求解動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題常用的五種方法

所謂力學(xué)動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題，是指通過(guò)控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢變化的平衡問(wèn)題，題干中往往出現(xiàn)“逐漸”“緩慢”“勻速”等字眼．高中階段出現(xiàn)最多的是三力平衡問(wèn)題．動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題是高中物理平衡問(wèn)題中的一個(gè)重難點(diǎn)，筆者通過(guò)下面五種解法幫助同學(xué)們快速找到解題思路，掌握好知識(shí)．

１ 解析法

對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫出其受力示意圖，再根據(jù)物體的平衡條件，得到因變量與自變量的關(guān)系表達(dá)式（通常要用到三角函數(shù)），最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化．

例１ 如圖１所示，輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M 、N 上的a、b 兩點(diǎn)，懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài)，如果只人為改變一個(gè)條件，當(dāng)衣架靜止時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（ ）．

A．繩的右端上移到b′，繩子拉力變小

B．將桿N 向右移一些，繩子拉力變大

C．若換同材質(zhì)稍長(zhǎng)的晾衣繩，繩子拉力變小

D．若換掛質(zhì)量更小的衣服，則衣架懸掛點(diǎn)右移

解析

如圖２所示，設(shè)繩子間的夾角為２α，兩桿間距離為d，繩子總長(zhǎng)為L(zhǎng)，左右兩側(cè)繩長(zhǎng)分別為L(zhǎng)２、L１，繩的拉力大小為FT，則L２sinα＋L１sinα＝d，sinα＝ d/L１＋L２＝d/L ．

在豎直方向根據(jù)平衡條件有２FTcosα＝mg，繩的右端上移到b′，d 和L 不變，故α 角不變，拉力FT不變，故A 錯(cuò)誤．將桿N 向右移一些，d 變大，α 角變大，cosα 變小，拉力FT 變大，故B正確．若換同材質(zhì)稍長(zhǎng)的晾衣繩，L 增大，α 角減小，cosα 變大，拉力FT變小，故C正確．若換掛質(zhì)量更小的衣服，m 變小，α 角不變，懸掛點(diǎn)不變，故D錯(cuò)誤．本題正確選項(xiàng)為B、C．

點(diǎn)評(píng)

該類“晾衣繩”問(wèn)題中懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，可以在晾衣繩上自由移動(dòng)，這是“活結(jié)”問(wèn)題，同時(shí)輕質(zhì)晾衣繩的重力可以忽略不計(jì)，晾衣繩的拉力處處相等，影響輕繩拉力大小的因素是輕繩兩端點(diǎn)間的水平距離d 和兩端點(diǎn)間輕繩的總長(zhǎng)度L 及所懸掛衣服的重力大小．

２ 圖解法

當(dāng)物體在三個(gè)不平行的共點(diǎn)力作用下平衡時(shí)，若一個(gè)力是恒力、另一個(gè)力方向不變、第三個(gè)力大小和方向都變化，或者一個(gè)力是恒力、另一個(gè)力大小不變、第三個(gè)力大小和方向都變化，這三個(gè)力可組成一首尾相接的三角形，再通過(guò)有向線段的變化來(lái)分析力的大小和方向的變化．

例２ 如圖３ 所示，在“研究共點(diǎn)力的合成”實(shí)驗(yàn)中，彈簧測(cè)力計(jì)A 、B 通過(guò)兩細(xì)繩把橡皮條上的結(jié)點(diǎn)拉到位置O，此時(shí)兩細(xì)繩間夾角小于９０°．現(xiàn)保持彈簧測(cè)力計(jì)A 的示數(shù)不變而改變其方向使α 角變小，為使結(jié)點(diǎn)仍在位置O，調(diào)整彈簧測(cè)力計(jì)B 的拉力及β 角的大小，則下列調(diào)整方法不可行的是（ ）．

A．增大B 的拉力，增大β 角

B．增大B 的拉力，β 角不變

C．增大B 的拉力，減小β 角

D．B 的拉力大小不變，增大β 角

解析

結(jié)點(diǎn)位置O 受橡皮條的拉力F 及A 、B 兩彈簧測(cè)力計(jì)的拉力FA 、FB 而平衡，將這三個(gè)共點(diǎn)力組成一個(gè)首尾相接的三角形．由于結(jié)點(diǎn)仍在位置O，則橡皮條的拉力F 不變．如圖４所示，以O(shè) 為圓心，F(xiàn)A 大小為半徑作圓，由題知α 角變小，則拉力FB的箭頭端沿圓周順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，可見(jiàn)FB 的大小一定增大，β 角的大小可以變小、不變或變大，綜上所述可知A、B、C可行，D不可行，本題選不可行的，故選D．

３ 相似三角形法

在三力平衡問(wèn)題中，如果有一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系，多數(shù)情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解．

例３ 如圖５所示，在豎直平面內(nèi)固定一光滑的半圓環(huán)，圓心為O、半徑為R，OA 為半圓環(huán)的豎直半徑，AB 為與OA 在同一直線上的光滑固定桿，半圓環(huán)上套有一小球a，桿AB 上套有另一小球b．兩小球之間連接一輕彈簧，初始時(shí)小球a 在距圓環(huán)A 點(diǎn)右側(cè)不遠(yuǎn)處的P 點(diǎn)，小球b 固定于桿AB 上的Q 點(diǎn)，兩小球間距離為R．現(xiàn)用外力使小球b 沿桿AB 緩慢向上移動(dòng)一段距離，但未到達(dá)A 點(diǎn)．在移動(dòng)過(guò)程中彈簧始終在彈性限度內(nèi)且在一條直線上，兩小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）．

A．初始時(shí)彈簧彈力大于半圓環(huán)對(duì)小球a 的彈力

B．初始時(shí)彈簧彈力大于小球a 的重力

C．小球b 沿桿緩慢向上移動(dòng)過(guò)程中，環(huán)對(duì)小球a的支持力先增大后減小

D．小球b 沿桿緩慢向上移動(dòng)過(guò)程中，彈簧彈力增大

解析

對(duì)小球a 進(jìn)行受力分析，小球a 受重力G、半圓環(huán)對(duì)小球a 的支持力FN和彈簧彈力F，三力平移后構(gòu)成一首尾相連的三角形，如圖６所示，力的三角形與三角形OPQ 相似，根據(jù)三角形相似有G/OQ ＝FN/OP ＝ F/PQ ，初始時(shí)PQ ＝OP＝R，OQ＞R，所以G＞FN＝F，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤．小球b 緩慢上移過(guò)程中，小球a 處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，隨著小球b 上移，OQ 減小，OP 不變，重力G 不變，半圓環(huán)對(duì)小球的支持力FN 增大，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為L(zhǎng)，彈簧的形變量為x，結(jié)合胡克定律有F ＝kx，則G/OQ ＝F/PQ ＝ kx/L－x ＝ k/L/x－１，OQ 減小，重力G 不變，L 不變，則彈簧形變量x 增大，彈簧彈力F 增大，選項(xiàng)D正確，故選D．

點(diǎn)評(píng)

若題目中沒(méi)有特殊夾角也沒(méi)有給出力的夾角具體數(shù)值，但邊長(zhǎng)的信息較多時(shí)，可以尋找相應(yīng)的相似三角形，將力與幾何長(zhǎng)度聯(lián)系到一起建立等式方程，從而快速解決一些看似不可解的問(wèn)題．

４ 拉密定理法（正弦定理法）

如圖７所示，如果物體在三個(gè)共點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)，則力的大小與另外兩個(gè)力的夾角的正弦成正比，即F１/sinα＝ F２/sinβ＝ F３/sinγ，其實(shí)質(zhì)就是正弦定理的變形．

例４ 如圖８所示，柔軟輕繩兩端固定在一硬質(zhì)輕桿上的A 、B 兩點(diǎn)，在輕繩中點(diǎn)O 系一重物，OB 段繩子水平，OA 段繩子傾斜．現(xiàn)將輕桿在豎直面內(nèi)順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)直到OB 段繩子豎直，在此過(guò)程中，繩OA 、OB 的張力FA 和FB 的大小變化情況是（ ）．

A．FA 先減小后增大，F(xiàn)B 一直減小

B．FA 先減小后增大，F(xiàn)B 先增大后減小

C．FA 一直減小，F(xiàn)B 一直減小

D．FA 一直減小，F(xiàn)B 先增大后減小

解析

如圖９所示，先畫出初位置繩上O 點(diǎn)受力示意圖，并依次標(biāo)記相鄰兩力之間的夾角．再畫出末位置OB 轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)O 點(diǎn)受力示意圖，如圖１０所示．由圖分析可知，該過(guò)程夾角α 不變，夾角β 由鈍角緩慢變?yōu)殇J角，故sinβ 先增大后減?。畩A角γ 由直角緩慢變?yōu)椋保福啊悖瑒tsinγ 逐漸減?。衫芏ɡ碛衜g/sinα＝ FA/sinγ，可得繩OA 上的張力FA 逐漸減?。碛蒻g/sinα＝ FB/sinβ，可得繩OB 上的張力FB 先增大后減?。蔬x項(xiàng)D正確．

點(diǎn)評(píng)

利用拉密定理解決問(wèn)題時(shí)，我們要選好研究對(duì)象，依次畫好其初末位置及臨界位置的受力示意圖，標(biāo)記好相鄰兩力之間的夾角，通過(guò)初末位置及臨界位置分析好各力夾角大小的變化，再根據(jù)拉密定理及三角函數(shù)知識(shí)作出解答．

５ 輔助圓法

在三力動(dòng)態(tài)平衡的問(wèn)題中，如果有一個(gè)力是恒力，其余兩個(gè)力的夾角不變，我們可以畫出這三個(gè)力的矢量三角形的外接圓，不變力為一固定弦，該固定弦所對(duì)的圓周角大小始終不變，改變一力的方向，則該力及另一力大小、方向變化情況可由圖作出判斷．

例５ 如圖１１所示，置于水平地面上的豎直圓形金屬環(huán)內(nèi)用三根細(xì)繩OA 、OB、OC懸掛一物體，其可看作質(zhì)點(diǎn)．OB 繩處于水平方向，∠AOB＝１２０°，設(shè)OA 、OB 繩的拉力大小為F１、F２，現(xiàn)將金屬圓環(huán)在豎直面內(nèi)緩慢逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)９０°，在此過(guò)程中（ ）．

A．F２ 一直增大 B．F１ 一直增大

C．F２ 先增大后減小 D．F１ 先增大后減小

解析

對(duì)圖中O 點(diǎn)受力分析，并由平衡條件畫出O 點(diǎn)初位置時(shí)所受三個(gè)力的矢量三角形的外接圓，如圖１２所示，由圖可知，將金屬圓環(huán)在豎直面內(nèi)緩慢逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)９０°，繩OC 的拉力大小和方向不變，拉力F１、F２ 的連接處夾角不變，且連接端沿圓周逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程F２ 先增大后減小，F(xiàn)１ 一直減小，故選C．

本題若∠AOB ＝９０°，則重力的示意圖應(yīng)為過(guò)外接圓的直徑，若∠AOB 小于９０°，則重力的示意圖應(yīng)畫在圓心左側(cè)．輔助圓法有利于提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答物理問(wèn)題的能力和綜合分析問(wèn)題的能力．能用輔助圓法解答的題目都可以用正弦定理解答．

有關(guān)動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的題目和數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密，能有效培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的能力．這類題目往往有多種方法能夠解答．我們要認(rèn)真審題，做好受力分析，找出不變量，分析好各力的變化特點(diǎn)，選擇最適合的解題方法．

（完）