終豎直，頂點(diǎn)P 由P 點(diǎn)經(jīng)過圓周到R 點(diǎn)的過程，就是OM 由豎直被拉到水平的過程，可以看出，MN 上的拉力從０逐漸增大到沿圓的直徑方向，故MN上的拉力逐漸增大;矢量三角形MPQ 的PQ 邊先逐漸增大到直徑再逐漸減小到RQ，故OM 上的拉力先增大再減小，故C、D錯(cuò)誤．故選A．

４ 四力平衡

當(dāng)出現(xiàn)四力平衡時(shí)，關(guān)鍵在于結(jié)合題意，將四力變成三力．

例４ 某飛機(jī)沿水平方向超音速勻速巡航時(shí)升阻比（垂直機(jī)身向上的升力和平行機(jī)身向后的阻力之比）為根號(hào)下１５，飛機(jī)的重力為G，能使飛機(jī)實(shí)現(xiàn)水平勻速巡航模式的最小推力是（ ）．

A．G B．G/根號(hào)下１５

C．G/１６ D．G/４

解析

飛機(jī)勻速巡航，受到重力、升力、阻力和推力四個(gè)力的作用，其中垂直機(jī)身向上的升力和平行機(jī)身向后的阻力之比恒定，即升力和阻力的合力方向一定．這樣飛機(jī)受到的四個(gè)力變成了三個(gè)力的作用———重力的大小方向一定、升力和阻力的合力方向一定、推力的方向和大小不同，三個(gè)力將構(gòu)成一個(gè)動(dòng)態(tài)的矢量三角形，如圖７所示．

由圖７可得，F(xiàn)推min＝Gsinθ＝G/４．故選D．

矢量圖法具有簡單、直觀的特點(diǎn)，所以在物理解題中有著廣泛的應(yīng)用．用該方法求解共點(diǎn)力平衡問題時(shí)應(yīng)首先確定哪個(gè)力為恒力，哪個(gè)力的方向不變，另一個(gè)力變化時(shí)的角度增、減關(guān)系，從而利用三角形法則進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析．

（完）